1、 集合与简易逻辑 第 1页 集合与简易逻辑 一、知识要点与基本方法： （一）集合的概念 1集合的概念（描述性定义） 2集合的表示方法： 3元素与集合的关系。 （二）集合的运算 1交集 2并集 3补集 4集合中所含元素个数（容斥原理） ： （三）逻辑联结词和四种命题 1.命题 2.量词 3.基本逻辑连接词 4.含有一个量词的否定 （四）充分条件与必要条件 二、典型例题： 例 1设 A、B 是两个集合，对于AB ，下列说法正确的是（ ） A 存在 0 xA ，使 0 xB B BA 一定不成立 CB 不可能为空集 D 0 xA 是 0 xB 的充分条件 例 2设集合 02 1 x Mx xmNy
2、y xR = , ，若 MN = I ，则实数m的取值范围是（ ） Am 1 B m1 C m 1 D m1 第 2页 例 3集合 Mx x 1，N x ax1，MNM，则实数a的所有可能值的集合为（ ） A 1，1 B1 C0，1 D1，0，1 例 4设集合 | 20 , | 11 2 2 N q q B N p p A + = + = 。若 M B A = I ，则M 中元素的个数为 （ ） A0 B1 C2 D至少 3 例 5 已知 + R y R x , ， 集合 1 , 2 , , 1 , , 1 2 + = + + = y y y B x x x x A ， 若 A=B， 则 2
3、2 y x + 的值是（ ） A5 B4 C2 5 D10 例 6 设集合 , 3 2 | , 0 2 3 | 2 2 A x x x y y B x x x A + = = = + = ， 定义对于任意两个集合 M、 N的运算： , , | N M x N x M x x N M I = ，则 B A （ ） A 2 , 1 B 3 , 2 C 3 , 1 D 3 , 2 , 1 例 7 设 x 表示不大于x的最大整数， 集合 2 | 2 3 Axxx = ， 1 | 2 8 8 x Bx = ， 则AB = I _. 第 3页 例 8若曲线 y=a|x|与曲线 y=x+a 有两个不同的公共
4、点，则 a 的取值范围是_。 例 9在集合 1, 2 , 3, ,n L 中，任意取出一个子集，计算它的元素之和，则所有各个子集元素之和的 总和是 。 例 10对集合 1, 2 , 3 , , n A = L 的每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”如下：按递减的 次序重新排列该子集的元素,然后从最大的数开始,交替地减或加后继的数所得的结果。例如,集合 1 ,2,4,7,10的交替和为10 7 4 2 1 6 +=，集合7,10的交替和为10 7 3 = ,集合5的交替和 为 5，等等。求 n=2010 时，集合 A的所有子集的交替和的总和 。 例 11已知 2 Ax xmnmnZ =+
5、 , ， （1）设 1 1 342 x = ， 2 942 x= ， 2 3 132 x = () ，试判断 123 xxx ,与 A 之间 的关系； （2）任取 12 xx , A，试判断 1212 xxxx + , 与 A之间的关系； （3）能否找到 00 0 1 1 , xA Ax x 使且。 第 4页 例 12下列 4 个命题 1 11 :( 0 ,) , ( )( ) 23 x x px + 1/3 x 3 1 p: ( 0 , ) , () 2 x x + 1/2 x 4 11 :( 0 , ) , ( ) 32 x px 1/3 x 其中的真命题是( ) A 13 , p p B
6、 14 , p p C 23 , p p D 24 , p p 例 13 （1）设集合 1 0 1 x Ax x = + | , B=x|x1|a，若“a=1”是“A B 的( )” A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分又不必要条件 （2）设p：x 1 ，x 2 是方程x 2 +5x6=0的两根，q：x 1 +x 2 =5，则p 是q 的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 （3）已知x为锐角，则 2 2 cos sin 3 3 = + x x 是 4 = x 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充
7、分又不必要条件 例 14当集合 S N*，且满足命题“如果xS，则 8xS”时，回答下列问题： （1）试写出只有一个元素的集合 S； （2）试写出元素个数为 2 的 S的全部。 （3）满足上述条件的集合 S总共有多少个？ 第 5页 例 15设 S为满足下列两个条件的实数所构成的集合： 1 S，若aS，则 S a 1 1 ，求解下列问题： （I）若数列2(1) n 中的项都在 S中，求 S中所含元素个数最少的集合 S * ； （II）在 S * 中任取 3 个元素a、b、c，求使abc=1 的概率； （III）S中所含元素个数一定是 3n(nN * )个吗？若是请给出证明；若不是，试说明理由。 例 16对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x为 f(x)的“不动点”，若 x x f f = ) ( ( ，则称 x 为 f(x)的“稳定点”， 函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A和 B，即 x x f x A = = ) ( | ) ( | x x f f x B = = . (1). 求证：A B (2).若 ) , ( 1 ) ( 2 R x R a ax x f = ，且 = B A ，求实数 a 的取值范围.
