1、1专题 13 选讲部分一、解答题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】在平面直角坐标系 中，已知圆 的参数方程为（ 为参数， ）.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程是 .（1）若直线 与圆 有公共点，试求实数 的取值范围；（2）当 时，过点 且与直线 平行的直线 交圆 于 两点，求 的值.【答案】(1) (2) （2）因为直线 的 倾斜角为 ，且过点 ，2所以直线 的参数方程为 （ 为参数） ，圆 的方程为 ，联立，得 ，设 两点对应的参数分别为 ，则 ， ， 即实数 的取值范围为 .3. 【河北衡水金卷 2019 届高三
2、12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】设函数 (1)当 时，求不等式 的解集；(2)当 的取值范围 【答案】 （1） ；（2）4. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】在直角坐标系中，直线 l 的参3数方程为 (t 为参数， )，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .(1)当 时，写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；(2)已知点 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 的取值范围【答案】 （1） ， ；（2）（2）由直线 的参数方程为 （ 为参数， ）可知直线 是过
3、点 P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线 C 为椭圆 ，所以易知点 P（-1，1）在椭圆 C 内，将 代入 中并 整理得， 45. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟 考试数学（理)试题】在极坐标系中，曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点 ，极轴为 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线 的参数方程为： （ 为参数）.（1）求曲线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程；（2）将曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 ，若 ， 分别是曲线 和曲线 上的动点，求 的最小值.【答案】(1) (2) （2）将曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 的方程为 ，则曲线 的参数方程为（
4、 为参数）.设 ，则点 到曲线 的距离为.当 时， 有最小值 ，所以 的最小值为 . 9. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】在极坐标系中，曲线 ，曲线.以极点为坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系 xOy，曲线 C的参数5方程为 （ t为参数）.（1）求 12,C的直角坐标方程；（2） 与 交于不同四点，这四点在 C上的排列顺次为 ,HIJK，求 IJ的值.【答案】 （1） , 24yx（2） 13 （）如图，四点在直线 l上的排列顺序从下到上依次为 H， I， J， K，它们对应的参数分别为 1t，2t， 3， 4t.连接 1CJ，则 1I为正三角形，所以 1IJ.，将
5、代入 24yx，得： 238tt, 即 ，故 14t，所以 .610. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】已知 ,ab为任意实数.（1）求证： ；（2）求函数 的最小值.【答案】 （1）见解析（2）1（2） .即 max1f.11. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 ( 为参数， ).（1）当 时，若曲线 上存在 两点关于点 成中心对称，求直线 的斜率；（2）在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为 的直线 与曲线相交于 两点,若 ，求实数 的值.7【答案】 （1） ；（2） . 【解析】
6、（1）当 时，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，消去参数得 ，圆心 的坐标为 曲线 上存在 两点关于点 成中心对称， ，又 ，直线 的斜率 12. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知函数 ， .（1）解不等式 ；（2）设 ，求证： .【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】8（1）由题意得原不等式为 ，等价于或 或 ，解得 或 或 ，综上可得 原不等式的解集为 13. 【河 北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知直线 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为，直线 与圆
7、交于 ， 两点.（1）求圆 的直角坐标方程及弦 的长；（2）动点 在圆 上（不与 ， 重合） ，试求 的面积的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】 （1）由 得 ，所以 ，所以圆 的直角坐标方程为 .将直线 的参数方程代入圆 ，并整理得 ，解得 ， .所以直线 被圆 截得的弦长为 .9（2）直线 的普通方程为 .圆 的参数方程为 （ 为参数） ，可设曲线 上的动点 ，则点 到直线 的距离 ，当 时， 取最大值，且 的最大值为 .所以 ，即 的面积的最大值为 .14. 【河 北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数 .（1）求函数 的值域 ；（2）若 ，试比较
8、， ， 的大小.【答案】(1) .(2) .（2）因为 ，所以 ，所以 .又 ，所以 ，知 ， ，10所以 ，所以 ，所以 .15. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴 建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）若过点 的直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，求 的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) .16. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】已知 ， .（1）解不等式 ；11（2）若方程 Fxa有三个解，求实数 a的取值范围.【答案】 （1）
9、 ,3；（2） 1,3.（2） ，即 .作出函数 Fx的图像如图所示，当直线 ya与函数 yFx的图像有三个公共点时，方程 Fxa有三个解，所以 13a.所以实数 的取值范围是 1,3.17. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数，） ，在以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： .（1）试将曲线 与 化为直角坐标系 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时 的取值范围；12（2）当 时，两曲线相交于 ， 两点，求 .【答案】 （1） 的取值范围为 ；（2） .（2）当 时，曲线 ： ，两曲线交点 ， 所在直线方程为 .曲线 的圆
10、心到直线 的距离为 ，所以 .18. 【河北省衡水中学 2018 年高考押 题(二)】已知函数 .（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数 的图象，并由图象找出满足不等式 的解集；（2）若函数 的最小值记为 ，设 ，且有 ，试证明： .【答案】 （1）解集为 ；（2）见解析见解析.【解析】13（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 的解集为 .（2）证明：由图可知函数 的最小值为 ，即 .所以 ，从而 ，从而 .当且仅当 时，等号成立，即 ， 时，有最小值，所以 得证.19. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建
11、立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ；直线 的参数方程为（ 为参数） ，直线 与曲线 分别交于 ， 两点.14（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（2）若点 的极坐标为 ， ，求 的值.【答案】(1) 曲线 的直角坐标方程为即 ，直线 的普通方程为 ；（2） .(2)将直线 的参数方程 代入 并化简、整理，得 . 因为直线 与曲线 交于 ， 两点。所以 ，解得 .由根与系数的关系，得 ， . 因为点 的直角坐标为 ，在直线 上.所以 ， 解得 ，此时满足 .且 ，故 .20. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若函数 的值域
12、为 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) 解集为 ;(2) 实数 的取值范围是 .15（2）设 ，则 .因为 当且仅当 时取等号，所以 . 因为函 数 的值域为 ，所以 有解，即 .因为 ，所以 ，即 .所以实数 的取值范围是21. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】在极坐标系中，已知三点 ， ， .（1）求经过 ， ， 三点的圆 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数方程为 ，（ 是参数） ，若圆 与圆 外切，求实数 的值.【答案】 （1） ；（2） 【解析】（1） 对应的直角坐标分别为 ，则过 的圆的普通方程为，又因为 ，代入可求得经过 的圆 的极坐 标方程为 。16（2）圆 （ 是参数）对应的普通方程为 ，因为圆 与圆 外切，所以，解得 。22. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】已知函数 .（1）当 时，求 的解集； （2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】() ；() .
