1、 平面向量及空间向量 第 8 讲 平面向量及空间向量 向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应 用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主 干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。 空间向量在新课标中，应用于立体几何的角和距离有所加强。 内容提要： 一、平面向量 （一）基本概念： 1、向量 2、有向线段 3、零向量与单位向量 4、平行向量（共线向量） 5、相等向量 （二）向量的运算： 1、 加法、减法，平行四边形法则与三角形法则 2、实数与向量的积 （1）定义 ：长度 ，方向： 0; 0;
2、 0 = 方向任意 （2）运算律 （3）定理： a r 与b r 共线 存在唯一实数 ，使得ab = r r 。 （4）平面向量基本定理： 11 22 aee =+ ru ru u r 3、数量积（内积） （1）定义 数量积是数而不是向量。 （2）性质 （3）运算律。 4、线段的定比分点：() 1 2 0; 0; 0 PP PP = = u uu r uuu r 5、图形的平移公式： 二、空间向量 1、相关定义 2、共线向量定理 3、共面向量定理 4、空间向量基本定理 5、空间两向量的夹角 6、向量的直角坐标运算 例题分析 例 1、 （1）若 a r 1 = ， b r =2c = a + b
3、，且 c a，则向量 a与 b 的夹角为（ ） A30 0B 60 0C 120 0D 150 0（2） 已知 A （3， 1） ， B （6， 1） ， C （4， 3） ， D为线段 BC 的中点， 则向量 AC 与 DA的夹角为 （ ） A 5 4 arccos 2 B 5 4 arccos C ) 5 4 arccos( D ) 5 4 arccos( 第 3页 （3）设向量 a r =（1，2） ， b r =（2，1） ，则（ a r b r ） （ a r +b r ）等于（ ） A （1，1） B （4，4） C 4 D （2，2） （4）在ABC 中，C=90， ), 3 ,
4、 2 ( ), 1 , ( = = AC k AB 则 k 的值是（ ） A 5 B5 C 2 3D 2 3 （5）已知向量 a =（2，2） ，b =（5，k）.若| a + b |不超过 5，则 k 的取值范围是（ ） A 4，6 B6，4 C6，2 D2，6 （6）已知向量 5 (1, 2), ( 2, 4), | | 5 , ( ) , 2 abca b ca c = =+ = rrrr r rr r 若则 与 的夹角为（ ） A 30 B60 C120 D150 （7）若直线 0 2 = + c y x 按向量 ) 1 , 1 ( = a 平移后与圆 5 2 2 = + y x 相切
5、，则 c 的值为（ ） A 8 或2 B6 或4 C4 或6 D2 或8 （8）已知点 (3 , 1 ) A ， (0,0) B ， (3 , 0 ) C 设 BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ，那么有 BCC E = uuu r uuu r ，其中 等于（ ） A2 B 1 2C- 3 D 1 3（9）已知向量 , ab r r ，且 2, 5 6, 7 2, AB a b BC a b CD a b =+ = + = u uu r uuu r uuu r rrr r rr 则一定共线的（ ） A、B、D B A、B、C C B、C、D DA、C、D （10）P 是ABC 所在平
6、面上一点，若 PA PC PC PB PB PA = = ，则 P是ABC 的（ ） A外心 B 内心 C 重心 D 垂心 （11）A，B，C 是不共线三点，点 O 是 A，B，C 确定平面内一点，若 222 | OA OB OC +取最 第 4页 小值时，O是ABC 的（ ） A重心 B 垂心 C内心 D外心 （12）平面内ABC 及一点 O满足 0 OA OB OC + += ，则点 O是ABC 的（ ） A重心 B 垂心 C 内心 D 外心 （13） 平面内ABC 及一点 O满足 , AO AB BO BA BO BC CO CB = =， 则点 O是ABC 的 （ ） A重心 B 垂心
7、 C 内心 D 外心 （14）平面内ABC 及一点 O 满足 , | | AO AB AD AC CO CA CO CB AB AC CA CB = ，则点 O 是ABC 的 （ ） A重心 B 垂心 C 内心 D 外心 例 2、 （1）已知向量 (5 , 3 ) ax = r ， (2, ) bx = r ，且ab r r ，则由 x 的值构成的集合是 A 2,3B 1, 6 C 2D 6（2）已知向量 a r e r ，| e r |1，对任意 t R，恒有| a r t e r | | a r e r |，则（ ） A a r e rB a r （ a r e r ） C e r （ a
8、 r e r ） D （ a r e r ）（ a r e r ） （3）设平面向量 123 , aaa ur uu ru u r 的和 123 0 aaa += uru u ru u rr 。如果向量 123 , bbb uru u ru r 满足 2 ii ba = uru r ，且 i a ur 顺时针旋 转30 后与 i b ur 同向，其中 1, 2, 3 i = ，则（ ） A 123 0 bbb += ur uuru rrB 123 0 bbb += uru u ru rrC 123 0 bbb += ur uuru rrD 123 0 bbb + += uru u ru rr（
9、4）若 a 与 bc 都是非零向量, 则“ab = ac”是“a(bc)”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第 5页 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 （5）已知 , 0 | | 2 | | = b a 且关于 x的方程 0 | | 2 = + + b a x a x 有实根, 则 a与b的夹角的取值范围 是（ ） A 6 , 0 B , 3 C 3 2 , 3 D , 6 （6）已知等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 1 Oa B u uu r 200 OA a OC u uu r uuu r ，且 A、B、C 三点共线（该直 线不过原点 O） ，则 S
10、 200 （ ） A100 B10 1 C20 0 D201 （7） 设 (0,0) O , (1, 0) A , (0,1) B ,点 P是线段 AB 上的一个动点, APA B = u uu r uuu r ,若OP AB PA PB uuu r uuu r uuur uuu r , 则 实数 的取值范围是（ ） A 1 1 2 B 2 11 2 C 12 1 22 + D 22 11 22 + （8）已知OA= 1，OB= 3 , OA OB = 0,点 C在AOB 内，且AOC= 30， 设OC = mOA + nOB (m、n R)，则 n m 等于（ ） A 3 1B 3 C 3
11、3D 3 （9）已知向量 ( ,12), (4,5), ( ,10), OA k OB OC k = uuu r uuu r uuu r ，且 A、B、C 三点共线，则 k= . （10）已知 2 = a ， 4 = b ，a与b的夹角为 3 ，以 a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的 两条对角线中较短的一条的长度为_ 奎屯 王新敞 新疆 例 3、 已知函数 b kx x f + = ) ( 的图象与 y x, 轴分别相交于点 A、 B， 2 AB = u uu r i r 2 j + r （ i r , j r 分别是与 y x, 轴正半轴同方向的单位向量） ，函数 6 ) ( 2 =
12、 x x x g 奎屯 王新敞 新疆（1）求 b k, 的值； （2）当 x满足 ) ( ) ( x g x f 时，求函数 ) ( 1 ) ( x f x g + 的最小值 奎屯 王新敞 新疆例 4、设 a b，|a| = 2，|b| = 1，实数 , kt不同时为零。 （1）若 2 (3 ) x at b =+ rr r 与 y ka tb =+ urrr 垂直，求函数 () ; kft = （2）确定 () kft = 的单调区间。 例 5、 （1）若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放在同一点，则这些向量的终 点构成的图形是 。 （2）下列等式中，使 M、A、B、C共面
13、的有 。 OM OA OB OC = uuuuru u u r uuu r uuu r 111 532 OM OA OB OC =+ uuuuru u u r uuu r uuu r 0 MA MB MC += uuu r uuu r uuu urr 0 OM OA OB OC += uuuuru u u r uuu r uuu r r（3）命题 S: ab = rr 是命题 R：ab = r r 的 条件。 （4）若ab = rr 且非零向量 , ab rr 不平行，则 , ab + r r , ab r r 的夹角为 。 例 6 、四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形
14、， (2, 1, 4), (4, 2,0), ( 1, 2, 1). AB AD AP = = = uuu r uuu r uuu r（1）求证： PA 底面 ABCD; （2）求四棱锥 P ABCD 的体积； （3）对于向量 111 (,) , axyz = r222 (,) , bxyz = r333 (,) , cxyz = r定义一种运算： 123 () abcxyz = + r rr 231 x yz 312 x yz 132 x yz 213 x yz 321 x yz 试计算() AB AD AP uuu r uuu r uuu r 的绝对值的值；说明其与四棱锥 P ABCD 体积的关系，并由此猜想向 量这一运算() AB AD AP uuu r uuu r uuu r 的绝对值的几何意义.
