1、- 1 -山西省太原市第五中学 2019 届高三数学上学期 10 月月考试题 文（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简两个集合，进而判断二者的包含关系.【详解】 ,故选：B【点睛】本题考查两个集合间的关系，考查二次不等式的解法及指数函数的值域，属于基础题.2.复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】 = ，z=1i
2、，则复数 z 的虚部为1故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题- 2 -3.已知 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知向量垂直得到数量积为 0，从而求出 的值.【详解】 ， ， ，又 ，即故选：B【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量数量积运算法则是解本题的关键，属于基础题4.若 ，则 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】a= 0，b= =log 32（1，0） ，c= =log 231，则 a，b，c 的大小关系是 cba
3、故选：C【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，- 3 -当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小5.已知命题 ，命题 ，则下列说法正确的是（ ）A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题C. 命题 是假命题 D. 命题 是真命题【答案】D【解析】【分析】命题 p：取 x=0R，cosxsinx 成立，即可判断出真假命题 q：取 x= 时， + =2，此时不成立，即可判断出真假，再利用复合命题
4、真假的判定方法即可得出【详解】命题 p：x=0R，cosxsinx，因此是真命题命题 q：x（0，） ，sinx+ 2，是假命题，取 x= 时， + =2，此时不成立，因此是假命题则下列判断正确的是：命题 p（q）是真命题故选：D【点睛】本题考查了三角函数的单调性及其值域、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.若实数 满足 ，则 的最大值为（ ）A. 3 B. 4 C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数 z=2x+y 的位置，求出最大值【详解】作出不等式组 的可行域如图：- 4 -目标函数 z=2x+y 在 的交点 B（3，3）
5、处取最大值为 z=23+3=9故选：D【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.已知某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 5 -试题分析：由三视图可知该几何体是由一个长、宽、高分别为 6，3，6 的长方体在一顶角上去掉一个侧棱长分别为 4，3，4 三棱锥的多面体，所以其体积为.
6、故选 B.考点：三视图、多面体体积.8.若 tan + =4,则 sin2 =A. B. C. D. 【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为 ，所以. .【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式 转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等视频9.已知函数 是奇函数，且 ，若 在 上是增函数， 的大小关系是（ ）A. B. - 6 -C. D. 【答案】D
7、【解析】【分析】由 f（x+2）=f（x） ，得 f（x+4）=f（x） ，利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小【详解】f（x+2）=f（x） ，函数 f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x）=f（x） ，函数 f（x）关于 x=1 对称，且 f（x+4）=f（x） ，函数是周期为 4 的周期数列f（x）在1，0上是增函数，f（x）在1，1上是增函数，f（x）在1，2上是减函数，f（ ）=f（4+ ）=f（ ）=f（ ） ，f（x）在1，2上是减函数，且 1 ，f（1）f（ ）f（ ） ，即 f（ ）f（ ）f（1） ，故选：D【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对
8、称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题10.已知四棱锥 的所有顶点在同一球面上,底面 是正方形且球心 在此平面内,当四棱锥体积取得最大值时,其面积等于 ,则球 的体积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：当四棱锥体积取得最大值时, ，因此,球 的体积等于 ,选 D.- 7 -考点：球体积【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与
9、该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.11.已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于两点, 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 的面积为 , 则抛物线的焦点为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线的渐近线为 ,抛物线的准线为 ,代入双曲线渐近线,求得 ,由于双曲线离心率为 ,即 ,即 两点的纵坐标为 ,解得 ,故焦点坐标为 .选 D.12.已知 ，又 ，若满足 的 有四个，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令 y=xex，则 y=（1+x）e x，求出极值点，判断函数的单调性，作出 y=xex图象，利用图象变换得 f（x）=|xe
10、x|图象，令 f（x）=m，则关于 m 方程 h（m）=m 2tm+1=0 两根分别在，满足 g（x）=1 的 x 有 4 个，列出不等式求解即可【详解】令 y=xex，则 y=（1+x）e x，由 y=0，得 x=1，- 8 -当 x（，1）时，y0，函数 y 单调递减，当 x（1，+）时，y0，函数 y 单调递增作出 y=xex图象，利用图象变换得 f（x）=|xe x|图象，令 f（x）=m，则关于 m 方程 h（m）=m 2tm+1=0两根分别在 时，满足 g（x）=1 的 x 有 4 个，由 ，解得 故选：B【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题
11、设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.在等差数列 中,已知 ,则 _.【答案】【解析】依题意 ,所以 .或:- 9 -.【考点定位】考查等差数列的性质和通项公式。14.2018 年 4 月,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、 乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛
12、的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙；妈妈:冠军一定不是乙和丙；孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是_【答案】丙【解析】分析：利用反推法，逐一排除即可.详解：如果甲是冠军，则爸爸与妈妈均猜对，不符合；如果乙是冠军，则三人均未猜对，不符合；如果丙是冠军，则只有爸爸猜对，符合；如果丁是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；如果戊是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；故答案为：丙点睛：本题考查推理的应用，解题时要认真审题，注意统筹考虑、全面分析，属于基础题15.当输入的实数 时，执行如图所示的程序框图，则输出的 不小于 103 的概率是_【答案】【解析】试题分析
13、：设输入的实数为 ,第一次循环为 ；第二次循环为- 10 -；第二次循环为 .输出.输出的 不小于 的概率是 .考点：算法初步；几何概型.【易错点睛】本题主要考查了算法初步,几何概型等知识.求解与长度有关的几何概型的两点注意：（1）求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；（2）求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度视频16.已知函数 ，则满足不等式 的 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据 f（x）的性质可作出其图象的草图，根据图象可去掉不等式中的符号：“f” ，从而转化
14、为具体不等式求解【详解】因为 x0 时，f（x）=x 2+11；当 x0 时，f（x）=1，所以 f（x）在0，+）上递增，作出 f（x）的草图如下：根据图象，由 f（2x 2）f（x） ，得 ，解得 x1，所以 x 的取值范围为： x1，- 11 -故答案为： 【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查不等式的求解，属中档题三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共 60 分.17.已知函数 .（1）当 时，求函数 的单调递增区间；（2）设 的内角 的对应边分别为 ，且 ，若向量 与向量共线，求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用
15、三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为 令，kz，求得 x 的范围，结合 ，可得 f（x）的递增区间（2）由 f（C）=2，求得 ，结合 C 的范围求得 C 的值根据向量 =（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线，可得 ，故有 = ，再由余弦定理得 9=a2+b2ab ，由求得 a、b 的值【详解】 （1） = = 令 ，解得 ，即 ， ，f（x）的递增区间为 （2）由 ，得 而 C（0，） ， ， ，可得 向量向量 =（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线， ，由正弦定理得： = - 12 -由余弦定理得：c 2=a2+b22abcosC，即 9=a2+b2ab ，由、解
16、得 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题18.为了解太原各景点在大众中的熟知度，随机对 1565 岁的人群抽样了 人，回答问题“太原市有哪几个著名的旅游景点？” ，统计结果及频率分布直方图如图表组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率第 1 组第 2 组 18第 3 组第 4 组 9第 5 组 3（1）分别求出 的值； （2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 2，3，4 组每组各抽取多少人？（3）在（2）抽取的 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的人中恰好没有第 3
17、组人的概率.【答案】 （1） ；（2）2，3，1；（3） .【解析】【分析】（1）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组的频数为 25，再结合频率分布直方图求得- 13 -n，a，b，x，y 的值；（2）因为第 2，3，4 组回答正确的人数共有 54 人，抽取比例为 ，根据抽取比例计算第2，3，4 组每组应抽取的人数；（3）列出从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果，共 15 基本事件，其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件，利用古典概型概率公式计算【详解】 （1）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组总人数为 ，再结合频率分布直方图可知 n= ，a=1000.01100.5=5
18、，b=1000.03100.9=27，；（2）因为第 2，3，4 组回答正确的人数共有 54 人，利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人，每组分别抽取的人数为：第 2 组： 人；第 3 组：人；第 4 组： 人 （3）设第 2 组 2 人为：A 1，A 2；第 3 组 3 人为：B 1，B 2，B 3；第 4 组 1 人为：C 1则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为：（A 1，A 2） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 1，B 3） ，（A 1，C 1） ，（A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 2，B 3） ， （A 2，C 1） ， （B
19、1，B 2） ， （B 1，B 3） ， （B 1，C 1） ， （B 2，B 3） ，（B 2，C 1） ， （B 3，C 1）共 15 个基本事件，其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件，所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是： 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.19.如图，已知在四棱锥 中，底面 是边长为 4
20、的正方形， 是正三角形，平面 平面 分别是 的中点- 14 -（1）求证：平面 平面 ；（2）若 是线段 上一点，求三棱锥 的体积【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出 CD平面 PAD在PCD 中根据中位线定理，证出EFCD，从而 EF平面 PAD，结合面面垂直的判定定理，可得平面 EFG平面 PAD；（2）根据线面平行判定定理，得到 CD平面 EFG，所以 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，得到三棱锥 MEFG 的体积等于三棱锥 DEFG 的体积再由面面垂直的性质证出点 D 到平面 EFG 的距离等于
21、正EHD 的高，算出EFG 的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥 DEFG 的体积，即可得到三棱锥 MEFG 的体积【详解】 （1）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，CD平面 ABCD，CDADCD平面 PAD又PCD 中，E、F 分别是 PD、PC 的中点，EFCD，可得 EF平面 PADEF平面 EFG，平面 EFG平面 PAD；（2）EFCD，EF平面 EFG，CD 平面 EFG，CD平面 EFG，因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，V MEFG =VDEFG ，取 AD 的中点 H 连接 GH、EH，则 EFGH，
22、EF平面 PAD，EH平面 PAD，EFEH于是 SEFH = EFEH=2=SEFG ，平面 EFG平面 PAD，平面 EFG平面 PAD=EH，EHD 是正三角形- 15 -点 D 到平面 EFG 的距离等于正EHD 的高，即为 ，因此，三棱锥 MEFG 的体积 VMEFG =VDEFG = SEFG = 【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后
23、减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.20.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在椭圆 上，过 与坐标轴不垂直的直线 与椭圆 交于 两点（1）求椭圆 的方程；（2）若 的中点为 ，在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】- 16 -（1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆 C 的方程（2）存在
24、这样的点 M 符合题意设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，N（x 0，y 0） ，设直线 PQ 的方程为 y=k（x1） ，邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出 ，通过点 N 在直线 PQ 上，求出 N 的坐标，利用 MNPQ，转化求解 m 的范围【详解】 （1）由 得 ， ， ，由余弦定理得， ，解得 ， ， ，所以椭圆 的方程为 （2）存在这样的点 符合题意.设 ， ， ，由 ，设直线 的方程为 ，由 得 ， 由韦达定理得 ，故 ，又点 在直线 上， ，所以 .因为 ，所以 ，整理得 ，所以存在实数 ，且 的取值范围为 .【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几
25、何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体- 17 -现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.已知 .（1）求 的单调递减区间；（2）证明：当 时， 恒成立.【答案】 （1）当 时，单调递减区间为 ； 时，单调递减区间为 ；时，无单调递减区间； 时，单调递减区间为
26、 ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）易得 定义域为 ，对 a 分类讨论得到 的单调递减区间；（2）令 ， ，研究函数的单调性，求最值即可.【详解】 （1）易得 定义域为 ，解 得 或 .当 时， ， ，解 得 ， 的单调递减区间为 ；当 时，（i）若 ，即 时， 时， ，时， ， 时， ， 的单调递减区间为 ；（ii）若 ，即 时， 时， 恒成立， 没有单调递减区间；- 18 -（iii）若 ，即 时， 时， ； 时， ，时， ， 的单调递减区间为 .综上： 时，单调递减区间为 ； 时，单调递减区间为 ；时，无单调递减区间； 时，单调递减区间为 .（2）令 ， .令 ， ，时， ， 时
27、， ， 时， ，即 时， 恒成立.解 得 或 ， 时， ， 时， 时， ，得证.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.(二) 选考题：共 10 分.请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂则答题无效.22.选修 44：坐标系与参数方程在直角坐
28、标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线 ，过点 且倾斜角为 的直线 与曲线 分别交于 两点（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程；（2）若 成等比数列，求 的值【答案】 （1） ， ；（2）1.【解析】- 19 -【分析】（1）利用极坐标转化为普通方程,写出直线 的参数方程；（2）把参数表达式代入曲线 C 得出普通方程，利用韦达定理求解得出即可【详解】 （1） 可变为 ，曲线 的直角坐标方程为 ,直线 的参数方程为 为参数） 为参数）.（2）将直线 的参数表达式代入曲线 得, ,又 ， 由题意知： ， ，代入解得 【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经
29、过点 P(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数)若 A， B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 ，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 ，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 23.选修 45：不等式选讲设函数 .（1）若 的解集为 ，求实数 的值；- 20 -（2）当 时，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1）-1；（2） .【解析】【分析】（1）通过讨论 a 的符号，求出 a 的值即可；（2）令 h（x）=f（2x+1）f（x1） ，通过讨论 x 的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值
30、，从而求出 m 的范围即可【详解】 （1） 即 ， ， ,当 时， ，即 ， 无解,当 时， ，令 ， ，解得 ,综上： .（2）当 时，令 ,当 时， 有最小值，即 ,存在 ，使得不等式 成立，等价于，即 ，所以 .【点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 f(x)f(x)max， f(x)a 恒成立 af(x)min.第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式，即| a| b| ab| a| b|；利用零点分区间法
