1、1专题七 选考内容第一讲 选修 44 坐标系与参数方程考情分析 1坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用2全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用 考点一 极坐标方程及其应用典例感悟典例 (2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解 (
2、1)由 x cos ， y sin 得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知， C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1， y 轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，| k 2|k2 1故 k 或 k0.43经检验，当 k0 时，
3、 l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l2与 C2有两个公共点43当 l2与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故 k0 或 k .|k 2|k2 1 43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综上，所求 C1的方程为 y |x|2.432方法技巧1求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程熟练掌握互换公式是解决问题的关键2解决极坐标交点问题的一般思路(1)将极坐标方程化为直角坐标方程
4、，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；(2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标演练冲关(2018太原模拟)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos 1， M， N 分别为曲线 C 与 x 轴， y 轴的交点( 3)(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M， N 的极坐标；(2)设 M， N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解：(1) cos 1，( 3) cos cos sin sin 1. 3 3又Error! x y1，12 32即曲线 C 的直角坐标方程为 x y20，3令 y0，则 x
5、2；令 x0，则 y .233 M(2,0)， N .(0，233) M 的极坐标为(2,0)， N 的极坐标为 .(233， 2)(2) M， N 连线的中点 P 的直角坐标为 ，(1，33) P 的极角为 ， 6直线 OP 的极坐标方程为 ( R) 63考点二 参数方程及其应用典例感悟典例 (2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 1.x24
6、 y216当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ，当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos 2 )t24(2cos sin )t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1， t2，则 t1 t20.又由得 t1 t2 ，4 2cos sin 1 3cos2故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.方法技巧参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的
7、消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解演练冲关(2018广东广州花都区二模)已知直线 l：Error!( t 为参数)，曲线 C1：Error!( 为参数)(1)设 l 与 C1相交于 A， B 两点，求| AB|；(2)若把曲线 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标缩短到原来的 倍，得到曲12 32线 C2，设 P 是曲线 C2上的一个动点，求它到直线 l 距离的最小值
8、解：(1)直线 l 的普通方程为 y (x1)，曲线 C1的普通方程为 x2 y21，由Error!解34得 l 与 C1的交点坐标分别为(1,0)， ，故| AB| 1.(12， 32) (1 12)2 (0 32)2(2)由题意得，曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数)，则点 P 的坐标是，(12cos ， 32sin )所以点 P 到直线 l 的距离 d ，| 32cos 32sin 3|2 64sin( 4) 2故当 sin 1 时， d 取得最小值，最小值为 .( 4) 23 64考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用典例感悟典例 (2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，
9、直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，直线 l2的参数方程为Error!( m 为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos sin ) 0 ， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径2解 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1： y k(x2)；消去参数 m 得 l2的普通方程l2： y (x2)设 P(x， y)，由题设得Error!消去 k 得 x2 y24( y0)所以 C 的普通1k方程为 x2 y24( y0)(2)C
10、的极坐标方程为 2(cos2 sin 2 )4(0 2， )联立Error!得cos sin 2(cos sin )故 tan ，从而 cos2 ，sin 2 .13 910 110代入 2(cos2 sin 2 )4 得 25，所以交点 M 的极径为 .5方法技巧极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标系方程，然后求解(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题演练冲关(2018沈阳模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方
11、程为Error!( t 为参数)，曲线 C2的直角坐标方程为 x2( y2) 24.以平面直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴5的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 ，00)在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l： cos .( 4) 2(1)若 l 与曲线 C 没有公共点，求 t 的取值范围；(2)若曲线 C 上存在点到 l 的距离的最大值为 ，求 t 的值62 27解：(1)因为直线 l 的极坐标方程为 cos ，( 4) 2即 cos sin 2，所以直线 l 的直角坐标方程为 x y20.因为Error! ( 为参数， t0)，所以曲线 C 的
12、普通方程为 y21( t0)，x2t2由Error! 消去 x 得，(1 t2)y24 y4 t20，所以 164(1 t2)(4 t2)0，解得 00， t .25(2018重庆模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos3 .( 4) 2(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)若点 M 在曲线 C1上，点 N 在曲线 C2上，求| MN|的最小值及此时点 M 的直角坐标解：(1)由曲线 C1的参数方程可得曲线 C1的普通方程为 1，由x29
13、y23 cos 3 ，得 cos sin 6，曲线 C2的直角坐标方程为( 4) 2x y60.(2)设点 M 的坐标为(3cos ， sin )，点 M 到直线 x y60 的距离 d3 ，|3cos 3sin 6|2 |23sin( 3) 6|2 6 23sin( 3)2当 sin 1 时，| MN|有最小值，最小值为 3 ，此时点 M 的直角坐标为( 3) 2 6.(332， 32)6(2018昆明模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知倾斜角为 的直线 l 过点A(2,1)以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin ，直线 l 与曲线 C 分别交
14、于 P， Q 两点8(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若| PQ|2| AP|AQ|，求直线 l 的斜率 k.解：(1)由题意知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，因为 2sin ，所以 22 sin ，把 y sin ， x2 y2 2代入得 x2 y22 y，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程，得 t2(4cos )t30，由 (4cos )2430，得 cos2 ，34由根与系数的关系，得 t1 t24cos ， t1t23.不妨令| AP| t1|，| AQ| t2|，所以|
15、PQ| t1 t2|，因为| PQ|2| AP|AQ|，所以( t1 t2)2| t1|t2|，则( t1 t2)25 t1t2，得(4cos )253，解得 cos2 ，满足 cos2 ，1516 34所以 sin2 ，tan 2 ，116 115所以 ktan .15157(2019 届高三湘东五校联考)平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 过点M(2，4)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos .(1)写出直线 l 的参数方程( 为常数)和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与 C 交于 A， B 两点
16、，且| MA|MB|40，求倾斜角 的值解：(1)直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)， sin2 2cos ，即 2sin2 2 cos ，将 x cos ， y sin 代入得曲线 C 的直角坐标方程为 y22 x.(2)把直线 l 的参数方程代入 y22 x，得 t2sin2 (2cos 8sin )t200，设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，由一元二次方程根与系数的关系得， t1 t2 ， t1t2 ，2cos 8sin sin2 20sin2根据直线的参数方程中参数的几何意义，得| MA|MB| t1t2| 40，得20sin2 或 . 4 349又 (2c
17、os 8sin )280sin 2 0，所以 . 48(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A， B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解：(1) O 的直角坐标方程为 x2 y21.当 时， l 与 O 交于两点 2当 时，记 tan k，则 l 的方程为 y kx . 2 2l 与 O 交于两点需满足 1，即 或 .( 2， 34) ( 4， 2)综上， 的取值范围是 .( 4， 34)(2)l 的参数方程为Error! .设 A， B， P 对应的
18、参数分别为(t为 参 数 ， 42 时，由2 x60，解得 2axa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解演练冲关(2019 届高三沈阳模拟)已知函数 f(x)| x a|3 x，其中 aR.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3 x|2 x1|的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为
19、 x|x1，求 a 的值解：(1)当 a1 时， f(x)| x1|3 x，由 f(x)3 x|2 x1|，得| x1|2 x1|0，当 x1 时， x1(2 x1)0，得 x2，无解；当 x1 时，1 x(2 x1)0，得 x0；12 12当 x0 时，不等式的解集为 .x|x a2由 1，得 a2.a2当 a0 时，不等式的解集为 ，不合题意x|x 0当 a0， b0， a3 b32.证明：(1)(a b)(a5 b5)4；(2)a b2.证明 (1)( a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(a2 b2)24，当且仅当
20、 a b1 时取等号(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)23 a b 24，所以( a b)38，因此 a b2，当且仅当 a b1 时取等号3 a b 34方法技巧证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少” “至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法演练冲关12设不等式| x1| x1|1.|1 abcab c|解：(1)由已知，令 f(x)| x1| x1|Error!由| f(x)|1，只需证|1
21、 abc|ab c|，|1 abcab c|只需证 1 a2b2c2a2b2 c2，只需证 1 a2b2c2(1 a2b2)，只需证(1 a2b2)(1 c2)0，由 a， b， c A，得10 恒成立综上，1.|1 abcab c|考点三 含绝对值不等式的恒成立问题典例感悟典例 (2018全国卷)已知 f(x)| x1| ax1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， f(x)| x1| x1|，即 f(x)Error!故不等式 f(x)1 的解集为Error! .(2)当 x(0,1)
22、时| x1| ax1| x 成立等价于当 x(0,1)时| ax1|0，则| ax1| .32 34 32综上可得，不等式的解集为 .x|x34(2)若对任意的 tR， sR，都有 g(s) f(t)，可得 g(x)min f(x)max.函数 f(x)|2 x1|2 x3|2 x1(2 x3)|4， f(x)max4. g(x)| x1| x a| x1( x a)| a1|，故 g(x)min| a1|.| a1|4，解得 a3 或 a5.故 a 的取值范围为 a|a3 或 a5课 时 跟 踪 检 测 1(2018广州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)| x m| x|， mN *，
23、存在实数x 使 f(x)0)14(1)当 a1 时，解不等式 f(x)4；(2)若 f(x)4，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时， f(x)| x|2| x1|Error!当 x1 时，由 3x24，得 1 ，解得 m2，m2由于 m1 时，由 2x15，得 x2，故 10， 0， t 3 t2 1t t21 3 t.3t7(2018福州模拟)设函数 f(x)| x1|.(1)求不等式 f(x)3 f(x1)的解集；(2)已知关于 x 的不等式 f(x) f(x1)| x a|的解集为 M，若 M，求实数 a1，32的取值范围解：(1)因为 f(x)3 f(x1)，所以| x1|3| x2|，即| x1| x2|3，则Error! 或Error!或Error!解得 0 x1，5a则 f(x)Error!当 x 时， f(x)单调递增，12 5a f(x)的最小值在 上取得，12， 5a在 上，当 0a2 时， f(x)单调递增，当 2a5 时， f(x)单调递减，12， 5aError! 或Error!解得 a2.
