1、1课时跟踪检测（二十七）坐标系与参数方程1(2018石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22 sin 30.(1)求直线 l 的极坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求| AB|.解：(1)由Error!消去 t 得， y2 x，把Error! 代入 y2 x，得 sin 2 cos ，所以直线 l 的极坐标方程为 sin 2cos .(2)因为 2 x2 y2， y sin ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y30，即 x
2、2( y1) 24.圆 C 的圆心 C(0，1)到直线 l 的距离 d ，55所以| AB|2 .4 d229552(2018益阳、湘潭模拟)在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos .直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点( 3) 12(1)求直线 l 的直角坐标方程；(2)设点 P(1,0)，求| PA|PB|的值解：(1)由 cos 得 cos cos sin sin ，即 cos ( 3) 12 3 3 12 12 sin ，32 12又 cos x， si
3、n y，直线 l 的直角坐标方程为 x y10.3(2)由Error! ( 为参数)得曲线 C 的普通方程为 x24 y24， P(1,0)在直线 l 上，故可设直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，将其代入 x24 y24 得 7t24 t120，3 t1t2 ，127故| PA|PB| t1|t2| t1t2| .1273(2018南昌模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参2数)，直线 C2的方程为 y x，以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系33(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程；(2)若直线 C2与曲线 C
4、1交于 P， Q 两点，求| OP|OQ|的值解：(1)曲线 C1的普通方程为( x )2( y2) 24，3即 x2 y22 x4 y30，则曲线 C1的极坐标方程为 22 cos 4 sin 3 3 30.直线 C2的方程为 y x，直线 C2的极坐标方程为 ( R)33 6(2)设 P( 1， 1)， Q( 2， 2)，将 ( R)代入 22 cos 4 sin 30 得， 6 3 25 30， 1 23，| OP|OQ| 1 23.4(2018福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：Error!( 为参数，t0)在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l：
5、 cos .( 4) 2(1)若 l 与曲线 C 没有公共点，求 t 的取值范围；(2)若曲线 C 上存在点到 l 的距离的最大值为 ，求 t 的值62 2解：(1)因为直线 l 的极坐标方程为 cos ，( 4) 2即 cos sin 2，所以直线 l 的直角坐标方程为 x y20.因为Error! ( 为参数， t0)，所以曲线 C 的普通方程为 y21( t0)，x2t2由Error! 消去 x 得，(1 t2)y24 y4 t20，所以 164(1 t2)(4 t2)0，解得 00， t .25(2018重庆模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)
6、，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos33 .( 4) 2(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)若点 M 在曲线 C1上，点 N 在曲线 C2上，求| MN|的最小值及此时点 M 的直角坐标解：(1)由曲线 C1的参数方程可得曲线 C1的普通方程为 1，由x29 y23 cos 3 ，得 cos sin 6，曲线 C2的直角坐标方程为( 4) 2x y60.(2)设点 M 的坐标为(3cos ， sin )，点 M 到直线 x y60 的距离 d3 ，|3cos 3sin 6|2 |23sin( 3) 6|2 6
7、23sin( 3)2当 sin 1 时，| MN|有最小值，最小值为 3 ，此时点 M 的直角坐标为( 3) 2 6.(332， 32)6(2018昆明模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知倾斜角为 的直线 l 过点A(2,1)以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin ，直线 l 与曲线 C 分别交于 P， Q 两点(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若| PQ|2| AP|AQ|，求直线 l 的斜率 k.解：(1)由题意知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，因为 2sin ，所以 22 sin ，把 y
8、sin ， x2 y2 2代入得 x2 y22 y，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程，得 t2(4cos )t30，由 (4cos )2430，得 cos2 ，34由根与系数的关系，得 t1 t24cos ， t1t23.不妨令| AP| t1|，| AQ| t2|，所以| PQ| t1 t2|，因为| PQ|2| AP|AQ|，所以( t1 t2)2| t1|t2|，则( t1 t2)25 t1t2，得(4cos )253，解得 cos2 ，满足 cos2 ，1516 34所以 sin2 ，tan 2 ，116 1154所以
9、ktan .15157(2019 届高三湘东五校联考)平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 过点M(2，4)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos .(1)写出直线 l 的参数方程( 为常数)和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与 C 交于 A， B 两点，且| MA|MB|40，求倾斜角 的值解：(1)直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)， sin2 2cos ，即 2sin2 2 cos ，将 x cos ， y sin 代入得曲线 C 的直角坐标方程为 y22 x.(2)把直线 l 的参
10、数方程代入 y22 x，得 t2sin2 (2cos 8sin )t200，设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，由一元二次方程根与系数的关系得， t1 t2 ， t1t2 ，2cos 8sin sin2 20sin2根据直线的参数方程中参数的几何意义，得| MA|MB| t1t2| 40，得20sin2 或 . 4 34又 (2cos 8sin )280sin 2 0，所以 . 48(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A， B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点
11、P 的轨迹的参数方程解：(1) O 的直角坐标方程为 x2 y21.当 时， l 与 O 交于两点 2当 时，记 tan k，则 l 的方程为 y kx . 2 2l 与 O 交于两点需满足 1，即 或 .( 2， 34) ( 4， 2)综上， 的取值范围是 .( 4， 34)5(2)l 的参数方程为Error! .设 A， B， P 对应的参数分别为(t为 参 数 ， 4 34)tA， tB， tP，则 tP ，且 tA， tB满足 t22 tsin 10.tA tB2 2于是 tA tB2 sin ， tP sin .2 2又点 P 的坐标( x， y)满足Error!所以点 P 的轨迹的参数方程是Error!.( 为 参 数 ， 4 34)
