1、1专题二 数列全国卷 3年考情分析, 第一讲 小题考法等差数列与等比数列考点(一)数列的递推关系式主要考查方式有两种：一是利用 an与Sn的关系求通项 an或前 n项和 Sn； 二是利用 an与 an1 的关系求通项 an或前 n项和 Sn.典例感悟典例 (1)(2018合肥一模)已知数列 an的前 n项和为 Sn，若 3Sn2 an3 n，则 a2 018( )A2 2 0181 B.32 0186C. 2 018 D. 2 018(12) 72 (13) 103(2)(2018惠州模拟)已知数列 an满足 a11， an1 2 an2 n(nN *)，则数列 an的通项公式 an_.(3)
2、(2018昆明模拟)在数列 an中， a15，( an1 2)( an2)3( nN *)，则该数列的前 2 018项的和是_解析 (1)3 Sn2 an3 n，当 n1 时，3 S13 a12 a13， a13.当 n2 时，23an3 Sn3 Sn1 (2 an3 n)(2 an1 3 n3)， an2 an1 3， an12( an1 1)，数列 an1是以2 为首项，2 为公比的等比数列， an12(2) n1 (2)n， an(2) n1， a2 018(2) 2 01812 2 0181.故选 A.(2)an1 2 an2 n两边同除以 2n1 ，可得 ，又 ，数列 是以an 12
3、n 1 an2n 12 a12 12 an2n为首项， 为公差的等差数列， ( n1) ， an n2n1 .12 12 an2n 12 12 n2(3)依题意得( an1 2)( an2)3，( an2 2)( an1 2)3，因此an2 2 an2，即 an2 an，所以数列 an是以 2为周期的数列又 a15，因此( a22)(a12)3( a22)3，故 a23， a1 a28.又因为 2 01821 009，所以该数列的前 2 018项的和等于 1 009(a1 a2)8 072.答案 (1)A (2) n2n1 (3)8 072方法技巧由 an与 Sn的关系求通项公式的注意点(1)
4、应重视分类讨论思想的应用，分 n1 和 n2 两种情况讨论，特别注意an Sn Sn1 成立的前提是 n2.(2)由 Sn Sn1 an推得 an，当 n1 时， a1也适合，则需统一表示(“合写”)(3)由 Sn Sn1 an推得 an，当 n1 时， a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即 anError!演练冲关1(2019 届高三洛阳四校联考)已知数列 满足条件ana1 a2 a3 an2 n5，则数列 的通项公式为( )12 122 123 12n anA an2 n1 B anError!C an2 n D.an2 n2解析：选 B 由题意可知，数列 满足条件 a1
5、 a2 a3 an2 n5，则an12 122 123 12nn2 时，有 a1 a2 a3 an1 2( n1)5， n2，12 122 123 12n 1两式相减可得， 2 n52( n1)52，an2n an2 n1 ， n2， nN *.当 n1 时， 7， a114，a12综上可知，数列 的通项公式为ananError!32已知函数 f(x)对任意实数 x， y满足 f(x) f(y) f(x y)，若数列 an的前 n项和 Sn f(n)(nN *)且 a11，那么 a2 018( )A1 B1C2 018 D.2 018解析：选 B 法一： Sn f(n)， S22 S1 a1
6、a2， a21， S3 S1 S23， a31， S4 S1 S34， a41， a2 0181.法二：令 x1， y n，则 Sn S1 Sn1 .当 n2 时， Sn1 S1 Sn， Sn1 Sn Sn Sn1 ，故 an1 an， a11，可求出 a21， a2 0181.3(2018全国卷)记 Sn为数列 an的前 n项和若 Sn2 an1，则 S6_.解析： Sn2 an1，当 n2 时， Sn1 2 an1 1， an Sn Sn1 2 an2 an1 ，即 an2 an1 .当 n1 时， a1 S12 a11，得 a11.数列 an是首项 a1为1，公比 q为 2的等比数列，
7、Sn 12 n，a1 1 qn1 q 1 1 2n1 2 S612 663.答案：634已知数列 an的前 n项和为 Sn32 n，则数列 an的通项公式为_解析：当 n1 时， a1 S1325；当 n2 时， an Sn Sn1 32 n(32 n1 )2 n2 n1 2 n1 .因为当 n1 时，不符合 an2 n1 ，所以数列 an的通项公式为anError!答案： anError!考点(二)等差、等比数列的基本运算 主要考查与等差 比 数列的通项公式、前n项和公式有关的五个基本量间的“知三求二”运算.4典例感悟典例 (1)(2017全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n项和若a4
8、a524， S648，则 an的公差为( )A1 B.2C4 D.8(2)(2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n项和，若 3S3 S2 S4， a12，则a5( )A12 B10C10 D.12(3)(2017全国卷)设等比数列 an满足 a1 a21， a1 a33，则 a4_.(4)(2019届高三河南十校联考)已知 an是公差为 1的等差数列， Sn为 an的前 n项和，若 S84 S4，则 a10_.解析 (1)设等差数列 an的公差为 d，则由Error! 得Error!即Error! 解得 d4.(2)设等差数列 an的公差为 d，由 3S3 S2 S4，得 3(3a1
9、3 d)2 a1 d4 a16 d，即 3a12 d0.将 a12 代入上式，解得 d3，故 a5 a1(51) d24(3)10.(3)设等比数列 an的公比为 q，则 a1 a2 a1(1 q)1，a1 a3 a1(1 q2)3，两式相除，得 ，1 q1 q2 13解得 q2， a11，所以 a4 a1q38.(4) an是公差为 1的等差数列， S88 a128， S44 a16. S84 S4，8 a1284(4 a16)，解得 a1 ，12 a10 a19 d 9 .12 1925答案 (1)C (2)B (3)8 (4)192方法技巧等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：
10、首项 a1和公差 d(公比 q)(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于 a1和 d(或 q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量演练冲关1(2018广西模拟)在等差数列 an中，已知 a22，前 7项和 S756，则公差 d( )A2 B3C2 D.3解析：选 B 由题意可得Error!即Error!解得Error!选 B.2已知等比数列 an的前 n项和为 Sn， a2a52 a3,2a44 a75，则 S5( )A29 B31C33 D.36解析：选 B 法一：设等比数列 an的公比为 q，由题意知Error!解得Error!所以 S531，故选 B.a1 1 q51 q法
11、二：设等比数列 an的公比为 q，由 a2a52 a3，得 a42，又 2a44 a75，所以a7 ，所以 q ，所以 a116，所以 S5 31，故选 B.14 12 a1 1 q51 q3(2018开封模拟)已知数列 an满足 log2an1 1log 2an(nN *)，且a1 a2 a3 a101，则 log2(a101 a102 a110)_.解析：由 log2an1 1log 2an，可得 log2an1 log 22an，所以 an1 2 an，所以数列an是以 a1为首项，2 为公比的等比数列，又 a1 a2 a101，所以a101 a102 a110( a1 a2 a10)2
12、1002 100，所以 log2(a101 a102 a110)log 22100100.答案：100考点(三)等差、等比数列的性质 主要考查利用等差、等比数列的性质求解基本量及与数列单调性有关的参数范围问题.典例感悟典例 (1)(2018宜昌模拟)已知9， a1， a2，1 成等差数列，69， b1， b2， b3，1 成等比数列，则 b2(a1 a2)等于( )A30 B.30C30 D.15(2)(2018四川遂宁一诊)已知数列 an满足 anError!若对于任意的 nN *都有anan1 ，则实数 的取值范围是( )A. B.(0，12) (12， 712)C. D.(12， 1)
13、(712， 1)解析 (1)依题意 a1 a29(1)10， b (9)(1)9，又 b2与9，1 符号相同，即 b23， b2(a1 a2)30.2(2)因为 anan1 ，所以数列 an是递减数列，所以Error!解得 0且 q1，因为 S1， S3， S4成等差数列，所以 2S3 S1 S4，即 a1 ，解得 q .2a1 1 q31 q a1 1 q41 q 1 52答案：1 523在等差数列 an中， a17，公差为 d，前 n项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn取得最大值，则 d的取值范围为_解析：由题意，得 a80， a90，且 78 d0，因为 a2， a3， a1成等差数列
14、，所以12a1 a22 a3 a3，即 a1 a1q a1q2，因为 a10，所以 q2 q10，解得 q 或12 1 5212q m时， Sn与 an的大小关系是( )A Snan D.大小不能确定解析：选 C 若 a10，否则若 d0，数列是递减数列或常数列，则恒有 Sm0，当 m3 时，有am Sm，因此 am0， Sm0，又 Sn Sm am1 an，显然 Snan.故选 C.10(2018西安八校联考)设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 S6S7S5，则满足SnSn1 S7S5，得 S7 S6 a7S5，所以a70，所以 an为递减数列，又 S13 13 a70，所以 S12S
15、130)，由题意知 a10，且 an qn1 ，又12S3 a3， S5 a5， S4 a4成等差数列，所以 2(S5 a5) S3 a3 S4 a4，即2(a1 a2 a3 a42 a5) a1 a22 a3 a1 a2 a32 a4，化简得 4a5 a3，从而 4q21，解得 q ，又 q0，故 q ， an ，选择 A.12 12 12n二、填空题13(2018重庆模拟)在各项均为正数的等比数列 an中，若 a55，则log5a1log 5a2log 5a9_.解析：因为数列 an是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1a9 a2a8 a3a7 a4a6 a 5 2，则25
16、log5a1log 5a2log 5a9log 5(a1a2a9)log 5(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5log 5a log 5599.95答案：914(2018天津模拟)数列 an满足 a12 a24 a32 n1 an2 n1，且数列 an的前 n项和为 Sn，若对任意的 nN *，都有 20，2 Sn Sn an1 ，即 Sn an1 .当 n2 时， Sn1 an，两式作差得 an an1 an，即 2.an 1an又由 S12,3 S 2 a2S1 a ，求得 a22.21 2当 n2 时， an22 n2 2 n1 .验证当 n1 时不成立， anError
17、!答案：Error!16(2018西安八校联考)数列 an中， Sn为数列 an的前 n项和，且 a11， an(n2)，则 Sn_.2S2n2Sn 1解析：当 n2 时，将 an Sn Sn1 代入 an ，2S2n2Sn 1得 Sn Sn1 ，2S2n2Sn 1化简整理，得 Sn Sn1 2 Sn1 Sn，两边同除以 Sn1 Sn，得 2( n2)，1Sn 1Sn 1又 1，所以数列 是首项为 1，公差为 2的等差数列，所以 12( n1)1S1 1Sn 1Sn2 n1，所以 Sn .12n 1答案：12n 1B级难度小题强化练1已知首项为 的等比数列 an不是递减数列，其前 n项和为 S
18、n(nN *)，4 a5 a3.设32Tn Sn ，则数列 Tn中最大项的值为( )1Sn16A. B.34 45C. D.56 78解析：选 C 设等比数列 an的公比为 q，则 q2 .又 an不是递减数列且a5a3 14a1 ，所以 q ，故等比数列 an的通项公式为 an n1 (1)32 12 32 ( 12)n1 ， Sn1 nError!当 n为奇数时， Sn随 n的增大而减小，所以 1Sn S2 .综上，对任意的 nN *，总有 Sn 2，若 n1，则 R，若 n1，则 n 1 2 2 n 12 ，所以 0; 当 n为偶数时，由 an2，所以 ，即 0.综上，实数 的 n 1
19、2 n 12 23n取值范围为0，)选 A.3(2018武汉模拟)设等差数列 an满足 a3 a736， a4a6275，且 anan1 有最小值，则这个最小值为( )A10 B1217C9 D.13解析：选 B 设等差数列 an的公差为 d， a3 a736， a4 a636，又a4a6275，联立，解得Error!或Error!当Error!时，可得Error!此时an7 n17， a23， a34，易知当 n2 时， an0， a2a312 为anan1 的最小值；当Error! 时，可得Error! 此时 an7 n53， a74， a83，易知当 n7 时， an0，当 n8 时，
20、an0， a12.当 n2 时，4 Sn a 2 an,4Sn1 a 2 an1 ，两式相减得2n 2n 14an a a 2 an2 an1 ，( an an1 )(an an1 2)0，2n 2n 1 an0， an an1 2，故 an2 n.答案：2 n6已知数列 an满足 a1 a22， an2 2(1) nan a2(nN *)，则数列 an的通项公式为_解析：当 n2 k(kN *)时， a2k2 3 a2k2，即 a2k2 13( a2k1)，所以数列a2k1( kN *)是以 a21 为首项，3 为公比的等比数列，所以a2k1( a21)3 k1 3 k，即当 n为偶数时，
21、an3 21；当 n2 k1( kN *)时，a2k1 a2k1 2，所以 a2k1 a2k1 2，所以数列 a2k1 (kN *)是以 a1为首项，2 为公差18的等差数列，所以 a2k1 22( k1)2 k，即当 n为奇数时， an n1.所以数列 an的通项公式anError!答案： anError!第二讲 大题考法数列题型(一)等差、等比数列基本量的计算主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n项和的求解，且常结合数列的递推公式命题.典例感悟典例 1 (2018全国卷)等比数列 an中， a11， a54 a3.(1)求 an的通项公式；(2)记 Sn为 an的前 n项和若 Sm6
22、3，求 m.审题定向(一)定知识主要考查等比数列的通项公式及前 n项和.(二)定能力1.考查数学运算：指数式的运算.2.考查逻辑推理：欲求通项公式，需求公比 q；欲求参数 m，需列出参数 m的方程.(三)定思路第(1)问应用方程思想、等比数列通项公式求解：列关于公比 q的方程求 q，并写出等比数列的通项公式；第(2)问应用方程思想、等比数列求和公式求解：据等比数列前 n项和公式，结合(1)中结论列关于 m的方程并求解.解 (1)设 an的公比为 q，由题设得 an qn1 .由已知得 q44 q2，解得 q0(舍去)或 q2 或 q2.故 an(2) n1 或 an2 n1 .(2)若 an(
23、2) n1 ，则 Sn .1 2 n3由 Sm63，得(2) m188，此方程没有正整数解19若 an2 n1 ，则 Sn 2 n1.1 2n1 2由 Sm63，得 2m64，解得 m6.综上， m6.典例 2 (2017全国卷)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，等比数列 bn的前 n项和为 Tn， a11， b11， a2 b22.(1)若 a3 b35，求 bn的通项公式；(2)若 T321，求 S3.审题定向(一)定知识主要考查等差数列、等比数列通项公式及前 n项和.(二)定能力1.考查数学运算：二元方程组的求解和一元二次方程的求解2.考查逻辑推理：由求通项公式想到求数列的公比；要
24、求等差数列的和需先求公差.(三)定思路第(1)问应用方程思想、等比和等差数列通项公式求解：根据等差、等比数列的通项公式，结合条件建立公差 d、公比 q的方程求解；第(2)问应用方程思想、等差数列求和公式求解：由已知条件列出 q的方程，求出 q，进而求出 d，再由等差数列的前 n项和公式求解.解 设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 an1( n1) d， bn qn1 .由 a2 b22 得 d q3.(1)由 a3 b35 得 2d q26.联立解得Error!(舍去)或Error!因此 bn的通项公式为 bn2 n1 .(2)由 b11， T321，得 q2 q200，解得 q5
25、或 q4.当 q5 时，由得 d8，则 S321.当 q4 时，由得 d1，则 S36.类题通法20等差、等比数列的基本量的求解策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序(2)注意细节例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等对点训练已知数列 an是等差数列，满足 a12， a48，数列 bn是等比数列，满足b24， b532.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)
26、求数列 an bn的前 n项和 Sn.解：(1)设等差数列 an的公差为 d，由题意得 d 2，所以a4 a13an a1( n1) d2( n1)22 n.设等比数列 bn的公比为 q，由题意得q3 8，解得 q2.b5b2因为 b1 2，所以 bn b1qn1 22 n1 2 n.b2q(2)因为 an2 n， bn2 n，所以 an bn2 n2 n，所以Sn n2 n2 n1 2.n 2 2n2 2 1 2n1 2题型(二)数列求和问题主要考查错位相减法求和、裂项相消法求和以及公式法求和，且常结合数列 的递推公式命题.典例感悟典例 1 (2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n
27、项和，已知a17， S315.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值.21审题定向(一)定知识主要考查等差数列的通项公式、数列的公式法求和及数列和的最值(二)定能力1.考查逻辑推理：欲求等差数列的通项公式，已知 a1，需求公差 d；欲求 Sn的最小值，需列出 Sn的关系式.2.考查数学运算：一元二次函数的最值求解(三)定思路第(1)问应用方程思想、等差数列通项公式求解：由题意列出关于数列公差 d的方程，求出 d，进而得出 an的通项公式；第(2)问应用函数思想、二次函数的最值求解：由(1)得出 Sn是关于 n的二次函数，进而由二次函数的性质求出 Sn的最小值.解 (1)设
28、 an的公差为 d，由题意得 3a13 d15.又 a17，所以 d2.所以an的通项公式为 an2 n9.(2)由(1)得 Sn n28 n( n4) 216，所以当 n4 时， Sn取得最小值，n a1 an2最小值为16.典例 2 (2017全国卷)设数列 an满足 a13 a2(2 n1) an2 n.(1)求 an的通项公式；(2)求数列 的前 n项和.an2n 122审题定向(一)定知识主要考查已知 an的关系式求通项公式及裂项求和法求数列的和(二)定能力1.考查逻辑推理：由 an的关系式与 an1 关系式得出 an的式子，即通项公式.2.考查数学运算：分式形式的裂项及裂项相消求和
29、.(三)定思路第(1)问应用递推关系式，把和的问题转化为项的问题：利用 an满足的关系式写出 n2 时 an1 的关系式，通过消项求得数列的通项公式；第(2)问根据通项公式结构特点裂项求和：化简通项，观察数列的结构特征，利用裂项相消法求和.解 (1)因为 a13 a2(2 n1) an2 n，故当 n2 时， a13 a2(2 n3) an1 2( n1)两式相减得(2 n1) an2，所以 an (n2)22n 1又由题设可得 a12，满足上式，从而 an的通项公式为 an .22n 1(2)记 的前 n项和为 Sn.an2n 1由(1)知 an2n 1 2 2n 1 2n 1 .12n 1
30、 12n 1则 Sn 11 13 13 15 12n 1 12n 1 .2n2n 1类题通法1公式法求和要过“3 关”定义关 会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列，还是等比数列应用关 会应用等差(比)数列的前 n项和公式来求解，需掌握等差数列的前 n项和公式、23等比数列的前 n项和公式运算关认真运算，等差数列求和要根据不同的已知条件灵活运用两个求和公式，同时注意与性质的结合使用；等比数列求和注意 q1 和 q1 两种情况2.裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多3错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列 an与等比数列
31、bn对应项相乘( anbn)型数列求和(2)步骤：求和时先乘以数列 bn的公比；将两个和式错位相减；整理结果形式对点训练(2018石家庄模拟)已知数列 an是各项均为正数的等比数列，若 a11， a2a416.(1)设 bnlog 2an，求数列 bn的通项公式；(2)求数列 anbn的前 n项和 Sn.解：(1)设数列 an的公比为 q(q0)，由Error!得 q416， q2， an2 n1 .又bnlog 2an， bn n1.(2)由(1)可知 anbn( n1)2 n1 ，则 Sn02 012 122 2( n1)2 n1 ，2Sn02 112 222 3( n1)2 n，得， S
32、n22 22 32 n1 ( n1)2 n ( n1)2 n2 n(2 n)2，2 2n1 2 Sn2 n(n2)2.题型(三)等差、等比数列的判定与证明主要考查等差数列与等比数列的定义、等差中项及等比中项，且常与数列的递推公式相结合命题.典例感悟典例 1 (2018全国卷)已知数列 an满足 a11， nan1 2( n1) an.设 bn .ann(1)求 b1， b2， b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；24(3)求 an的通项公式.审题定向(一)定知识主要考查数列的递推公式、等比数列的定义及通项公式(二)定能力1.考查逻辑推理：欲求 b1， b2， b3 ，需求 a
33、1， a2， a3；由 an1 与 an的关系判断 bn1 与 bn的关系，由 bn的通项公式得出 an的通项公式.2.考查数学抽象：由等比数列定义判断.(三)定思路第(1)问应用递推关系式及 an与 bn的关系式求解：将递推关系式变形为 an1 an，结合 a1求出 a2， a3，进而求得 b1， b2， b3；2 n 1n第(2)问应用递推关系式及等比数列定义求解：由条件得 ，即 bn1 2 bn，利用等比数列定义可判定；an 1n 1 2ann第(3)问应用(2)的结论，结合 an与 bn关系式求解：由等比数列的通项公式先得出 bn，进而求得 an.解 (1)由条件可得 an1 an.2
34、 n 1n将 n1 代入得， a24 a1，而 a11，所以 a24.将 n2 代入得， a33 a2，所以 a312.从而 b11， b22， b34.(2)数列 bn是首项为 1，公比为 2的等比数列由条件可得 ，即 bn1 2 bn，又 b11，所以数列 bn是首项为 1，公比为an 1n 1 2ann2的等比数列(3)由(2)可得 2 n1 ，所以 an n2n1 .ann典例 2 (2017全国卷)记 Sn为等比数列 an的前 n项和已知 S22， S36.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1 ， Sn， Sn2 是否成等差数列.25审题定向(一)定知识主要考查等
35、比数列的通项公式及其前 n项和公式，等差数列性质及等差数列的判断.(二)定能力1.考查逻辑推理：欲求通项公式，需求首项及公比，解关于首项及公比的方程组.2.考查数学抽象：由等差中项判断三项成等差数列.(三)定思路第(1)问应用方程思想、等比数列通项公式求解：设出公比，利用通项公式及已知条件列出方程组求出首项和公比，再求通项公式；第(2)问应用方程思想，等比数列求和公式求解；应用等差数列性质判断：由(1)及等比数列前 n项和公式求 Sn；根据等差数列中项公式，判断 Sn1 Sn2 2 Sn.解 (1)设 an的公比为 q.由题设可得Error!解得Error!故 an的通项公式为 an(2) n
36、.(2)由(1)可得 Sn 2 1 2 n1 2 (1) n .23 2n 13由于 Sn2 Sn1 (1) n43 2n 3 2n 232 2 Sn，23 1 n2n 13 故 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数列类题通法判定和证明数列是等差(比)数列的方法定义法 对于 n1 的任意自然数，验证 an1 an 为与正整数 n无关的某一(或 an 1an )常数中项公式法若 2an1 an an2 (nN *)，则 an为等差数列；若 a anan2 0( nN *)，则 an为等比数列2n 1对点训练(2018成都模拟)已知数列 an满足 a12， an1 2 an4.26(1)证明：数列
37、 an4是等比数列；(2)求数列| an|的前 n项和 Sn.解：(1)证明： a12， a142. an1 2 an4， an1 42 an82( an4)， 2， an4是以 2为首项，2 为公比的等比数列an 1 4an 4(2)由(1)可知 an42 n， an2 n4.当 n1 时， a120， S1| a1|2；当 n2 时， an0. Sn a1 a2 an2(2 24)(2 n4)22 22 n4( n1) 4( n1)2 n1 4 n2.2 1 2n1 2又当 n1 时，上式也满足当 nN *时， Sn2 n1 4 n2.数列问题重在 “归”化归解 题 通 法 点 拨 循流程
38、思维入题快等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差(比)数列问题或相关问题求解由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决按流程解题快又准典例 (2017天津高考)已知 an为等差数列，前 n项和为 Sn(nN *)， bn是首项为 2的等比数列，且公比大
39、于 0， b2 b312， b3 a42 a1， S1111 b4.(1)求 an和 bn的通项公式；(2)求数列 a2nb2n1 的前 n项和( nN *)解题示范(1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q.27由已知 b2 b312，得 b1(q q2)12，而 b12，所以 q2 q60.又因为 q0，解得 q2.所以 bn2 n.由 b3 a42 a1，可得 3d a18.由 S1111 b4，可得 a15 d16.由，解得 a11， d3，由此可得 an3 n2.所以数列 an的通项公式为 an3 n2，数列 bn的通项公式为 bn2 n.(2)设数列 a2nb2
40、n1 的前 n项和为 Tn，由 a2n6 n2， b2n1 24 n1 ，得 a2nb2n1 (3 n1)4 n，故 Tn2454 284 3(3 n1)4 n，4Tn24 254 384 4(3 n4)4 n(3 n1)4 n1 ，上述两式相减，得3 Tn2434 234 334 n(3 n1)4 n1 4(3 n1)4 n112 1 4n1 4(3 n2)4 n1 8.故 Tn 4n1 .3n 23 83所以数列 a2nb2n1 的前 n项和为 4n1 .3n 23 83思维升华 对于数列的备考应掌握的 4个关键点：(1)准确掌握数列中 an与 Sn之间的关系，这是解决数列问题的基础；(2
41、)重视等差与等比数列的复习，熟悉其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；(3)注意数列与函数、不等式等的综合问题，掌握解决此类问题的通法；28(4)在知识的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程思想等应用体验(2018开封模拟)已知数列 an满足 a11，且 2nan1 2( n1) an n(n1)(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn ，求数列 bn的前 n项和 Sn.1an解：(1)2 nan1 2( n1) an n(n1)，两边同时除以 2n(n1)得 ，an 1n 1 ann 12数列 是以 1为首项， 为公差的等差数
42、列，ann 12 ， an .ann n 12 n n 12(2) bn ， bn 2 ，1an 2n n 1 (1n 1n 1) Sn2 (112) (12 13) (1n 1n 1)2 .(11n 1) 2nn 1课 时 跟 踪 检 测 A卷大题保分练1(2018陕西模拟)已知在递增等差数列 an中， a12， a3是 a1和 a9的等比中项(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn ， Sn为数列 bn的前 n项和，求 S100的值1 n 1 an解：(1)设等差数列 an的公差为 d，则 an a1( n1) d. a3是 a1和 a9的等比中项， a a1a9，即(22 d)22(28 d)，解得 d0(舍)或 d2. an a1( n1) d2 n.23(2)bn .1 n 1 an 12n n 1 12(1n 1n 1) S100 b1 b2 b100 12 (1 12 12 13
