1、1山西省太原市第五中学 2018-2019 学年高二数学上学期 10 月月考试题 理一、选择题（每小题 4 分,共 40 分,每小题只有一个正确答案）1.已知 是两条平行直线，且 平面 ，则 与 的位置关系是（ ）ab、 /abA平行 B相交 C 在平面 内 D平行或 在平面 内b2若某多面体的三视图（单位： ）如图所示，且此多cm面体的体积 ，则 （ ）36VcaA B C D943.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形 ，且 ， 平行于 轴，O2,1AOABy则这个平面图形的面积为（ ）A B C D55224.已知圆柱的高等于 ，侧面积等于 ，则这个圆柱的体积等于（ ）1
2、4A B C D345.若 表示空间中两条不重合的直线， 表示空间中两个不重合的平面，则下mn、 、列命题中正确的是（ ）A若 ，则 B若 ，则/,/ ,/mn/mnC若 ，则 D若 ，则,n6.如图，长方体 中， ， 为 上一点，则异面直线1BCDA1CP1与 所成角的大小是（ ）P1A B 4560C D随 点的移动而变化90P7.如图，在正方体 中， 分别1ACMN、是 的中点，则下列说法错误的是（ ）1B、A B 平面1MN1ACC D 平面/ /NBD8.在正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为（ 1AC11）A B C D132229.已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上，底面
3、是边长为 的正方形，-PDOABC且 面 ，四棱锥 的体积为 ，则该球的体积为（ ）C-A163A B C D648624610. 在长方体 中， 分别在线段11,5,BAMN、和 上， ，则三棱锥 体积的最小值为（ ）1C2MN1MNA B C D43432624二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）11.分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是 .12.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为 的正方形，则该几何体的表面积为 . 1x,OyC BA213.已知圆锥的表面积是 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 . 14. 如图所示，在正方体 中，1AB
4、CD分别是棱 的中点，EFGH、 、 、 11、 、 、是 的中点，点 在四边形 及其内部运动，则NBCMEFGH满足 时，有 平面 /N1B15.如图，在直四棱柱 中，底面 是正方ADCAD形， 记异面直线 与 所成的角为 ，则13AB1.cos3、解答题（每小题 10 分，共 40 分）16.如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，1CA， 为 的中点，过 的平面与6,8,0,3ABBE1ACBE、 、交于点 1CF（1）求证：点 为 的中点；1C（2）四边形 是什么平面图形？说明理由，并求其面ABE积17.如图，边长为 4 的正方形 中：CD（1）点 是 的中点，点 是 的中点，将 分别沿
5、折EABFBCAEDCF、 EDF、起，使 两点重合于点 .求证： ；C、 （2）当 时，求三棱锥 的体积.14F18.如图，在直三棱柱 中， ， ， 是1ABC12ABC90ABM的中点 .BC（1）求证： 平面 ；1/1M（2）求直线 与平面 所成角的正弦值AC19.在四棱锥 中，底面 为正方形， .PBDBPBD（1）证明：面 面 ；（2）若 与底面 所成的角为 ， ，求二面角 的余AC30ACPC弦值一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）高二数学（理）AB CDEFAB FDEB1A1MCBAC131.已知 是两条平行直线，且 平面 ，则 与 的位置关系是（ ）A平行 B相交C 在
6、平面 内 D平行或 在平面 内解析：因为 是两条平行直线，且 平面 ，所以 与 的位置关系是或 在平面 内，故选：D2若某多面体的三视图（单位： ）如图所示，且此多面体的体积 ，则（ ）A B C D解析：由三视图可知，几何体为三棱锥，高为 ，底边长为 ，底面高为 ，顶点在底面上的射影是等腰三角形的顶点，所以 ，解得 故选：A3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形 ，且， 平行于 轴，则这个平面图形的面积为（ ）A B C D解析：根据斜二测画法的规则可知：水平放置的图形 为一直角梯形，由题意可知上底为 ，高为 ，下底为 ，该图形的面积为 故选：B4.已知圆柱的高等于 ，侧面
7、积等于 ，则这个圆柱的体积等于（ ）A B C D解析：圆柱的高等于 ，侧面积等于 ，可得 ，可得 ，所以圆柱的体积为： 故选：D5.若 表示空间中两条不重合的直线， 表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）4A若 ，则 B若 ，则C若 ，则 D若 ，则解析：对于 A，若 ，显然结论错误，故 A 错误；对于 B，若 ，则 或 异面，故 B 错误；对于 C，若 ，则 ，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确；对于 D，若 ，则 位置关系不能确定，故 D 错误故选：C6.如图，长方体 中， ， 为 上一点，则异面直线与 所成角的大小是（ ）A B C D随 点的移动而变化解析：
8、面 ， 为 在面 内的射影，又 ， ，异面直线 与 所成角的大小是 所以故选 C7.如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列说法错误的是（ ）A B 平面C D 平面解析：在正方体 中， 分别是 的中点， 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴， ，建立空间直角坐标系，设正方体 中，棱长为 ，则 ，故 A 正确；，又 ， 平面 ，故 B 成立；5， 和 不平行，故 C 错误；平面 的法向量 ，又 平面 ， 平面 ，故 D 正确故选：C8.在正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为A B C D解析：如图所示：连接 交于点 ，连接 ，在正方体中，AB平面 AD1，ABA 1D，又 A1D
9、AD 1，且 AD1AB=A，A 1D平面 AD1C1B，所以A 1C1O 即为所求角，在 RtA 1C1O 中， ，所以 A1C1与平面 ABC1D1所成角的正弦值为 ，故选 D9.已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上，底面 是边长为 的正方形，且 面 ，四棱锥 的体积为 ，则该球的体积为（ ）A B C D解析：四棱锥 扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为 ，解得 ；，解得 ；外接球的体积为 故选：B10. 在长方体 中， 分别在线段和 上， ，则三棱锥 的体积最小值为（ ）A B C D解析：如图D 到平面 MC1N 的距离为定值 ，MC 1N 的一边长 MN
10、=2， ，要使三棱锥 DMNC 1的体积最小，则 C1 到直线 MN 的距离最小，此时 MN 在 AC 或 AA1上，C 1 到直线 MN 的距离为 5，则三棱锥 DMNC 1的体积最小值为 V= 故选：A6二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）11.分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是 .解析：分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交，分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面故答案为：平行或异面12.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为 的正方形，则该几何体的表面积为 .解析：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，是以俯视图
11、为底面是三棱柱，棱柱的底面是等腰直角三角形，腰长为 ，棱柱的高为 ，其左侧面与底侧面都是边长为 的正方形且相互垂直，其三棱柱的表面积 ，答案为：13.已知圆锥的表面积是 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 . 解析：设圆锥的底面半径为 ，母线为 ，因为圆锥的表面积是 ，所以， 又因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以 ，代入可得，所以圆锥的底面直径为 . 14. 如图所示，在正方体 中， 分别是棱的中点， 是 的中点，点 在四边形 及其内部运动，则 满足 时，有 平面 解析：HNDB，FHD 1D，面 FHN面 B1BDD1点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动，故 MFH
12、故答案为：M 在线段 FH 上.15.如图，在直四棱柱 中，底面 是正方形，记异面直线 与 所成的角为 ，则 7解：方法一：在直四棱柱 中，底面 是正方形， 是异面直线 与 所成的角（或所成的角的补角） ，设 ，记异面直线 与 所成的角为 ，则 ，故答案为： 方法二：向量法.三、解答题（每小题 10 分，共 40 分）16.如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， 为 的中点，过 的平面与交于点 （1）求证：点 为 的中点；（2）四边形 是什么平面图形？说明理由，并求其面积解析：（1）证明：三棱柱 中， ， 平面 ，平面 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ， ，又 为 的中点，点 为 的中点；（
13、2）四边形 是直角梯形，理由为：由（1）知， ，且 ，四边形 是梯形；又侧棱 B1B底面 ABC，B 1BAB；又 AB=6，BC=8，AC=10，AB 2+BC2=AC2，ABBC，又 B1BBC=B，AB平面 B1BCC1；又 BF平面 B1BCC1，ABBF；梯形 ABFE 是直角梯形；由 BB1=3，B 1F=4，BF=5；又 EF=3，AB=6，8直角梯形 ABFE 的面积为 S= （3+6）5= 17.如图，边长为 的正方形 中：（1）点 是 的中点，点 是 的中点，将 分别沿 折起，使 两点重合于点 .求证： ；（2）当 时，求三棱锥 的体积.解析：（1）证明：由正方形 可知：，
14、平面 ， .（2）正方形 边长为 4，故折叠后 ，故 的面积 ，由（1）知 ，可得三棱锥 的体积 .18.如图，在直三棱柱 中， ， 是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值解析：（1）证明：连接 交 于 ,连接 .在三角形 中，是三角形 的中位线，所以 ,又因 平面 ，所以 平面 . （2）方法一：设直线 与平面 所成角为 ，点到平面 的距离为 ，不妨设 ，则 ，9因为 , ，所以 . 因为 ，所以 , .， . 方法二：如图以 所在的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴，以 的长度为单位长度建立空间直角坐标系.则 , , , ， , ,
15、.设直线与平面 所成角为 ，平面 的法向量为 .则有 , ，令 ,得 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 . 19.在四棱锥 中，底面 为正方形， .（1）证明：面 面 ；（2）若 与底面 所成的角为 3， ，求二面角 的余弦值解析：（1）证明：连接 AC，BD 交点为 O，四边形 ABCD 为正方形，ACBD，PB=PD，OB=OD，BDOP，又OPAC=O，BD面 PAC，又 BD面 PAC，面 PAC面 ABCD（4 分）（2）方法一：面 PAC面 ABCD，过点 P 作 PEAC，垂足为 E，PE面 ABCD，PA 与底面 ABCD 所成的角为 30，PAC=30，又 PAPC，设 PC
16、=2，则 AP=2 ，PE= ，AE=3，AC=4，AD=2 ，（6 分）如图所示，以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，10则 A（0，0，0） ，B（2 ，0，0） ，C（2 ，2 ，0） ，D（0，2 ，0） ，P（ ， ） ，设面 PBC 法向量为 =（x，y，z） ， =（0，2 ，0） ， =（ ， ， ） ，则 ，令 z=1，则 =（ ） ，同理面 PCD 的法向量 =（0， ，1） ，（10 分）cos = = = 由图知二面角 BPCD 的平面角是钝角，二面角 BPCD 的余弦值为 （12 分）方法二：面 PAC面 ABCD，过点 P 作 PEAC，垂足为 E，PE面 ABCD，PA 与底面 ABCD 所成的角为 30，PAC=30，又 PAPC，设 PC=2，则 AP=2 ，PE= ，AE=3，AC=4，AD=2 ，在三角形 BEC 中，BCE=45，由余弦定理可得 ，解得，在直角三角形 PBE 中： ，同理：在三角形 DEC 中，DCE=45，由余弦定理可得 ，解得 ，在直角三角形 PDE 中： ，都是等腰三角形，设点 是 中点，则 为二面角的平面角，易知，二面角 BPCD 的余弦值为
