1、127.2.1 相似三角形的判定 第 3 课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在 ABC 中
2、， C90，点 D、 E 分别是 AB、 CB 延长线上的点，CE9， AD15，连接 DE.若 BC6， AC8，求证： ABC DBE.解析：首先利用勾股定理可求出 AB 的长，再由已知条件可求出 DB，进而可得到DB AB 的值，再计算出 EB BC 的值，继而可判定 ABC DBE.证明：在 Rt ABC 中， C90，BC6， AC8， AB 10， DB AD AB15105， DB AB12.又BC2 AC2 EB CE BC963， EB BC12， EB BC DB AB，又 DBE ABC90， ABC DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意
3、一些隐含条件，如公共角、对顶角等变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 2 题【类型二】 添加条件使三角形相似如图，已知 ABC 中， D 为边 AC 上一点， P 为边 AB 上一点，AB12， AC8， AD6，当 AP 的长度为_时， ADP 和 ABC 相似解析：当 ADP ACB 时， ， ，解得 AP9.当 ADP ABC 时， APAB ADAC AP12 68 ADAB2， ，解得 AP4，当 AP 的长度为 4 或 9 时， ADP 和 ABC 相似故答案为APAC 612 AP84 或 9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应
4、本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图， CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高， E 为 BC 的中点， ED 的延长线交 CA 的延长线于 F.求证： ACCF BCDF.解析：先证明 ADC CDB 可得 ，再结合条件证明 FDC FAD，可得ADCD ACBC ，则可证得结论ADCD DFCF证明： ACB90， CD AB， DAC B B DCB90， DAC DCB，且 ADC CDB， ADC CDB， . E 为 BC 的中点，ADCD ACBCCD AB，
5、DE CE， EDC DCE， EDC FDA ECD ACD， FCD FDA，又 F F， FDC FAD， ， ， ACCF BCDF.DFCF ADDC ACBC DFCF方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算如图所示， BC CD 于点 C， BE DE 于点 E， BE 与 CD 相交于点 A，若AC3， BC4， AE2，求 CD 的长解析：因为 AC3，所以只需求出 AD 即可求出 CD.可证明 ABC 与 ADE 相似，再利用相似三角
6、形对应边成比例即可求出 AD.解：在 Rt ABC 中，由勾股定理可得AB 5. BC CD， BE DE， C E，又 CAB EAD，BC2 AC2 42 32ABC ADE， ，即 ，解得 AD ， CD AD AC 3 .ABAD ACAE 5AD 32 103 103 193方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题3如图，在 ABC 中， C90， BC8cm，5 AC3 AB
7、0，点 P 从 B 出发，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移动，与此同时点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动，经过多长时间 ABC 和 PQC 相似？解析：由 AC 与 AB 的关系，设出 AC3 xcm， AB5 xcm，在直角三角形 ABC 中，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，进而得到 AB 与 AC 的长然后设出动点运动的时间为 ts，根据相应的速度分别表示出 PC 与 CQ 的长，由 ABC 和 PQC 相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于 t 的方程，求出方程的解即可得到 t 的值，从而得到所
8、有满足题意的时间 t 的值解：由 5AC3 AB0，得到 5AC3 AB，设 AB 为 5xcm，则 AC3 xcm，在 Rt ABC 中，由 BC8cm，根据勾股定理得 25x29 x264，解得 x2 或 x2(舍去)， AB5 x10cm， AC3 x6cm.设经过 t 秒 ABC 和 PQC 相似，则有BP2 tcm， PC(82 t)cm， CQ tcm，分两种情况：当 ABC PQC 时，有 ，即BCQC ACPC ，解得 t ；当 ABC QPC 时，有 ，即 ，解得 t .综上8t 68 2t 3211 ACQC BCPC 6t 88 2t 125可知，经过 或 秒 ABC 和 PQC 相似125 3211方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况 ABC PQC与 ABC QPC 分别列出比例式来解决问题变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题三、板书设计1三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2应用判定定理解决简单的问题本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.
