1、- 1 -徐州一中 2018-2019 学年第一学期高三年级阶段性检测（一）数学学科一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1.已知集合 ， ，则 _【答案】【解析】【分析】本题是集合 A 与集合 B 取交集。【详解】因为 ，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。2.若复数 是虚数单位)是纯虚数，则实数 的值为_【答案】-2【解析】【分析】本题考察的是复数的运算，可以先将复数 化简，在通过复数 是纯虚数得出结果。【详解】 ，因为 是纯虚数，所以 。【点睛】如果复数 是纯虚数，那么 。3.“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的_条件（填“必要不充分” “充分不必要” “充要”
2、或“既不充分又不必要” ） 【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线 与直线 互相垂直”解得 的取值范围，再通过与“ ”进行对比得出结论。【详解】因为直线 与直线 互相垂直，所以两直线斜率乘积为 或者一条直线与 轴平行、一条与 轴平行，- 2 -所以 或者 ，解得 或者 ，由“ ”可以推出“ 或者 ”，但是由“ 或者 ”推不出“ ”，所以为充分不必要条件。【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“若 A 则 B”中的 A 和 B 化为最简单的数集形式，在进行判断。4.函数 的递增区间是_【答案】【解析】【分析】本题可以先通过 的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进行讨论。【详解】当
3、时， ，开口向下，对称轴为 ，所以递增区间是 ，当 时， ，开口向上，对称轴是 ，所以在定义域内无递增区间。综上所述，递增区间是 。【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据 的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。5.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 的值是_- 3 -【答案】5【解析】【分析】本题中 ， ，可根据这几个式子依次推导出每一个 A 所对应的 S 的值，最后得出结果。【详解】因为当 时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，如果次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。6.已知 ，则 _- 4 -【
4、答案】【解析】【分析】本题可先将 进行化简得出 ，在利用二倍角公式计算得出 的值。【详解】 ， ， 。【点睛】余弦的二倍角公式 。7.已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】因为方程 表示双曲线，所以 与 都大于 0。【详解】因为方程 表示双曲线，所以 ，即 。【点睛】如果一个方程式是双曲线，那么 的分式的分母都大于 0。8.设 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量 ，则向量 的夹角为锐角的概率是_【答案】【解析】【分析】首先可以通过向量 的夹角为锐角得出 之间的关系，再计算出概率。【详解】因为向量 的夹角为锐角，所以 ，- 5 -即 ，当 时， 有 5 种；当
5、 时， 有 4 种；当 时， 有 3 种；当 时， 有 2 种；当 时， 有 1 种，一共 15 种，所以概率为 。【点睛】向量夹角为锐角，向量乘积为正值；向量夹角为锐角，向量乘积为负值。9.已知函数 是定义在实数集 上的奇函数，且在区间 上是单调递增，若，则 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】本题可以先将 进行化简，化简得出来的结果为 1，再利用函数的单调性以及奇函数性质得出结果。【详解】 ，所以 ，即 ， ，因为函数 是定义在实数集 上的奇函数，且在区间 上是单调递增，所以函数 在R 上单调递增，所以【点睛】对数函数有 。10.已知函数 的图象在点 处的切线 与直线 平行，若数列 的前
6、 项和为 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】本题可以先通过对函数 进行求导来求出 b 的值，再通过裂项相消法得出结果。【详解】- 6 -因为函数 的图象在点 处的切线 与直线 平行，所以所以【点睛】裂项相消法：。11.在锐角 中，若 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】因为 A=2B,所以 ,所以,所以 .12.已知正实数 满足 ，则 的最小值为_【答案】【解析】试题分析: 因为 ,故应填答案 .考点：基本不等式及灵活运用【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已
7、知变形为,然后再运用基本不等式最后达到获解之目的.- 7 -13.当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本题可以先将不等式中的绝对值去掉，化成 再对 、 这两种情况进行分类讨论，通过移项和求导得出对应的值。【详解】因为当 时， 恒成立，所以当 时，设所以 在 内恒为减函数，即当 时，设所以 在 内恒为增函数,即综上所述， 。【点睛】本题是一到综合题，需要能够对含绝对值的不等式的求法有着一定的掌握以及对通过求导求最值有着足够的了解。14.若实数 成等差数列且点 在动直线 上的射影为 ，点 ，则线段长度的最大值是_【答案】【解析】【分析】- 8 -本题首先可以通过 成等差
8、数列求出直线 恒过点 ，在通过得出 在以 为直径的圆上，然后通过圆心和半径求出线段 长度的最大值。【详解】因为 成等差数列，所以 ,即 ，方程 恒过点又因为点 在动直线 上的射影为 ，所以 ， 在以 为直径的圆上，此圆的圆心 A 坐标为即 半径 ,又因为 ，所以 ，所以 。【点睛】如果一动点到两定点之间的夹角恒为 ，那么动点的轨迹是以两定点为直径的圆。二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15.如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 为 的中点求证：（1） 平面 ；（2）平面 平面 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（ 1）可通过连接 交于 ，通过中位
9、线证明 和 平行得证 平面 。（ 2）可通过正方形得证 ，通过 平面 得证 ，然后通过线面垂直得证面面垂直。【详解】 （ 1）证明： 连 交于 O, 因为四边形 是正方形 ,所以 ,连 ，则 是三角形 的中位线, ,- 9 -平面 ， 平面 所以 平面 . （2）因为 平面 ,所以 , 因为 是正方形，所以 , 所以 平面 , 所以平面 平面 .【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证。16.已知函数 （1）若 ，求函数 的值域；（2）设 的三个内角 所对的边分别为 ，若 为锐角且 ，求的值【答案】 （1） ；（2 ） 【解析】试题分析：（1）由函数形式知，用两角
10、和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角 ，由余弦定理可求得边 ，由正弦定理可求得，利用两角差的余弦公式可得 试题解析：（1）由 得， ， ，即函数 的值域为 （2）由 得 ，又由 ， ， 在 中，由余弦定理 ，得 ，- 10 -由正弦定理 ，得 ， ， ， ，考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理17.如图，有一块等腰直角三角形的草坪 ，其中 ，根据实际需要，要扩大此草坪的规模，在线段 上选取一点 ，使四边形 为平行四边形为方便游客参观，现将铺设三条观
11、光道路 ，设 (1)用 表示出道路 的长度；(2)当点 距离点 多远时，三条观光道路的总长度最小?【答案】(1) ；(2) .【解析】【分析】可以先通过 表示 的长，在通过平行四边形性质得出 的长度，(2)先根据第一小题中得出的数据得出 ，在通过求导得出结果。【详解】(1)在 中， ，所以 ，又四边形 为平行四边形，所以 (2)设三条观光道路的总长度为 ，- 11 -则， 所以 由 得 ，由 得 当 时， 是减函数；当 时， 是增函数，所以当 时， 取得最小值，此时 【点睛】在计算含有角度的求导的时候，一定要特别注意角度的取值范围。18.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为，点
12、 在椭圆上， 的面积为 (1)求椭圆 的标准方程；若点 在椭圆上，且 ，求 的值(2)直线 与椭圆 相交于 两点，若以 为直径的圆经过坐标原点，求实数的值【答案】(1) ； ；(2) .【解析】【分析】(1)可通过点 在椭圆上得出 ，再通过 的面积为 得出 ，最后利用得出椭圆方程。可以通过解三角形和椭圆性质得出结果。- 12 -(2)首先可以通过椭圆方程和直线方程得出 与 的值，再因为圆过原点，所以，最后计算得出结果。【详解】(1)由条件可知 ，又 ，所以 ， ，所以椭圆的标准方程为 当 时，有 ,所以 (2)设 ， ，由 得 ，则 ， ，因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，则 ，解得 ，此
13、时 ，满足条件因此 【点睛】本题考察圆锥曲线中的椭圆方程，需要对椭圆的基本性质以及解三角形、直径所对应的圆周角为 90 度等定理有着足够的了解。19.设函数 是奇函数，且当 时， 取得极小值 .（1）求函数 的解析式；（2）求使得方程 仅有整数根的所有正实数 的值；- 13 -（3）设 ， ，求 的最大值 【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】【分析】（ 1）首先可以利用奇函数性质得出 ，在通过当 时， 取得极小值 得出，最后检验一下；（ 2）先通过第一小题所计算出的结果化简 得出 ，再将其化简成 ，进而得出 的值；（ 3）先带入 对其进行化简，然后再根据 的取值范围进行分类讨论，依
14、次得出每一中情况下的最大值。【详解】 （1）因为 为奇函数，所以 ， 又由 及 ，得 ， 所以 ； 当 时， ，当 时 ，所以 在 时取得极小值，所以 为所求 （2）方程 化简得： ，因为方程仅有整数解，故 为整数，又由 及 知， .又 ，故 为 的正约数， 所以 ，进而得到 。（3）因为 是偶函数，所以只要求出 在 上的最大值即可.记，因为 ，- 14 -（i） 时， ， 在 上单调递增且 ，所以 ，故 。（ii） 时，由 得， 和 ，当 即 时， 在 上单调减，所以 ，故 ，； 当 即 时， 在 单调减， 单调增，（）当 ，即 时， ，所以 ，（）当 ，即 时， ，所以 ，综上可知， 。【
15、点睛】本题难度较高，所需要的解题能力较强：（ 1）可通过奇函数性质以及导数函数极值的特点求解，（ 2）可通过将原式化为一个 的式子，再通过判断 的值判断 的值，（ 3）需要通过对 进行分类讨论依次得出最值。20.各项均为正数的数列 中，设 ， ，且(1)设 ，证明：数列 是等比数列；(2)设 ，求集合 【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】【分析】(1)首先通过 得出 以及 和 之间的关系，再通过 化简得到- 15 -最后得证 是等比数列。(2)由第一小题可以解出 ，再得出 ，由此得出 通项公式，然后解出集合。【详解】(1)当 时， ，即 ，解得 (负值舍去)因为 ，所以 当 时， ，
16、得 ，即 ，即 ，所以因为数列 的各项均为正数，所以数列 为递减数列，所以 ，所以 因为 ，所以 ，所以数列 是首项为 1、公比为 的等比数列 (2)由(1)知 ,所以 ，又当 时， ，两式相减得 (对 也成立)，即 ，- 16 -由 ，得又当 时， ，所以数列 从第 2 项开始依次递减(i)当 时，若 ，则 ， 式不成立，所以 ，即 令 ，则 ，所以 ，即存在满足题设的数组 。【点睛】本题是一道关于数列的综合题，考察到构造数列，需要对等比数列的相关性质有着足够的了解。选修 42：矩阵与变换21.设 ，若矩阵 把圆 变换为椭圆 （1）求 的值；（2）求矩阵 的逆矩阵 【答案】 （1） ；（2）
17、 .【解析】【分析】（ 1）首先可以通过矩阵变换得出 的对应点 ，再通过 在椭圆上得出 的值。（2）将 的值带入之后得出逆矩阵 。【详解】 （ 1）设点 为圆 ： 上任意一点，- 17 -经过矩阵 变换后对应点为 ，则 ，所以 ，因为点 在椭圆 上，所以 ，这个方程即为圆 方程，所以 ，因为 ，所以 ，（2）由（1）得 所以 。【点睛】本题考察的是矩阵变换，可以通过点与点之间的变换来推导出函数之间的变换。选修 44：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知圆 被直线 截得的弦长为 ，求实数 的值【答案】-2【解析】【分析】首先通过极坐标系与直角坐标系之间的转换得出圆 和直线 的直角坐标方程，再
18、利用圆心到直线距离公式得出结果。【详解】因为圆 的直角坐标方程为 ，直线 的直角坐标方程为 所以圆心 到直线 的距离 因为圆 被直线 截得的弦长为 ，所以 即 解得 ，或 【点睛】极坐标系与直角坐标系之间的转换： 。【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤23.如图， 平面 ， 是 的中点- 18 -（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】可以以 为 轴、 为 轴、 为 轴构建空间直角坐标系，写出 的空间坐标，通过证明 得证 平面通过求平面 和平
19、面 的法向量得证二面角 的余弦值。【详解】 （1）根据题意，建立以 为 轴、 为 轴、 为 轴的空间直角坐标系，则 ，因为 ，所以 因为 平面 ，且 ， 所以 平面 （2）设平面 的法向量为 ，则因为 ，所以 令 ，则 所以 是平面 的一个法向量 因为 平面 ，所以 是平面 的法向量所以- 19 -由此可知， 与 的夹角的余弦值为 根据图形可知，二面角 的余弦值为 。【点睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系。24.在一个盒子中有大小一样的 7 个球，球上分别标有数字 1，1，2，2，2，3，3现从盒子中同时摸出 3 个球，设随机变量 为摸出的 3 个球上的数字和（1）求概率 ；（2）求 的概率分布列，并求其数学期望 【答案】 （1） ；（2）6.【解析】【分析】可以将 ，它们的和就是 。分别将 求出，然后画出概率分布图，求出期望。【详解】 （ 1）所以 ，（2） ，所以随机变量 X 的概率分布列为x 4 5 6 7 8p所以 。【点睛】数学期望
