1、- 1 -中山市第一中学 2018-2019 学年度 第一学期高一级 第一次段考 数学试题第卷（共 60 分）一、选择题（共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分每题只有一项是符合题目要求 ）1.下列说法正确的有（ ） 联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合； ；集合 与集合 是同一个集合；空集是任何集合的真子集.A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】A【解析】【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题的真假【详解】对于，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；对于，元素与集合的关系应为属于或不属于，即 0N*，
2、错误；对于，集合y=x 2-1列举的是一个等式，集合（x，y）|y=x 2-1表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；对于，空集是任何非空集合的真子集，错误；故选：A【点睛】本题考查集合的确定性，元素与集合的关系，列举法和描述法表示集合以及空集的有关性质，属于基础题2.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】- 2 -首先求得集合 A，然后进行交集运算即可.【详解】求解函数 的定义域可得： ，结合交集的定义有： .本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.如图中阴影部分所表示的集合
3、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是 B 中且不在 A、C 内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案【详解】由韦恩图可以看出，阴影部分是 B 中且不在 A、C 内部分所得，即 B 与C U（AC）的交集组成的集合，即：BC U（AC）故选：A4.已知集合 ，且 ，则 等于（ ）A. -1 B. C. D. 或-1【答案】C【解析】或 或 当 时， ，不符合集合中元素的互异性，- 3 -故 应舍去当 时， ，满足题意 故选 C【点睛】本题主要考察了集合中元素的互异性，较难解题的关键是求出 的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验5.
4、下列函数中，在区间 上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：结合函数的性质逐一考查函数的性质即可.详解：选项 ，图象为开口向上的抛物线，对称轴为 ，函数在 上单调递减，故不满足题意，错误；选项 ， 故函数在 上单调递减，当然在 上单调递减，故错误；选项 ， 在 和 均单调递增，显然满足在 上单调递增，故正确；选项 ， 在定义域 单调递减，故不满足题意本题选择 C 选项.点睛：本题主要考查函数的单调性及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设 如果 且 那么符合条件的集合 的个数是（ ）A. 4 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【解析】【分析
5、】,根据 A=1，2，3，4，SA，可得 S=4，2，1，2 ，1，4，2，3 ，2，4，3，4，1，2，,3 ，1，2，4，1，3，4， （2，3，4） ，1，2，3，4，由此可得结论【详解】A=1，2，3，4，SAS=4，2，1，2 ，1，4，2，3 ，2，4，3，4，1，2，,3 ，1，2，4，- 4 -1，3，4， （2，3，4） ，1，2，3，4故满足 SA 且 SB 的集合 S 的个数为 12 个故答案为：D【点睛】本题考查集合的包含关系，考查子集的含义，正确运用子集的含义是关键7.函数 的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】原函数解析式中含有二次根式，
6、含有分式和零次幂的指数式，让根式内部的代数式大于等于0，零次幂的指数式和分式的分母不等于 0，求解 x 的交集即可【详解】要使原函数有意义，则 ，即 ，解得， 且 所以，原函数的定义域为 故选：B【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是函数解析式有意义的自变量x 的取值集合，注意用集合或区间表示，是中档题8.已知函数 与 的定义如图所示，则方程 的解集是（ ）1 2 31 3 22 3 1- 5 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用 f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1，g（2）=2，g（3）=1，g（1）=3，即可得出方程的解集【详解】：f（1）=2，
7、f（2）=3，f（3）=1，f（g（1） ）=2，f（g（2） ）=2，g（2） ）=3，只有 f（g（1） ）=2 满足，因此方程 的解集是1故选：A【点睛】本题考查了函数的值的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.已知定义在 上的函数 在 上是减函数，当 时， 的最大值与最小值之差为 ，则 的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据 f（x）的单调区间求出 a 的范围，利用 f（x）的单调性求出 f（x）的最大值和最小值，得出 g（a）的解析式，利用 g（a）的单调性计算 g（a）的最小值【详解】：f（x）在（-，1上是减函数，-a1，
8、即 a-1f（x）在a+1，1上的最大值为 f（a+1）=3a 2+4a+4，最小值为 f（1）=4+2a， ，g（a）在（-，-1上单调递减，g（a）的最小值为 g（-1）=1- 6 -故选：B【点睛】本题考查了二次函数的单调性判断，最值计算，属于中档题10.若 是定义在 上的减函数，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】 由题意可得 3a-10、-a0、且-a3a-1+4a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a 的范围【详解】由题意可得 ，求得 ，故选：A【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题11.设奇函数 在 是增函数，且 ，则不等式 的解
9、集为（ ）A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及解不等式的综合类问题在解答时，首先要结合奇偶性和单调性对不等式进行转化变形，将问题转化为解不等式：2xf（x）0，然后再分类讨论即可获得问题的解答【详解】：函数 f（x）是奇函数，函数 f（x）在（0，+）上是增函数，它在（-，0）上也是增函数f（-x）=-f（x） ，f（-1）=f（1）=0不等式 xf（x）-f（-x）0 可化为 2xf（x）0，即 xf（x）0，当 x0 时，- 7 -可得 f（x）0=f（-1） ，x-1，-1x0；当 x0 时，可得 f（x）0=f（1） ，x1
10、，0x1综上，不等式 xf（x）-f（-x）0 的解集为x|-1x0，或 0x1故选：D【点睛】本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及解不等式的综合类问题在解答的过程当中充分体现了转化的思想、数形结合的思想以及函数单调性与奇偶性的知识值得同学们体会和反思12.已知函数 ， ，若对任意 ，总存在 ，使得，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】确定函数 f（x） 、g（x）在-1，2上的值域，根据对任意的 x1-1，2都存在 x0-1，2，使得 g（x 1）=f（x 0） ，可 g（x）值域是 f（x）值域的子集，从而得到实数 a 的取值范围【详解】函数 f（x
11、）=x 2-2x 的图象是开口向上的抛物线，且关于直线 x=1 对称x 1-1，2时，f（x）的最小值为 f（1）=-1，最大值为 f（-1）=3，可得 f（x 1）值域为-1，3又g（x）=ax+2（a0） ，x 2-1，2，g（x）为单调增函数，g（x 2）值域为g（-1） ，g（2）即 g（x 2）2-a，2a+2对任意的 x1-1，2都存在 x0-1，2，使得 g（x 1）=f（x 0） ， 【点睛】本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意” 、“存在”的理解- 8 -第卷（共 90 分）二、填空题（每小题 5 分，满分 20 分.）13.化简： = _
12、（用分数指数幂表示）.【答案】【解析】.故答案为; .14.若 ，则 的解析式为_.【答案】【解析】【分析】（换元法）令 注意 ，【详解】令 ，t1， 即即答案为 .【点睛】本题考查了函数的解析式的求法，常用求法本题中均有体现，是一道基础题15.函数 在区间 上的值域是_.【答案】【解析】【分析】根据函数 在区间 上上的单调性，求函数 在区间 上的值域.【详解】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故又- 9 -即函数 在区间 上的值域是 .即答案为 .【点睛】本题考查利用函数的单调性求值域，属基础题.16.已知函数 的定义域为 ，则可求的函数 的定义域为 ,求实数 m 的取值范围_.【答
13、案】【解析】函数 的定义域为 ， ，令 ,则 ，由题意知，当 时， ，作出函数的图象，如图所示，由图可得，当 或 时， ，当 时， ，时 ，实数 的取值范围是 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17.（1）已知集合 ，集合 ，全集 ，求 ，；（2）已知集合 ， ，若 ，求实数 的值- 10 -【答案】 （1） ， 或 ；（2） .【解析】【分析】（1）直接利用交集，并集的运算法则求出 ABAB；（2）根据集合的基本运算进行求解即可【详解】 （1）由题设知 或 ， ，得 ， 或 .（2）若 ，则 或 ，即 或 ，得 或 ，当 时
14、 此时，集合 不成立，当 时， ， ，此时 ，不满足 ，所以 .【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合元素的互异性进行检验是解决本题的关键18.已知集合 ， .（1）若 ，求 ；（2）如果 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】（1） 时， ， ，可求 ，（2）首先求得集合 A，然后结合题意分类讨论即可求得最终结果【详解】 （1） 时， ， ， .（2） 得 ， ， .当 ，即 ， 符合 ；当 ，即 ， ，符合 ；当 ，即 ， 中有两个元素， ，- 11 - ，综上， 或 .【点睛】本题考查交并补混合运算以及子集问题，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对
15、基础概念的理解和计算能力，属于中等题19.已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， 现已画出函数 在 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象（1）写出函数 的增区间；（2）写出函数 的解析式；（3）若函数 ，求函数 的最小值【答案】 （1） 和 ；（2） ；（3）.【解析】试题分析：（1）根据偶函数的图象关于 轴对称，可作出 的图象，由图象可得 的单调递增函数；（2）令 ，则 ，根据条件可得 ，利用函数 是定义在 上的偶函数，可得 ，从而可得函数的解析式；（3）先求出抛物线对称轴 ，然后分当 时，当 ，当 时三种情况，根据二次函数的增减性解答.试题解析：（1） 在区间 ， 上单调递增.（2）设
16、，则 .- 12 -函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， . ， .（3） ，对称轴方程为： ，当 时， 为最小；当 时， 为最小；当 时， 为最小.综上，有： 的最小值为 .点睛：本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式，分段函数的单调性，函数最值的求解等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中熟记分析函数性质的求解方法是解答的关键.20.已知函数 （1）求函数 的定义域；（2）用函数单调性定义证明： 在 上是增函数【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由 ，得 ，可得 的定义域； （2
17、）证明： ，任取 ，则 ，判断符号即可 .【详解】 （1）由 ，得 ，即 的定义域 ； - 13 -（2）证明： ，任取 ，则 ， ， ， ， ，则 ，即 ， 则函数 在 上是增函数.【点睛】本题考查函数定义域的求法，以及利用函数单调性定义证明，属基础题.21.某种商品在天 内每克的销售价格 (元)与时间 的函数图象是如图所示的两条线段（不包含 两点） ；该商品在 30 天内日销售量 (克)与时间 (天)之间的函数关系如下表所示:第 天 5 15 20 30销售量 克 35 25 20 10（1）根据提供的图象，写出该商品每克销售的价格 (元)与时间 的函数关系式；（2）根据表中数据写出一个反
18、映日销售量 随时间 变化的函数关系式；（3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的 值.（注：日销售金额=每克的销售价格日销售量）- 14 -【答案】 （1） ；（2） ；（3）25.【解析】【分析】（1）设 AB 所在的直线方程为 P=kt+20，将 B 点代入可得 k 值，由 CD 两点坐标可得直线 CD所在的两点式方程，进而可得销售价格 P（元）与时间 t 的分段函数关系式（2）设 Q=k1t+b，把两点（5，35） ， （15，25）的坐标代入，可得日销售量 Q 随时间 t 变化的函数的解析式（3）设日销售金额为 y，根据销售金额=销售价格日销售量，结合（1） （2
19、）的结论得到答案【详解】 （1）由图可知 ， ， ， ，设 所在直线方程为 ，把 代入得 ，所以. ，由两点式得 所在的直线方程为 ，整理得， ， ，所以 ，（2）由题意，设 ，把两点 ， 代入得 ，解得 所以把点 ， 代入 也适合，即对应的四点都在同一条直线上，所以 .（本题若把四点中的任意两点代入 中求出 ， ，再验证也可以）（3）设日销售金额为 ，依题意得，当 时 ，配方整理得 ，当 时， 在区间 上的最大值为 900当 时， ，配方整理得 ，所以当 时， 在区间上的最大值为 1125.综上可知日销售金额最大值为 1125 元，此时 .【点睛】本小题主要考查具体的函数模型在实际问题中的应
20、用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及应用意识和运算求解能力- 15 -22.设 是定义在 上的函数，满足 ，当 时， （ ）求 的值，试证明 是偶函数（ ）证明 在 上单调递减（ ）若 ， ，求 的取值范围【答案】(1) ；证明见解析.(2) 证明见解析.(3) .【解析】分析：（1）先求得 ，再求得 ，令 ，则 ，从而可得结论；（2）设 ， ， ， ， ，则 ，即，从而可得结果；(3)求得 ，可得 ，化为 ，从而可得结果.详解：（ ）令 得 令 ， ， ， ，令 ，则 即 是定义在 上的偶函数（ ） ， ，设 ， ， ， ，则 ，- 16 -即 ，即 在 上单调递减（ ） ， ， ， 为偶函数，且在 上单调递减， ，综上， 的取值范围为 点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取 ；（2 ）作差 ；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号） ， 可得 在已知区间上是增函数， 可得 在已知区间上是减函数 .
