1、127.2.1 相似三角形的判定第 4 课时 两角分别相等的两个三角形相似1理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题(难点)一、情境导入与同伴合作，一人画 ABC，另一人画 A B C，使得 A 和 A 都等于给定的 ， B 和 B都等于给定的 ，比较你们画的两个三角形， C 与 C相等吗？对应边的比 ， ， 相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流ABA B ACA C BCB C二、合作探究探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】 利用判定定理
2、证明两个三角形相似如图，在等边 ABC 中， D 为 BC 边上一点， E 为 AB 边上一点，且 ADE60.(1)求证： ABD DCE；(2)若 BD3， CE2，求 ABC 的边长解析：(1)由题有 B C60，利用三角形外角的知识得出 BAD CDE，即可证明 ABD DCE；(2)根据 ABD DCE，列出比例式，即可求出 ABC 的边长(1)证明：在 ABD 中， ADC B BAD，又 ADC ADE EDC，而 B ADE60， BAD CDE.在 ABD 和 DCE 中， BAD CDE， B C60， ABD DCE；(2)解：设 AB x，则 DC x3，由 ABD D
3、CE， ， ， x9.即ABDC BDDE xx 3 32等边 ABC 的边长为 9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似” ，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题【类型二】 添加条件证明三角形相似如图，在 ABC 中， D 为 AB 边上的一点，要使 ABC AED 成立，还需要添加2一个条件为_解析： ABC AED， A A， ABC AED，故添加条件 ABC AED 即可求得 ABC AED.同理可得 ADE C 或 AED B 或 可以得出 ABC AED.故ADAC AEAB答案为 ADE C
4、或 AED B 或 .ADAC AEAB方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 3 题【类型三】 相似三角形与圆的综合应用如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点， CD AB 于点 D，交 AE 于点 G，弦 CE交 AB 于点 F，求证： AC2 AGAE.解析：延长 CG，交 O 于点 M，连接 AM，根据圆周角定理，可证明 ACG E，根据相似三角形的判定定理，可证明 CAG EAC，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论证明：延长 CG，交 O 于点 M，连接 AM， AB CM， ， ACG E，又AC AM
5、CAG EAC， CAG EAC， ， AC2 AGAE.ACAE AGAC方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 3 题【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合如图，在 ABCD 中，过点 B 作 BE CD，垂足为 E，连接 AE， F 为 AE 上一点，且 BFE C.若 AB8， BE6， AD7，求 BF 的长解析：可通过证明 BAF AED， AFB D，证得 ABF EAD，可得出关于AB， AE， AD， BF 的比例关系已知 AD， AB 的长，只需求出 AE 的长即可可在直角三
6、角形ABE 中用勾股定理求出 AE 的长，进而求出 BF 的长解：在平行四边形 ABCD 中， AB CD， BAF AED. AFB BFE180， D C180， BFE C， AFB D， ABFEAD. BE CD， AB CD， BE AB， ABE90，3 AE 10. ABF EAD， ， ， BF5.6.AB2 BE2 82 62BFAD ABAE BF7 810方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题【类型五】 相似三角形与二次函数的综合如图，在 ABC 中， C
7、90， BC5m， AB10m. M 点在线段 CA 上，从 C 向 A运动，速度为 1m/s；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2m/s.运动时间为 ts.(1)当 t 为何值时， AMN 的面积为 6m2?(2)当 t 为何值时， AMN 的面积最大？并求出这个最大值解析：(1)作 NH AC 于 H，证得 ANH ABC，从而得到比例式，然后用 t 表示出NH，根据 AMN 的面积为 6m2，得到关于 t 的方程求得 t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关 t 的二次函数求最值即可解：(1)在 Rt ABC 中， AB2 BC2 AC2， AC5 m.如
8、图，作 NH AC 于3H， NHA C90， A 是公共角， NHA BCA， ，即ANAB NHBC ， NH t， S AMN t(5 t)6，解得 t1 ， t24 (舍去)，故当 t 为2t10 NH5 12 3 3 3秒时， AMN 的面积为 6m2.3(2)S AMN t(5 t) (t25 t ) (t )2 ，当 t 时，12 3 12 3 754 752 12 532 752 532S 最大值 m2.752方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题三、板书设计1三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；2应用判定定理解决简单的问题在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.
