1、- 1 -广东省惠州市第一中学 2017-2018 学年高一数学模块综合测试试题（含解析）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分）1.不等式 的解集是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将“不等式 0”转化为“不等式组 ”，由一元二次不等式的解法求解【详解】依题意，不等式化为 ，解得1x2，故选：D【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解2.等比数列 的前 4 项和为 240，第 2 项与第 4 项的和为 180，则数列 的首项为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公
2、式以及前 n 项和公式建立方程即可【详解】由题意知 S4=240，a 2+a4=180，即 a1+a3=240180=60，则（a 1+a3）q=a 2+a4，即 60q=180，解得 q=3，则 a1+q2a1=10a1=60，解得 a1=6，故选：C【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键3.在实数等比数列 an中， a2， a6是方程 x234 x640 的两根，则 a4等于( )- 2 -A. 8 B. 8 C. 8 D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出【详解】等比数列a n中，a 2，a 6是方程
3、 x234x+64=0 的两根，a 2+a6=34，a 2a6=64= ，又偶数项的符号相同，a 40则 a4=8故选：A【点睛】本题考查了等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.已知实数 ， 满足 ，其中 ，则 的最小值为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 12【答案】A【解析】实数 ， 满足 ，其中 ,当且仅当 即时取等号. 的最小值是 4.所以 A 选项是正确的.点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；
4、三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件 化为 1，即 .5.若 ，则下面各式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】- 3 -【分析】利用不等式的基本性质和已知可同时得到11，11，0，从而得到答案【详解】11，11，11，0，20故选：A【点睛】本题考查不等式基本性质，正确利用已知条件和不等式的基本性质是解题得到关键6.在 中， 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量，若向量 ，则角 A 的大小为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据两个向量 ，得到两个向量的数量积等于 0，可以求得三角形三边的关系，在利用三
5、边关系求得角 A【详解】 ， ，（b-c）b+（ca） （c+a）=0，b 2+c2a 2=bc，cosA= = ，又因为是在三角形中，A=故选：B【点睛】本题是一个解三角形的问题，兼有向量与余弦定理的运算，由于向量兼有代数和几何两个方面的重要特征，解决这类问题时，首先要重视对向量表达式的理解；其次要善于运用向量的坐标运算，解决问题- 4 -7.已知函数 满足： 则 应满足（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出 f（3）的最值即可【详解】：4f（1）1，1f（2）5， ，作出可行域如图所示：令 z=f（3）=9ac，则 c=9az，
6、由可行域可知当直线 c=9az 经过点 A 时，截距最大，z 取得最小值，当直线 c=9az 经过点 B 时，截距最小，z 取得最大值联立方程组 可得 A（0，1） ，z 的最小值为 901=1，联立方程组 ，得 B（3，7） ，z 的最大值为 937=201f（3）20故选：C- 5 -【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.在如图的表格中，
7、每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则 a b c 的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】从第三列入手，根据等比中项得 2a=12，可得 a= ，所以每一列的公比都为 ，由此计算出第一列中的第 3 个数为 = 接下来研究第三行对应的等差数列，可以求出公差为（ ）= ，从而用等差数列的通项公式计算出第三行的第 4、5 两个数，也即第四列的第3 个数和第五列的第 3 个数最后研究第四列和第五列的等比数列，分别可以计算出 b、c 的值，最终求出的 a+b+c 值【详解】每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，根据第三列，得 2a=12，
8、可得 a= ，所以公比 q=在第一列中，第三个数为 =因此根据等差中项得：第三行第 2 个数为： =可得第三行等差数列的公差为 d= =在第三行中，第 4 个数为： +3 = ，第 5 个数为： +4 = ，即第四列中，第 3 个数为 ；第五列中，第 3 个数为 - 6 -在第四列中，第 4 个数 b 与第 3 个数之比为 q=b=同理，在第五列中，第 5 个数 c 与第 3 个数之比为 q2=c=综上所述，得 a+b+c= =1故选：A【点睛】本题以一个横行成等差、纵列成等比的数阵，来求其中的未知项，着重考查了等差数列和等比数列的基本概念，和它们的通项公式，属于中档题9.如果 的解集为 ，则
9、对于函数 应有 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|2x4，可得：a0，2，4 是 ax2+bx+c=0 的两个实数根，利用根与系数的关系可得：函数 f（x）=ax 2+bx+c=a（x 22x8）=a（x1）29a， （a0） 再利用二次函数的图象与性质即可得出【详解】不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|2x4，a0，2，4 是 ax2+bx+c=0 的两个实数根，2+4= ，24= 那么对于函数 f（x）=ax 2+bx+c=a（x 22x8）=a（x1） 29a， （a0） 此抛物线开口向下，其图象关系直线 x=1 对称，f
10、（1）=f（3） ，f（2）f（3）f（5） ，f（2）f（1）f（5） ，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、 “三个二次”的关系，考查了推理能力与计算- 7 -能力，属于中档题10.已知 为等比数列 的前 项和， ，若数列 也是等比数列，则 等于（ ）A. 2n B. 3n C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据a n为等比数列可知 a1a3=a22，由数列a n+1也是等比数列可知（a 1+1） （a 3+1）=（a 2+1） 2，两式联立可得 a1=a3，推断a n是常数列，每一项是 2，进而可得 Sn【详解】a n为等比数列，则 a1a3=a22，数列a n+1也是等
11、比数列，则（a 1+1） （a 3+1）=（a 2+1） 2得：a 1+a3=2a2（a 1+a3） 2=4（a 2） 2=4（a 1a3）（a 1a 3） 2=0a 1=a3即 a n是常数列，a n=a1=2an+1也是常数列，每一项都是 3故 S n=2n故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项的应用属基础题11.下列不等式组中，同解的是 （ ）A. 与 B. 与 x23x+20C. 0 与 D. （x2）0 与【答案】A【解析】【分析】分别求出选项中的每一组不等式的解集，即可判断是否为同解不等式【详解】对于 A，x6 与 x（x3） 26（x3） 2的解集都是x|x6，是同解不
12、等式；- 8 -对于 B，x 23x+3+ 的解集是x|x1 或 x2，且 x3，x 23x+20 的解集是x|x1 或 x2，不是同解不等式；对于 C， 0 的解集是x|x1 或 x2，且 x1 ，x 23x+20 的解集是x|x1 或 x2，不是同解不等式；对于 D， （x2）0 的解集是x|x2 或 x= ，与 x2 不是同解不等式故选：A【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，属于基础题目12.设函数 ，数列 是公差不为 0 的等差数列，则 （ ）A. 0 B. 7 C. 14 D. 21【答案】D【解析】试题分析：，即 ，根据等差数列的性质得 ，即，即 ， 即 ，考点：等差数列的性
13、质.二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）13.函数 的最小值是_.【答案】【解析】【分析】- 9 -由已知可变形为 ，再利用基本不等式即可【详解】x1， 3= ，当且仅当时取等号函数 y=3x+ （x1）的最小值是 故答案为 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14.数列a n中， ，则 的通项 _.【答案】【解析】【分析】由 ，两边同除以 可得： 利用等差数列的通项公式即可得出【详解】 ，由 a1=1，可得 an0 数列
14、是以 为首项， 1 为公差的等差数列 ，解得 故答案为： 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，- 10 -再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项15.定义“等积数列” ，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列a n是等积数列且 a1=2，公积为 10，那么这个数列前 21 项和 S21的值为_.【答案】72【解析】【分析】由
15、等积数列的定义，可得 a1=2，a 2=5，a 3=2，a 4=5，即为周期为 2 的数列，即可得到数列前 21 项和【详解】数列a n是等积数列且 a1=2，公积为 10，可得 a2=5，a 3=2，a 4=5，则前 21 项和 S21=2+5+2+5+2=710+2=72故答案为：72【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和，注意运用周期性，考查运算能力，属于基础题16.若不等式 对于任意正整数 恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】按照 n 为奇数，偶数两种情况讨论，分离出参数 a 后化为函数最值问题求解即可【详解】当 n 为奇数时，设 n=2k1（kN *）那
16、么（1） nan+ 转化为：a（2k1）+a2k1+ ， （kN *）a1（2k ）- 11 -2k ，当且仅当 k=1 时取等号，又kN *所以 a 恒成立当 n 为偶数时，设 n=2k（kN *）那么（1） nan+ 转化为：a2ka2k+1 1， （kN *）2k+1 -1 ，当且仅当 k=1 时取等号所以 a 时恒成立综上所述：a 的取值范围是故答案为【点睛】本题考查了函数恒成立，不等式知识点，考查转化思想，分类讨论思想属于中档题三解答题（共 6 小题，共计 70 分）17.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 已知 a+b=5，c= ，且() 求角 C 的大小；（
17、）求ABC 的面积.【答案】() ；（） .【解析】试题分析：(I)根据三角形的内角和定理 ，把已知条件 中的角化简得到关于角 余弦的方程，即可求得角 的值；（II）利用余弦定理表示出 并配方得到 的值，即可求得其面积.试题解析: ()A+B+C=180由- 12 -整理，得解得： C=60（）由余弦定理得：c 2=a2+b22abcosC，即 7=a2+b2ab 由条件 a+b=5 得 7=253ab ，故所以 的面积 考点：二倍角公式及余弦定理在解三角形中的应用.18.已知数列 的前 项和为 ，且满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】
18、【分析】（1）由 ，得 ，两式相减可得 ，再求得 ，可得是等比数列，从而易得通项公式；（2）数列 的前 项和可用错位相减法求得【详解】 （1）当 ， ，解得 ；当 时， ， ，两式相减得 ，化简得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.所以 .（2）由（1）可得 ，所以 ，- 13 -，两式相减得 ，所以数列 的前 项和 .因为 ，所以 .【点睛】在数列问题已知和 与项 的关系时，通常利用 得出数列的递推公式，从而再变形求解，解题时注意 ，而 是在原式中直接令 求得，两者方法不一样数列求和的常用方法有公式法，分组求和法，裂项相消法，错位相减法等，注意它们的不同数列即可19.解关于 的不等
19、式：【答案】见解析【解析】【分析】由 a0，把不等式化为 ，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集【详解】原不等式可化为：当 时，原不等式的解集为当 时，原不等式的解集为当 时，原不等式的解集为【点睛】 （1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：- 14 -首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类20.某玩具生产公司计划
20、每天生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元.（1)试用每天生产的卫兵个数 与骑兵个数 ，表示每天的利润 （元） ；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少.【答案】(1) ;(2) 每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，最大利润为 550 元.【解析】试题分析：(1)由题意可得每天生产的伞兵个数为（ ） ，结合每种玩具获得的利润整理计算可得.(
21、2)根据题目信息可得，约束条件为： ，目标函数为.结合线性规划相关知识求解目标函数的最值可得每天生产卫兵 50 个，骑兵50 个，伞兵 0 个时利润最大，最大利润为 550 元.试题解析：（1）依据题意可得每天生产的伞兵个数为（ ） ，利润即 . （2）根据题目信息可得：约束条件为： 整理可得目标函数为： .作出可行域，如图所示.- 15 -初始直线： ，平移初始直线经过点 A 时， 有最大值.由 可得 ，最优解为 A（50，50） ， ，即 的最大值为 550 元. 故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，最大利润为 550 元.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解
22、题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数21.已知二次函数 f(x) ax2 bx c(a， b， cR)满足：对任意实数 x，都有 f(x) x，且当x(1,3)时，有 f(x) (x2) 2成立(1)证明： f(2)2；(2)若 f(2)0，求 f(x)的表达式；【答案】 （1）2（2）【解析】【分析】（1）由 f（x）x 得 f（2）2 因为当 x（1，3）时，有 f（x） 成立，所以f（2） =2从而求得 f（2）的值即可；（2）由 得出 a，b，c 的关系式，于是 f（x）=ax
23、2+ x+14a，结合 f（x）xax 2 x+14a0结合方程的思想求得 a 值即可得出 f（x）的表达式【详解】证明：（1）由 f（x）x 得 f（2）2因为当 x（1，3）时，有 f（x） 成立，所以 f（2） =2所以 f（2）=2- 16 -解：（2）由 得从而有 b= ，c=14a于是 f（x）=ax 2+ x+14af（x）xax 2 x+14a0若 a=0，则 x+10 不恒成立所以 即 解得 a= 当 a= 时，f（x）=满足 f（x） 故 f（x）= 【点睛】本题主要考查一元二次函数的性质，以及函数的图象问题、函数与方程的综合运用，这是一道思维性很强的题，有很多同学思考不到
24、位.22.数列 满足递推式（1）求 a1， a2， a3；（2）若存在一个实数 ，使得 为等差数列，求 值 ;（3）求数列 的前 n 项之和.【答案】 （1） a1=5 a2=23 （2） （3）【解析】【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的各项（2）利用等差中项公式求出结果（3）利用分组求和、乘公比错位相减法求出数列的和【详解】 （1）数列a n满足递推公式 an=3an1 +3n1（n2） ，其中 a4=365令 n=4，则： ，解得：a 3=95令 n=3，则： ，解得：a 2=23- 17 -令 n=2，则： ，解得：a 1=5（2）假设存在一个实数 ，使得 为等差数列，则： ，由
25、于：a 3=95，a 2=23，a 1=5，解得： 故：把递推公式 an=3an1 +3n1（n2） ，转化为： ，则：数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列则： ，解得： （3）由 ，转化为： ，令： ，所以：数列b n的前 n 项和，Sn=131+232+n3n，则：3S n=132+233+n3n+1，得： ，故： ，令： ，数列c n的前 n 项和为 Hn- 18 -则：H n= = ，所以：数列a n的前 n 项和 Tn，= 【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S nqS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.
