1、1衡阳市八中 2019 届高三第四次月考试题文科数学请注意： 时量 120 分钟 满分 150 分第 I 卷（选择题，共 60 分）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知全集 ，集合 ，则集合 的子集个数是( )23UxZx=-2()8xy+=长为 4，则此双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 23322312.已知函数 sinfx，若 ,1x，使得 20fxfxk成立，则实数k的取值范围是（ ）A 1,3B 0,3C ,3D ,第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
2、，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，若抛物线上一点 到焦点的距离为(2,)Pa-33，则 .a=14.已知向量 ，且变量 满足 ，则 的最大(2,3)(,)bxy=,xy03xy+- zab=A值 .15.若球 O 是棱长为 3 的正四面体 的内切球，则球 O 的表面积为 .ABCD16.已知函数 的图象关于点 对称，则 在2()1)()(,)fxxabR=+(1,0)()fx闭区间 上的最大值为 .,-三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.(本小题 12 分)已知等差数列 的前 n 项和为
3、 ，数列 为等比数列，且满足anSnb.13,a=2523,10,bSb+=-(1)求数列 和 的通项公式；n(2)令 ，设数列 的前 n 项和为 ，求 .,nScb=是 奇 数是 偶 数 cnT2n18.(本小题 12 分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取 50 件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在 内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲流水线样本的频数分布表，图195,201 是乙流水线样本的频率分布直方图(1)根据图 1，估计乙流水线生产产
4、品该质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000 件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面 列联表，并回答是否有 85%的把握认为“该企业生产的这2质量指标值 频数(190,195 9(195,200 10(200,205 17(205,210 8(210,215 6表 1：甲流水线样本的频数分布表图 1：乙流水线样本频率分布直方图4种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附： （其中 为样本容量）22nadbcKdnabcd2Pk0.15 0.10 0.05
5、0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.(本小题 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中， PD 丄底面 ABCD， AB /CD， AB=2，CD=3，M 为 PC 上一点，且 PM =2MC.(1)求证： BM /平面 PAD；(2)若 ，三棱锥 PADM 的体积为 ，3,DBAp=3求 AD 的长.20.(本小题 12 分)已知椭圆 ： 的离心率为 ，过点 且垂C21(0)xyab2(1,0)直于 x 轴的直线被 所截得的弦长为 .(1)求椭圆 的方程；(2)若椭圆 的左顶点为 ，右焦点为
6、， 为原点， 在AFO,DE椭圆 上，且 ， ， 三点共线，直线 和 分别CEODA与 y 轴交于 ， 两点，求证： .MNN21.(本小题 12 分) 已知函数 .ln0afx(1) 若函数 有零点, 求实数 的取值范围;fx(2) 证明: 当 时, .2aexfe22.(本小题 10 分) (不等式选讲)设函数 ，不等式 的解集为 M.|()fxR=+-()6fx(1)求 M；甲生产线 乙生产线 合计合格品不合格品合计5(2)当 时，证明： .,abM3|3|ab+衡阳市八中 2019 届高三第四次月考试题文科数学参考答案命题人：彭源 审题人：吕建设请注意： 时量 120 分钟 满分 15
7、0 分第 I 卷（选择题，共 60 分）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知全集 ，集合 ，则集合 的子集个数是( D )23UxZx=-2()8xy+=长为 4，则此双曲线的离心率是( A )A. B. C. D. 23322312.已知函数 sinfx，若 ,1x，使得 20fxfxk成立，则实数k的取值范围是（ A ）7A 1,3B 0,3C ,3D 0,第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13.已知抛物线的顶点在原点，焦点在
8、 x 轴上，若抛物线上一点 到焦点的距离为(2,)Pa-3，则 .a=214.已知向量 ，且变量 满足 ，则 的最大(,3)(,)bxy=,xy03xy+- zab=A值 .15215.若球 O 是棱长为 3 的正四面体 的内切球，则球 O 的表面积为 .ABCD32p16.已知函数 的图象关于点 对称，则 在2()1)()(,)fxxabR=+(1,0)()fx闭区间 上的最大值为 .,-3三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.(本小题 12 分)已知等差数列 的前 n 项和为 ，数列 为等比数列，且满足anSnb.13,a=2523,10
9、,bSb+=-(1)求数列 和 的通项公式；n(2)令 ，设数列 的前 n 项和为 ，求 .,nScb=是 奇 数是 偶 数 cnT2n解：（1）设 的公差为 d， 的公比为 q，则nanb1*422,()nndqabNq-+=+(2)21,()nnaS12,()nnc-+是 奇 数是 偶 数8212342113 215()()n n nnTccc- -=+-18.(本小题 12 分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取 50 件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量
10、指标值落在 内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲流水线样本的频数分布表，图195,201 是乙流水线样本的频率分布直方图(1)根据图 1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000 件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面 列联表，并回答是否有 85%的把握认为“该企业生产的这2种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附： （其中 为样本容量）22nadbcKdnabcd2Pk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0
11、.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解：（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的平均数为：192.5 0.06+197.5 0.16+202.5 0.26+207.5 0.38+212.5 0.14=204.4(2)由甲，乙两条流水线各抽取的 50 件产品可得，甲流水线生产的不合格品有 15 件， 甲生产线 乙生产线 合计合格品不合格品合计质量指标值 频数(190,195 9(195,200 10(200,205 17(205,210 8(210,215 6表 1：甲流水线样本的频数分布表图 1：乙流水线样本频率分布直方图9
12、则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,0P甲乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 ，1.2.85乙于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000 件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为： 3150=0,5=01（3） 列联表:2甲生产线 乙生产线 合计合格品 35 40 75不合格品 15 10 25合计 50 50 100则 ， 因为2210356041.37K.207,所以没有 85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关” 19.(本小题 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中， PD 丄底面 ABCD， AB /CD， A
13、B=2，CD=3，M 为 PC 上一点，且 PM =2MC.(1)求证： BM /平面 PAD；(2)若 ，三棱锥 PADM 的体积为 ，3,DBAp=3求 AD 的长.证明：(1)在 PD 上取点 N，使 PN=2ND，连结 AN,MN，易证四边形 ABMN 为平行四边形， (或在 CD 上取点 N，使 2CN=ND，连结 BN,MN，易证平面 PAD/平面 BMN) 从而得证(2)过 A 作 AH 丄 CD，垂足为 H，因为 PD 丄底面 ABCD，所以平面 PCD 丄平面 ABCD，所以 AH 丄平面 PCD.所以易求 AD=2133PDMAPPDMVSA-=20.(本小题 12 分)已
14、知椭圆 ： 的离心率为 ，过点 且垂C21(0)xyab2(1,0)直于 x 轴的直线被 所截得的弦长为 .(1)求椭圆 的方程；(2)若椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为原点， 在AFO,DE10椭圆 上，且 ， ， 三点共线，直线 和 分别CEODAED与 y 轴交于 ， 两点，求证： .MNFN解:(1)由题意可知： 所以椭圆 C：22211()baab 21xy(2)设 ，则 ，且 即0(,)Exy0(,)Dxy20xy2200x又直线 AE： 0 0()(,)2Mx又直线 AD： 0 02()(,)yyxNx201MFNMF21.(本小题 12 分) 已知函数 .ln0afx(1)
15、 若函数 有零点, 求实数 的取值范围;fx(2) 证明: 当 时, .2aexfe解:(1)法 1: 函数 的定义域为 .lnafx0,由 , 得 . lf21xaf因为 ,则 时,; 时,.0axa0fx所以函数 在 上单调递减, 在 上单调递增. f ,a当 时,. xminl1x当 , 即 时, 又 , 则函数 有零点. ln10aaeln0f fx所以实数 的取值范围为 . 0,法 2：函数 的定义域为 .lnafx,11由 , 得 .令 ，则 .ln0afxlnxlngxln1gx当 时, ; 当 时, .1eg1e0所以函数 在 上单调递增 , 在 上单调递减.x0,故 时, 函
16、数 取得最大值 . 1eg11lngee因而函数 有零点, 则 .所以实数 的取值范围为 . lnafx0aa10,e(2) 要证明当 时, ,2exfe即证明当 时 , , 即 .0xalnxlnxae令 , 则 .lnh1h当 时,;当 时,.1xefxe0fx所以函数 在 上单调递减, 在 上单调递增.h0,当 时, . 1xemin1xae于是,当 时, 2ah令 , 则 .x 1xxe当 时 ,;当 时,.010f0f所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减 .x当 时, . max1e于是, 当 时, 显然, 不等式、中的等号不能同时成立. 0故当 时, . 2aexf22.(本小题 10 分) (不等式选讲)设函数 ，不等式 的解集为 M.|2|()fxR=+-()6fx(1)求 M；12(2)当 时，证明： .,abM3|3|ab+解析：(1) f(x)| x2| x2|6 等价于Error!或Error!或Error! 解得3 x3， M3,3(2)证明：当 a， b M，即3 a3，3 b3 时，要证 |a b| ab3|，即证 3(a b)2( ab3) 2.33( a b)2( ab3) 23( a22 ab b2)( a2b26 ab9)3 a23 b2 a2b29( a23)(3 b2)0， |a b| ab3|.3
