1、1专题四 概率与统计全国卷 3 年考情分析第一讲 小题考法排列、组合与二项式定理考点(一)排列、组合的应用 主要考查两个计数原理、排列、组合的简单综合应用，有时会与概率问题 相结合考查.典例感悟典例 (1)(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种(2)某班班会上老师准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙 2 名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A360 B520 C600 D720(
2、3)(2018青岛模拟)将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有( )2A18 种 B24 种 C36 种 D72 种解析 (1)因为安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，所以必有 1 人完成 2 项工作先把 4 项工作分成 3 组，即 2,1,1，有 6(种)，C24C12C1A2再分配给 3 个人，有 A 6(种)，所以不同的安排方式共有 6636(种)3(2)若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下的 5 人中选取 2 人，有 C 种选法，因为在25安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空” ，所以
3、安排的方式有 A A 种，从而此种情况下不同223的发言顺序的种数为 C A A 120.若甲、乙只有一人被选中，则先从甲、乙中选一人，有25223C 种选法，再从剩下的 5 人中选取 3 人，有 C 种选法，因为在安排顺序时无要求，所以12 35此种情况下不同的发言顺序的种数为 C C A 480.综上，不同的发言顺序的种数为12354120480600.故选 C.(3)一个路口有 3 人的分配方法有 C A 种；两个路口各有 2 人的分配方法有 C A 种133 233由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为 C A C A 36(种)133 233答案 (1)D (2)C (3)
4、C方法技巧1解答排列组合问题的 4 个角度解答排列组合问题要从“分析” 、 “分辨” 、 “分类” 、 “分步”的角度入手2解决分组分配问题的 3 种策略(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 A (n 为均分的组数)，避免重复计数n(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数演练冲关1(2018广州模拟)某学校获得 5 个高校
5、自主招生推荐名额，其中甲大学 2 个，乙大3学 2 个，丙大学 1 个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A36 种 B24 种C22 种 D20 种解析：选 B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3 名男生每个大学各推荐 1 人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有 A A 12 种推荐方法；第二种，将 3 名男生分成32两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有 C A A 12 种推荐方法故共有 24 种推荐方法，2322选 B.2(2017天津高考)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，
6、且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有 C C A 960(个)，四个数字都14354是奇数的四位数有 A 120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有 9601201 45080(个)答案：1 0803(2018全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有 1 位女生参加有 C C 种，有 2 位女生参加有 C C 种1224 214故共有 C C C C 26416(种)1224
7、 214法二：(间接法)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C 种情况，没有女生参加的情36况有 C 种，故共有 C C 20416(种)34 36 34答案：164(2017浙江高考)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析：法一：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 C C 55 种不48 46同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、副队长各 1 人，有 A 12 种不同的选法根据分24步乘法计数原理知共有 5512660 种不同的
8、选法法二：不考虑限制条件，共有 A C 种不同的选法，而没有女生的选法有 A C 种，故2826 2624至少有 1 名女生的选法有 A C A C 840180660(种)2826 2624答案：6604考点(二) 二项式定理及其应用 主要考查二项式定理的通项公式、二项式系数、二项式特定项、二项展开式系数的和等.典例感悟典例 (1)(2017全国卷) (1 x)6展开式中 x2的系数为( )(11x2)A15 B20C30 D35(2)(2017全国卷)( x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为( )A80 B40C40 D80(3)若(3 x1) 2 018 a0 a1x a2
9、x2 a2 018x2 018(xR)，则 13 a232a1 a333a1_.a2 01832 018a1解析 (1)(1 x)6展开式的通项 Tr1 C xr，所以 (1 x)6的展开式中 x2的r6 (11x2)系数为 1C 1C 30.26 46(2)当第一个括号内取 x 时，第二个括号内要取含 x2y3的项，即 C (2x)2( y)3，当第35一个括号内取 y 时，第二个括号内要取含 x3y2的项，即 C (2x)3( y)2，所以 x3y3的系数25为 C 23C 2210(84)40.25 35(3)令 x0，可得 a01.由通项可得 a1C 31(1) 2 0176 054.
10、令 x ，2 017813得 1，则 a13 a232 a333 a2 01832 018 13 a232a1 a333a1 a2 01832 018a1 1a1 .(a13 a232 a333 a2 01832 018) 1a1 16 054答案 (1)C (2)C (3)16 054方法技巧求解二项式定理相关问题的常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值5演练冲关1(2018全国卷) 5的展开式中 x4的系数为( )
11、(x22x)A10 B20C40 D80解析：选 C 5的展开式的通项公式为 Tr1 C (x2)(x22x) r55 r rC 2rx103 r，令 103 r4，得 r2.故展开式中 x4的系数为 C 2240.(2x) r5 252(2018长郡中学模拟)若二项式 7的展开式的各项系数之和为1，则含 x2(x2ax)项的系数为( )A560 B560C280 D280解析：选 A 取 x1，得二项式 7的展开式的各项系数之和为(1 a)7，即(x2ax)(1 a)71，解得 a2.二项式 7的展开式的通项 Tr1 C (x2)(x22x) r77 r rC (2) rx143 r.令 1
12、43 r2，得 r4.因此，二项式 7的展开式(2x) r7 (x2 2x)中含 x2项的系数为 C (2) 4560，选 A.473( x22) 5的展开式中含 x2项的系数为 250，则实数 m 的值为( )(1x2 mx)A5 B5C D.5 5解析：选 C 5的展开式的通项为 Tr1 C x2(5 r)( mx)rC ( m)rx3r10 ，(1x2 mx) r5 r5由 3r102，得 r4，系数为 C ( m)45 m4.因为第二个因式中没有常数项，所以展开45式中含 x2项的系数为 25m4250，求得 m .故选 C.54(2018陕西模拟)已知( x2) 9 a0 a1x a
13、2x2 a9x9，则(a13 a35 a57 a79 a9)2(2 a24 a46 a68 a8)2的值为( )A3 9 B3 10C3 11 D3 12解析：选 D 对( x2) 9 a0 a1x a2x2 a9x9两边同时求导，得 9(x2)8 a12 a2x3 a3x28 a8x79 a9x8，令 x1，得 a12 a23 a38 a89 a93 10，令x1，得 a12 a23 a38 a89 a93 2.所以( a13 a35 a57 a79 a9)62(2 a24 a46 a68 a8)2( a12 a23 a38 a89 a9)(a12 a23 a38 a89 a9)3 12，故
14、选 D.7必备知能自主补缺 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢1排列、组合数公式(1)排列数公式A n(n1)( n m1) .mnn！ n m ！(2)组合数公式C .mnAmnAm n n 1 n m 1m！ n！m！ n m ！2二项式定理(1)二项式定理(a b)nC anC an1 bC an kbkC bn.0n 1n kn n(2)通项与二项式系数Tk1 C an kbk，其中 C (k0,1,2， n)叫做二项式系数kn kn二级结论要用好1各二项式系数之和(1)C C C C 2 n.0n 1n 2n n(2)C C C C 2 n1
15、 .1n 3n 0n 2n2二项式系数的性质(1)C C ，C C C .rn n rn rn r 1n rn 1(2)二项式系数最值问题当 n 为偶数时，中间一项即第 项的二项式系数 C 最大；当 n 为奇数时，中间两(n2 1) n项即第 ， 项的二项式系数 C ，C 相等且最大n 12 n 32 n n针对练 若 n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数(x2x2)项是( )A360 B180 C90 D45解析：选 B 依题意知 n10， Tr1 C ( )10 r r C 2rx5 r，r10 x (2x2) r10令 5 r0，得 r2，常数项为 C 22180.52
16、 2108易错易混要明了二项式( a b)n与( b a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同课 时 跟 踪 检 测 A 级124 提速练一、选择题1在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A36 个 B24 个C18 个 D6 个解析：选 B 各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条件的三位数有 A C A 61824(个)3 1332(2018广西南宁模拟) 5的展开式中
17、 x3项的系数为( )(2x1x)A80 B80C40 D48解析：选 B 5的展开式的通项为 Tr1 C (2x)5 r r(1)(2x1x) r5 ( 1x)r25 rC x52 r，令 52 r3，解得 r1.于是展开式中 x3项的系数为(1)r5251 C 80，故选 B.153(2019 届高三南宁、柳州联考)从1,2,3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是( )A72 B70C66 D64解析：选 D 从1,2,3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C C C C 56 种选法，三个数相邻共有 C 8 种选法，故至少有两个数相邻共有12
18、 17 17 16 1856864 种选法，故选 D.4(2018新疆二检)( x23) 5的展开式的常数项是( )(1x2 1)A2 B2C3 D39解析：选 B 5的通项为 Tr1 C 5 rC x2r10 ，令 2r102 或 0，解(1x2 1) r5(1x2) r5得 r4,5，展开式的常数项是 C (3)C 2.45 55(2018益阳、湘潭联考)若(13 x)2 018 a0 a1x a2 018x2 018， xR，则a13 a232 a2 01832 018的值为( )A2 2 0181 B8 2 0181C2 2 018 D8 2 018解析：选 B 由已知，令 x0，得
19、a01，令 x3，得 a0 a13 a232 a2 01832 018(19) 2 0188 2 018，所以 a13 a232 a2 01832 0188 2 018 a08 2 0181，故选 B.6现有 5 本相同的数学家的眼光和 3 本相同的数学的神韵 ，要将它们排在同一层书架上，并且 3 本相同的数学的神韵不能放在一起，则不同的放法种数为( )A20 B120C2 400 D14 400解析：选 A 根据题意，可分两步：第一步，先放 5 本相同的数学家的眼光 ，有 1 种情况；第二步，5 本相同的数学家的眼光排好后，有 6 个空位，在 6 个空位中任选 3 个，把 3 本相同的数学的
20、神韵插入，有 C 20 种情况36故不同的放法有 20 种，故选 A.7(2019 届高三山西八校联考)已知(1 x)n的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A2 9 B2 10C2 11 D2 12解析：选 A 由题意得 C C ，由组合数性质得 n10，则奇数项的二项式系数和为4n 6n2n1 2 9，故选 A.8(2018惠州模拟)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小明可选的旅游路线数为( )A24 B18C16 D10解析：选 D 分两种情况，第一种
21、：最后体验甲景区，则有 A 种可选的路线；第二种：3不在最后体验甲景区，则有 C A 种可选的路线所以小明可选的旅游路线数为12 2A C A 10.选 D.3 12 29.现有 5 种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行10着色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是( )A120 B140C240 D260解析：选 D 由题意，先涂 A 处，有 5 种涂法，再涂 B 处有 4 种涂法，第三步涂 C，若C 与 A 所涂颜色相同，则 C 有 1 种涂法， D 有 4 种涂法，若 C 与 A 所涂颜色不同，则 C 有 3种涂法， D 有 3 种涂法，由此得不
22、同的着色方法有 54(1433)260(种)，故选 D.10(2018郑州模拟)若二项式 n的展开式的二项式系数之和为 8，则该展开(x22x)式每一项的系数之和为( )A1 B1C27 D27解析：选 A 依题意得 2n8，解得 n3.取 x1 得，该二项展开式每一项的系数之和为(12) 31，故选 A.11(2018开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理 、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A6 B12C18 D19解析：选 D 法一：在
23、物理、政治、历史中选一科的选法有 C C 9(种)；在物理、政1323治、历史中选两科的选法有 C C 9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有 1 种所2313以学生甲的选考方法共有 99119(种)，故选 D.法二：从六科中选考三科的选法有 C 种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一36科，这种选法有 1 种，因此学生甲的选考方法共有 C 119(种)，故选 D.3612(2018甘肃兰州检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4 个红包中有 2 个 6 元，1 个 8 元，1 个 10 元(红包中金额相同视为相同红
24、包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A18 种 B24 种C36 种 D48 种解析：选 C 若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 8 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A A 12(种)；223若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 10 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A A 12(种)；223若甲、乙抢的是一个 8 元和一个 10 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢11走，有 A C 6(种)；若甲、乙抢的是两个 6 元，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个223人抢走，有 A 6(种)，根据分类加法计
25、数原理可得，共有 12126636(种)故选23C.二、填空题13(2018贵州模拟) 9的展开式中 x3的系数为84，则展开式的各项系数之和(xax)为_解析：二项展开式的通项 Tr1 C x9 r r arC x92 r，令 92 r3，得 r3，所以r9 (ax) r9a3C 84，所以 a1，所以二项式为 9，令 x1，则(11) 90，所以展开式的39 (x1x)各项系数之和为 0.答案：014(2018福州四校联考)在(1 x3)(2 x)6的展开式中， x5的系数是_(用数字作答)解析：二项展开式中，含 x5的项是 C 2x5 x3C 24x2228 x5，所以 x5的系数是22
26、8.56 26答案：22815(2018合肥质检)在 4的展开式中，常数项为_(x1x 1)解析：易知 4 4的展开式的通项 Tr1 C (1) 4 r r.(x1x 1) 1 (x 1x) r4 (x 1x)又 r的展开式的通项 Rm1 C xr m( x1 )mC (1) mxr2 m， Tr1 C (1) 4 rC(x1x) mr mr r4(1) mxr2 m，令 r2 m0，得 r2 m，0 r4，0 m2，当 m0,1,2 时，mrr0,2,4，故常数项为 T1 T3 T5C (1) 4C (1) 2C (1) 1C (1) 0C (1)04 24 12 4 2425.答案：516
27、(2018洛阳模拟)某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2 个社团没有同学选报的报法有_种(用数字作答)解析：法一：第一步，选 2 名同学报名某个社团，有 C C 12 种报法；第二步，从23 14剩余的 3 个社团里选一个社团安排另一名同学，有 C C 3 种报法由分步乘法计数原13 1理得共有 12336 种报法法二：第一步，将 3 名同学分成两组，一组 1 人，一组 2 人，共 C 种方法；第二步，23从 4 个社团里选取 2 个社团让两组同学分别报名，共 A 种方法由分步乘法计数原理得共24有 C A 36 种报法23 24答案：36
28、12B 级难度小题强化练1(2018南昌模拟)某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A120 种 B156 种C188 种 D240 种解析：选 A 法一：记演出顺序为 16 号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占 1 和2 号，2 和 3 号，3 和 4 号，4 和 5 号，5 和 6 号，其排法分别为 A A ，A A ，C A A ，C A23 23 1223 13A ，C A A ，故总编排方案有 A A A A C A A C A A C A A 120(种)23
29、 1323 23 23 1223 1323 1323法二：记演出顺序为 16 号，按甲的编排进行分类，当甲在 1 号位置时，丙、丁相邻的情况有 4 种，则有 C A A 48(种)；当甲在 2 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，1423共有 C A A 36(种)；当甲在 3 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有1323C A A 36(种)所以编排方案共有 483636120(种)13232(2018洛阳模拟)若 a sin xdx，则二项式 6的展开式中的常数项为( )0 (ax 1x)A15 B15C240 D240解析：选 D a sin xdx( cos x)| ( cos
30、 )( cos 0)1(1)2，0 0则 6的展开式的通项为 Tr1 C 26r (1) rx ，令 63r0 得 r2，所以展(2x1x) r6 6 3r2开式中的常数项为 C 24(1) 2240.故选 D.263定义“规范 01 数列”a n如下：a n共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4，则不同的“规范 01 数列”共有( )A18 个 B16 个C14 个 D12 个解析：选 C 由题意知：当 m4 时， “规范 01 数列”共含有 8 项，其中 4 项为 0,4 项为 1，且必有 a10，
31、a 81.不考虑限制条件“对任意 k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个数不少于 1 的个数” ，则中间 6 个数的情况共有 C 20(种)，其中存在36k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个数少于 1 的个数的情况有：若 a2a 31，则有C 4(种)；若 a21，a 30，则 a41， a51，只有 1 种；若 a20，则14a3a 4a 51，只有 1 种综上，不同的“规范 01 数列”共有 20614(种)故共有 14个故选 C.134某公司有五个不同部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为( )A60 B
32、40C120 D240解析：选 A 由题意得，先将 4 名大学生平均分为两组，共有 3(种)不同的分法，C24C2A2再将两组安排在其中的两个部门，共有 3A 60(种)不同的安排方法故选 A.255(2018郑州一模)由数字 2,0,1,9 组成没有重复数字的四位偶数的个数为_解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为 0 进行分类计数：第一类，个位是 0 时，满足题意的四位偶数的个数为 A 6；第二类，个位是 2 时，满足题意的四3位偶数的个数为 C A 4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为12 26410.答案：106(2018济南模拟)已知(1axby) 5(
33、a，b 为常数，aN *， bN *)的展开式中不含字母 x 的项的系数和为 243，则函数 f(x) ， x 的最小值为sin 2x b2sin(x 4) 0， 2_解析：令 x0， y1，得(1 b)5243，解得 b2.因为 x ，所以 x ，0， 2 4 4， 34则 sin xcos x sin 1， ，2 (x 4) 2所以 f(x) sin 2x b2sin(x 4) sin 2x 2sin x cos x2sin xcos x 2sin x cos xsin xcos x1sin x cos x2 2， sin x cos x 1sin x cos x当且仅当 sin xcos
34、 x1 时取“” ，所以 f(x)的最小值为 2.答案：2第二讲 小题考法概率、统计、统计案例14考点(一) 用样本估计总体主要考查用统计图表以及利用样本的数字特征估计总体，且以统计图表的考查为主.典例感悟典例 (1)(2017全国卷)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1， x2， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A x1， x2， xn的平均数B x1， x2， xn的标准差C x1， x2， xn的最大值D x1， x2， xn的中位数(2)(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高
35、旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是( )A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳(3)(2018宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25,30)的为一等品，在区间20,25)和30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件
36、数为( )A5 B715C10 D50解析 (1)标准差能反映一组数据的稳定程度故选 B.(2)根据折线图可知，2014 年 8 月到 9 月、2014 年 10 月到 11 月等月接待游客量都在减少，所以 A 错误由图可知，B、C、D 正确(3)根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为 1(0.050 00.062 50.037 5)50.25，因此该样本中三等品的件数为 2000.2550，故选 D.答案 (1)B (2)A (3)D方法技巧1样本方差、标准差的计算与含义(1)计算：计算方差或标准差首先要计算平均数，然后再按照方差或标准差的计算公式进行计算(2)含义：方差和标准差是描述
37、一个样本和总体的波动大小的特征数，方差和标准差大说明波动大2频率分布直方图中常见问题及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于 1 就可以求出其他数据(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据可利用图形及某范围结合求解演练冲关1(2018全国卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建
38、设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选 A 设新农村建设前，农村的经济收入为 a，则新农村建设后，农村经济收入为 2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：16新农村建设前 新农村建设后新农村建设后变化情况结论种植收入 60%a 37%2a74% a 增加 A 错其他收入 4%a 5%2a10% a 增加一倍以上 B 对养殖收入 30%a 30%2a60% a 增加了一倍 C 对养殖收入第三产业收入(30%6%) a36% a(30%28%)2a116% a超过经济收入2a 的一半D 对故选 A.2某课外小组的同学们在社会实践活动中调
39、查了 20 户家庭某月的用电量如下表所示：用电量/度 120 140 160 180 200户数 2 3 5 8 2则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( )A180,170 B160,180C160,170 D180,160解析：选 A 用电量为 180 度的家庭最多，有 8 户，故这 20 户家庭该月用电量的众数是 180，排除 B，C；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这 20 户家庭该月用电量的中位数是 170.故选 A.3.(2018武汉调研)从某选手的 7 个得分中去掉 1 个最高分，去掉一个最低分后，剩余 5 个得分的平均数为
40、91 分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用 x 表示，则剩余 5 个得分的方差为_解析：去掉一个最高分 99 分，一个最低分 87 分，剩余的得分为 93 分，90 分，(90 x)分，91 分，87 分，则 91，解得 x4，所以这 5 个数的93 90 90 x 91 875方差 s2 (9193) 2(9190) 2(9194) 2(9191) 2(9187) 26.15答案：6考点(二) 变量间的相关关系、统计案例主要考查线性回归方程的求解及应用，对独立性检验的考查较少.典例感悟典例 (1)(2018豫东、豫北十所名校联考)根据如下样本数据：17x
41、3 4 5 6 7y 4.0 a5.4 0.5 0.5 b0.6得到的回归方程为 bx a.若样本点的中心为(5,0.9)，则当 x 每增加 1 个单位时，y y 就( )A增加 1.4 个单位 B减少 1.4 个单位C增加 7.9 个单位 D减少 7.9 个单位(2)通过随机询问 110 名学生是否爱好打篮球，得到如下的列联表：男 女 总计爱好 40 20 60不爱好 20 30 50总计 60 50 110附： K2 ，其中 n a b c d.n ad bc 2 a b c d a c b dP(K2 k0) 0.05 0.01 0.001k0 3.841 6.635 10.828参照附
42、表：得到的正确结论是( )A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别无关”B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别有关”C有 99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别无关”D有 99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”解析 (1)依题意得， 0.9，故 a b6.5；a b 25又样本点的中心为(5,0.9)，故 0.95 b a，联立，解得 b1.4， a7.9，则 1.4 x7.9，y 可知当 x 每增加 1 个单位时， y 就减少 1.4 个单位(2)因为 K2 7.8226.635，110 4030 2020 260506050所以在犯错
43、误的概率不超过 1%的前提下，即有 99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关” 答案 (1)B (2)D方法技巧求回归直线方程的关键及实际应用18(1)求回归直线方程的关键是正确理解 ， 的计算公式和准确地求解b a (2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值演练冲关1(2018湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响某电商对连续 5个年度的广告费 x 和销售额 y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：广告费 x 2 3 4 5 6销售额 y 29 41 5
44、0 59 71由上表可得回归方程为 10.2 x ，据此模型，预测广告费为 10 万元时的销售额约y a 为( )A101.2 万元 B108.8 万元C111.2 万元 D118.2 万元解析：选 C 根据统计数据表，可得 (23456)x 154， (2941505971)50，而回归直线 10.2 x 经过样本点的中心y 15 y a (4,50)，5010.24 ，解得 9.2，回归方程为 10.2 x9.2.当 x10 时，a a y y10.2109.2111.2，故选 C.2(2019 届高三湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时，通过查阅下表来
45、确定“ X 和 Y 有关系”的可信度如果 k3.841，那么有把握认为“ X 和 Y 有关系”的百分比为( )P(K2k0) 0.50 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 0.455 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635A.5% B75%C99.5% D95%解析：选 D 由表中数据可得，当 k3.841 时，有 0.05 的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有 10.050.95 的机率，也就是有 95%的把握认为变量之间有关系，故选 D.考点(三) 古典概型与几何概型主要考查古典概型与几何概型及其概率公式的应用.典例感悟19典例 (1)(2017全国卷)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B.14 8C
