1、1安徽省皖江名校联盟 2019 届高三数学开年摸底大联考试卷 理本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷第 1 至第 2 页，第II 卷第 2 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。2. 答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3. 答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可用铅笔在答题卡规定位置绘出，确认后再
2、用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 A=xR|x 2-3x0，B=-2，2，则（ RA）B=A. B. -2C. 2D. -2，22. 已知复数 z 满足（z+4i）（1-i）=3+2i（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3
3、. 设向量 a=（m，0） ，b=（1，1） ，且|b| 2=|a|2-|a-b|2，则 m=A. -1B. 0C. 1D. 24. 安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于 5 分钟的概率为A. B. C. D. 5. 已知公比为 q 的等比数列a n中，前 4 项的和为 a1+14，且 a2，a 3+1，a 4成等差数列，则公比 q=2A. 1B. C. 1 或-1D. 2 或6. 2018 年 912 月某市邮政快递业务量完成件数较 2017 年 912 月同比增长 25%，下图为该市 2017 年 912 月邮政快递业务量
4、柱形图及 2018 年 912 月邮政快递业务量结构扇形图，根据统计图，给出下列结论：2018 年 912 月，该市邮政快递业务量完成件数约 1500 万件；2018 年 912 月，该市邮政快递同城业务量完成件数与 2017 年 912 月相比有所减少；2018 年 912 月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过 75%，其中正确结论的个数为A. 3B. 2C. 1D. 07. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得。 ”通过对该题的研究发现，
5、若一束方物外周一匝的枚数n 是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解。如图是解决这类问题的程序框图，若输入n=24，则输出的结果为3A. 47B. 48C. 39D. 408. 已知（ax+b） 7的展开式中 x5项的系数与 x6的系数分别为 189 与-21，则（ax+b） 5展开式所有项系数之和为A. 64B. -64C. 32D. -329. 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 1，则该几何体的体积为A. 8B. C. D. 1210. 已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点 M（-a，0） ，N（0，b） ，点
6、 P 为线段 MN 上的动点，当 取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为 S1，S 2，则 =4A. 2B. 4C. 4D. 811. 设函数 f（x）=sin（x+ ） ，0 的图象关于直线 x=-1 和 x=2 均对称，则 f（0）的所有可能取值个数为A. 2B. 3C. 4D. 512. 正三棱锥 P-ABC 中，已知点 E 在 PA 上，PA，PB，PC 两两垂直，PA=4，PE=3EA，正三棱锥 P-ABC 的外接球为球 O，过 E 点作球 O 的截面 ，则 截球 O 所得截面面积的最小值为A. B. 2C. 3D. 4第 II 卷注意事项：第 II 卷共 3 页，须用黑色墨水
7、签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上。13. 若实数 x，y 满足条件 ，则 z=3x-y 的最大值为_。14. 设 Sn是数列a n的前 n 项和，且 a1=1，a n+1+SnSn+1=0，则数列S nSn+1的前 10 项和为_。15. 过抛物线 C：x 2=4y 的焦点 F 的直线 交 C 于 A，B，点 A 处的切线与 x，y 轴分别交于点 M
8、，N，若MON 的面积为 ，则|AF|=_。16. 若 x（0，1，|mx 3-3lnx|2 成立，则实数 m 的最小值为_。三. 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写在答题卡上的指定区域内。17. （本题满分 12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，BAD=90，D=60，CD=1，AD=3。（I）求 sinCAD；（II）若 AC=BC，求 BD。18. （本小题满分 12 分）5在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为梯形，AB/CD，BCAB，AB=2 ，BC= ，CD=PC= 。（I）点 E 在线段 PB 上，满足 CE/平面
9、 PAD，求 的值。（II）已知 AC 与 BD 的交点为 M，若 PM=1，且平面 PAC平面 ABCD，求二面角 P-BC-M 平面角的余弦值。19. （本小题满分 12 分）已知点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是椭圆 C： 上两个不同的点， A，M（4， ） ，B 到直线 ：x= 的距离顺次成等差数列。（I）求 x1+x2的值；（II）线段 AB 的中垂线 m 交 x 轴于 N 点，求直线 MN 的方程。20. （本小题满分 12 分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中按分层抽样的方法抽取 20 名学生，对他们的课外阅读
10、时间进行问卷调查。现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读） ，B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过 3 小时） ，C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3 小时） 。调查结果如下表：A 类 B 类 C 类男生 x 5 3女生 y 3 3（I）求出表中 x，y 的值；（II）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生 女生 总计不参加课外阅读参加课外阅读总计（III）从抽出的女生中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X 为抽取的这 3 名女生中 A 类人数和 C 类人数差的
11、绝对值，求 X 的数学期望。附：K 2=P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.635621. （本小题满分 12 分）已知函数 f（x）=x（e x-a）-alnx，aR。（I）当 a=e 时，求 f（x）的单调区间；（II）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围。请考生从第 22、23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C
12、1的参数方程为 （ 为参数） 。P 是曲线 C1上的动点，将线段 OP 绕 O 点顺时针旋转 90 得到线段 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2。以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求曲线 C1，C 2的极坐标方程；（II）在（I）的条件下，若射线 = （p0）与曲线 C1，C 2分别交于 A，B 两点（除极点外） ，且有定点 M（4，0） ，求MAB 的面积。23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f（x）=ln（|x-a|+|x+ |） 。（I）当 a=1 时，求不等式 f（x）ln10 的解集；（II）求证： 4。7理数参考答案题号1 2
13、 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案C A D B D B A D B B C C1. 【解析】略2.【解析】 ， 32134izi132zi3.【解析】由题意知： ， ，即 ，2baba0ba ， ，b1,a1,m4.【解析】此人在 25 分到 30 分或 55 分到 60 分之间的 5 分钟内到达，等待时间不多于 5分钟，概率 .故选 B.5306P5.【解析】由题知： ，故 ，2342431,2aa324,10a ，即 ， 或 .215q0qq16.【解析】 年 月该市邮政快递业务量完成件数约为08912:万件.正确； 年 月邮政快递同城业务24.+.65%020179:量
14、完成件数约 万件， 年 月邮政快递同城业务量完成件数约.4891:万件.错误； 年 月，该市邮政快递国际及港澳台业务量150302同比增长约为 .正确.16187597.【解析】 输入初始值 n=24,则 S=24，第一次循环：n=16,S=40第二次循环：n=8,S=48，第三次循环：n=0,S=48,即出循环 s=47,输出 47,选 A.8.【解析】由已知： ，即 ，故 ， 展开式所2571689Cba25693ba1b5()axb有项系数之和 .539.【解析】该几何体是一个半圆柱上面放一个半圆锥，体积和为.2211443V810.【解析】由 ，得 ，故线段 所在直线的方程为2cea,
15、3abMN，又点 在线段 上，可设 ，其中 ，3()yxPN(,3)Pma,0ma由于 ，即 ，12,0(,Fc12(,0)F得 ，3(,)Pama所以 由于 ，可知当221462314)4a,0a时， 取得最小值，此时 ，当 时， 取得最大3a12FPPym12PF值，此时 ，则 Py2134Sa11.【解析】根据题意， 是半周期的整数倍，于是 ，3kN因此 ，0sinfsincossincos于是 的所有可能取值是0f 1,212.【解析】三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线， ,32R过 作 ， ,在 中，O,HPA为 垂 足 2OHtOHE，当 垂直截面 时，213EE截面圆半径最
16、小. ，222()3rR.23Sr13.【答案】 【解析】画出 表示的可行域，7103xy的几何意义是直线 的纵截距的相反数，3zxyyxz平移直线 ，根据图形可得结论.z9画出实数 满足条件 表示的平面区域，如图，xy， 103xy的几何意义是直线 的纵截距的相反数，3yzzxy由 ，可得交点坐标为 ，平移直线 根据图形可知，当直线10x3,23yxz在经过 时， 取得最大值，最大值为 ，故答案为 .3yxz3,2yxz7714.【答案】 【解析】设 是数列 的前 项和，且 ， ，10nSna1a1nnS得到 ，因此 是以 为首项， 为公差的等差数列，11nnSS1nnS故 ， .nn110
17、1T15.【答案】2【解析】 由题意，焦点 ，设直线 ，不妨设 为左交点，0,FykxA，则过 的切线为 ，则 ，所以0,AxyA02xy00,2MNy，解得 ，则 ，所以 .01122S0,1AF16.【答案】 【解析】当 时， 显然不恒成立，故 不合题意；em3lnx0m当 时，函数 的图像有交点，即存在 ，使得m3,yx 1,x，故 不合题意；当 时，原不等式等价于 ，311ln0x03ln2x令 ，则 ，即 ，设 ，,tln2tlt2ltft，令 ，解得 ， ， ，即2ltf 0f1temax1fe,m.mine17.【解析】 （）在 中，由余弦定理得 ，ACD22cosACDCAD由
18、题设知， ， ，4 分21193277由正弦定理得 ，sini由题设知， ， ；6 分71i60iCAD 21sin410（）由题设及（）知， ， 21sincos4CADB8 分 ， 故13cs721210 分3AB在 中，由勾股定理得 ， .12 分D22931BDA23BD18.【解析】 （）延长 交于点 ，2 分,CF则 是平面 与平面 的交线，PFP由 平面 ，则 4 分CE AE 为 中点， 6 分B2（）在梯形 中， ， ，DB AD，23,6,3C可得 ，A且 ，,2,1,2MM又 ，1P可得 ， 8 分BPA平 面作 交 于 ，GBC可得 为 的平面角，且 ， 1023G21
19、P分 .12 分27cosMP19. 【解析】 （）设 到直线 的距离顺次是 ，,ABl123,d则 11232595,4,4dxdx 顺次成等差数列， ，即123, 213129544x . 4 分8x（）设线段 的中点为 ，由（） ，ABD12,y设 ，则 的中垂线 的方程为： ，6 分0,NxN124xy11 在直线 上，0,NxD故有 ，即 8 分121204yxy210yxx 在椭圆上，得 ，,AB22211995,5 10 分21225yxx联立可得： ，即点 坐标为 ，0196445N64,025直线 的方程为 . 12 分MN0xy20. 【解析】 （）设抽取的 20 人中，男
20、、女生人数分别为 ，则12,n,120128n1 分所以 ，2 分1534x3 分82y（）列联表如下：男生 女生 总计不参加课外阅读 4 2 6参加课外阅读 8 6 14总计 12 8 205 分的观测值 ，2K220(46)10.592.70183k所以没有 的把握认为“参加阅读与否”与性别有关7 分9%（） 的可能取值为 ，X,则 ，8312389(0)56CP分， 9 分21121338() 7CX12， 102138()4CPX分， 11 分381()56 12 分931502746EX21. 【解析】 （） 的定义域为 ，()fx(0,)当 时， . 2 分ae1xef令 ，则 ，
21、可得()0fxx 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .4 分(0,1)(1,)（）记 ，则 在 上单增，且 .lntxlntx(,)tR .()()feateagt 在 上有两个零点等价于 在 上有两个零点.6 分x0,()teat在 时， 在 上单增，且 ，故 无零点；()tgeR0t()g在 时， 在 上单增，又 ， ，0ata110ae故 在 上只有一个零点；()gt在 时，由 可知 在 时有唯一的一个极小值0a()0tea()gtlna. 8 分(ln)1l若 ， ， 无零点；e(ln)g最 小 ()t若 ， ， 只有一个零点；a0最 小 t若 时， ，而 ，10 分e(1l)0a最
22、 小 ()10g由于 在 时为减函数，可知： 时， ，ln()xfeae()feln,ae13即 .从而 ， 在 和 上各有一个零点.2ae2()0age()gt0,ln)a(l,)综上讨论可知： 时 有两个零点，即所求 的取值范围是 .12 分fx e22. 【解析】 （）由题设，得 的直角坐标方程为 ，1C22(1)xy即 ，2 分20xy故 的极坐标方程为 ，即 31C2sin02sin分设点 ，则由已知得 ，(,)0Q,M代入 的极坐标方程得 ，12sin()即 的极坐标方程为 52Cco0分（）将 代入 的极坐标方程得 ， 7312,C3,1,AB分又因为 ，所以 ，8 分(4,0)MsinTOASM，91sin32TOBS分所以 10 分MABOMBS23.【解析】 （） 当 时， ，由 ，1a()ln1fxx10x得 3 分10+0x或 或解得 4 分5或 的解集为 ； 5 分()ln1fx,5,（） 8 分 11ffxeaxax2a，当且仅当 时等号成立. 10 分12()4a
