1、- 1 -江西省红色七校 2019 届高三数学第二次联考试题 理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 真子集的个数（ 2|log()AxRx1,023BAB）A B C D874162若复数 在复平面内对应的点在第三象限,其中 ， 为虚数单位，则(2)zai aRi实数 取值范围为（ ）aA B C D(,)(,0)(,2)0,2)3.已知 ， ， ，则（ ）0.21.2log1b1.cA B C Dacaacbcab4.下图为国家统计局发布的 2018 年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据
2、折线图， （注：同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（ ）A 2018 年 6 月 CPI 环比下降 0.1%，同比上涨 1.9%B 2018 年 3 月 CPI 环比下降 1.1%，同比上涨 2.1%C 2018 年 2 月 CPI 环比上涨 0.6%，同比上涨 1.4%D 2018 年 6 月 CPI 同比涨幅比上月略微扩大0.1 个百分点5 的展开式中，常数项为( )21()xA15 B16 C15 - 2 -D166.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A B 3
3、62364C D 4887函数 的部分图像如图所示，则 （ ()sin()0,)2fxAx1cos2in）A B C D 1232338.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于 1000 的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A B C D5i6i7i8i9已知点 双曲线 右焦点，直线 与双曲 C 交于 两点，F2:1(0,)xyab2yb,AB且 ，则该双曲线的离心率为 （ ）0oA. B. C. D.3562153510杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法 （1261 年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展
4、开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：- 3 -1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1.记作数列 ，若数列 的前 项和为 ，则nananS（ ）80SA. B. C. D. 25941082048409511.如图，单位正方体 的对角面 上存在一动点 ，过点 作垂直于1ABCD1BDP平面 的直线，与正方体表面相交于 两点.则 的面积最大值为 （ 1BMN、 V）A. B. C. D. 642361212.已知 若 有最小值，则实数 的取值范围是 （ ,(0),xaf a且 (fxa）A B C 2(,1)3(1,)D 0,2,3二、填空题：
5、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知向量 满足 ,且 ,则向量 与,ab|2gaba的夹角为 .b14.已知实数 x， y 满足 ，则 的取值范0261xy13yx围为_15.某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2 个，则该外商不同的投资方案有_种16.在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，且 ，则ABC, ,abc4cosCa2的周长取值范围为_。三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列 为等差数列， 为 的前 项和， .数列 为nanSa258,2Snb等比数列且 .21150,bb（1）
6、求数列 和 的通项公式；na（2）记 ，其前 项和为 ，求证： .34(2log)nncbannT43n- 4 -18.如图，多面体 为正三棱柱 沿1ABCD1ABC平面 切除部分所得， 为 的中点，且1M1.2BC(1)若 为 中点,求证 ；D1A1/DBC平 面(2)若二面角 大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.BC31ACB19当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某地区 2018 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考
7、试满分为 50 分，其中立定跳远 15分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20分某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数155，165） 165，175）175，185）185，+）得分 17 18 19 20（）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率；（）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（， 2） ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 S2169（各组数据用中点值代替） 根据往年经验，该校
8、初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模型：- 5 -（）预估全年级恰好有 2000 名学生时，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（）若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 195 个以上的人数为，求随机变量 的分布列和期望附：若随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（ X+）0.6826， P（2 X+2）0.9544， P（3 X+3）0.997420.已知椭圆 的离心率 ，且椭圆过点 .2:10xyCab2
9、e6,3（I）求椭圆 的标准方程；（II）已知点 为椭圆 的下顶点， 为椭圆 上与 不重合的两点，若直线 与直A,DECAAD线 的斜率之和为 ，试判断是否存在定点 ，使得直线 恒过点 ，若存在，求出E2aGDEG点 的坐标；若不存在，请说明理由G21.已知函数 .(),()lnxfeg（1）求函数 在点 处的切线方程；y1,0A（2）已知函数 区间 上的最小值为 1，求实数 的()()0hfaxa,a值.请考生在第 22，23 两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.选修 4-4：极坐标与参数方程22.已知
10、在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程l 31cos()62C为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系.2(1cos)s0x（1）写出直线 和曲线 的直角坐标方程；lC（2）若直线 ： 与曲线 交于 两点， ，求 的值.3(2)yx,PQ(2,0)M22|PMQ- 6 -选修 4-5：不等式选讲23已知函数 .()|2|1|,fxaxR（1）当 时，解不等式 ；a()5f（2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围.()2fxxa- 7 -江西省红色七校 2019 届高三第二次联考理科数学试题答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11、B B C C B A D C A B A C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 14 15 60 16 371,2(4,6三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.解析：（1）设公差为 ，则由 得， 解得d258,2aS1()3,542ad所以 31,2ad1n设 的公比 ， 所以 ，nbq 21515,9,0naba由 且， .63q1n（2） 34412()(log)(21)nncbannA8，1( )()521nT11易知 随着 的增大而增大，所以 12n 14()3nT18.解析：（1）取 中点 N，连接 MN，则 MN 为 的
12、中位线1BC1BC|2MNDAQ为 中 点 1|22|4四 边 形 为 平 行 四 边 形/ADN1MBC平 面6(2) 由 可得 二面角11,MND平面角，二面角 大小为 可得1DBC1BC3- 8 -812ADB如图建立空间直角坐标系， , ,(0,3)(0)C1(2)B(01,3)D1,Bur ,Aur,2)ABur设平面 的法向量为 (,)nxyz1010(3,1)nACrrug111105cos, 3|DBnnurrg所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .11AC10531219解析：（）两人得分之和不大于 35 分，即两人得分均为 17 分，或两人中 1 人 17 分，1 人 18
13、 分，3（） 1600.06+1700.12+1800.34+1900.30+2000.1+2100.08185（个）5又 2169，13，所以正式测试时，195，13，182（） P（182）1 0.8413，0.841320001682.61683 （人） 7（）由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 195 以上的概率为0.5，即 B（3，0.5） ， P（0） ， P（1）033(.5).2C， P（2） ， P（3）1230.5(.).375CA2.(0.).75A，10. 的分布列为 0 1 2 3P 0.125 0.375 0.375 0.125E（）30.
14、51.5 （12 分）- 9 -20.解析：（I）椭圆 的离心率 ， ，即 ，C2e2ab2ab点 在椭圆 上， ，由 解得 ，6,3213ab2 13ab2 椭圆 的标准方程为 4C2xy（II）由（I）知 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为0,1ADEDE，ykxt代入 得， ，212240kxt，即 设 ，则2640ktt21tk12,DxyE， 621212,xxk直线 与直线 的斜率之和为 ，ADE2a 12ykx 12121txkxttkx，整理得 ， 8224tktat直线 的方程为 ，显然直线 经过定DE11yxtkx1ykx点 1,当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程
15、为 ，DEm直线 与直线 的斜率之和为 ，设 ，则 ，A2a,n,En ，解得 ，1DEnkm110此时直线 的方程为 ，显然直线 经过定点 xx,综上，存在定点 ，使得直线 恒过1,GDE点 12- 10 -21.解析（1） ，则函数 在点 处的切线方程为 ；1()=,gx()()ygx(1,0)A1yx4 分(2) ， ，()()ln()xahfae()xahe在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，存在唯一的xaeQ0,10,，使得 ，即 （*） ，7 分0,0()=xahe01xae函数 在 上单调递增， ， 单调递 1()xahe, 0,()0hx时 ， ()减； ，单调递增， ，
16、由0+()0h， 时 ， 0min0()(lnahxe（*）式得 ，9 分min001()lxax，显然 是方程的解，又 是单调减函数，方001l()ax01lnyxQ程 有且仅有唯一的解 ，把 代入（*）式得，00ln()1x0xa0a， ，所求实数 的值为 . 12 分1-2ae2a12解法 2： ， ，()()=ln()0xahxfge 1()xahe在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，存在唯一的xae0,1,，使得 ，即 （*） ，7 分0,0()=xahe01xae函数 在 上单调递增， ， 单调递 1()xahe, 0,()0hx时 ， ()减； ，单调递增， ，由0+()0
17、h， 时 ， 0min0()(lnahxe式得 ，01=xae00ln)xax- 11 -=0min0()()ln()xahxe,0012()2xaa（当且仅当 时 ） ，由 得 ,此时 ，把()hx=1012x代入（*）也成立，012ax，实数 的值为 .12 分选修 4-4：极坐标与参数方程22.解析：（1）因为直线 ： ，故 ，l31cos()62cosin310即直线 的直角坐标方程： ； 3l30xy因为曲线 ： ，则曲线 直角坐标方程：C2(1cos)sC.52yx（2）设直线 参数方程为l12()3xtyt为 参 数将其带入曲线 的直角坐标系方程得 ，C24160设 对应的参数分别为,PQ则 812,t11264,3tt.211|()9Mttt10选修 4-5：不等式选讲23解析：（1） 时，不等式为 ，等价于1a|2|1|5x或 或 ，(2)(1)5xx21()()5xx2()(1)5xx3解得 ，或 或 ， ，- 12 -不等式的解集是 .5（2）由绝对值的三角不等式得 ， 对于 恒成立， 7 ，解得 或 .实数 的取值范围为 10
