1、1专题训练(四) 与二次函数相关的新定义问题 类型之一 应用型：阅读理解建模应用图 4ZT112017巴中如图 4ZT1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆” ，点 A， B， C， D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点， AB 为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为 y x22 x3，则半圆圆心 M 点的坐标为_. 2一个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数” 如果二次函数 y x2 bx4 是“偶函数” ，该函数的图象与 x 轴交于点 A 和点 B，顶点为 P，那么ABP 的面积是_32017余杭区一模如果两个二次函数的图象关于 y 轴对称，我们就称这
2、两个二次函数互为“关于 y 轴对称二次函数” ，如图 4ZT2 所示，二次函数 y1 x22 x2 与y2 x22 x2 是“关于 y 轴对称二次函数” (1)直接写出两条图中“关于 y 轴对称二次函数”图象所具有的特点(2)二次函数 y2( x2) 21 的“关于 y 轴对称二次函数”表达式为_；二次函数 y a(x h)2 k 的“关于 y 轴对称二次函数”表达式为_(3)平面直角坐标系中，记“关于 y 轴对称二次函数”的图象与 y 轴的交点为 A，它们的两个顶点分别为 B， C，且 BC6，顺次连结点 A， B， O， C 得到一个面积为 24 的菱形，求“关于 y 轴对称二次函数”的表
3、达式图 4ZT22 类型之二 探究型：阅读理解尝试探究4若抛物线 y ax2 bx c 过定点 M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式小敏写出了一个答案： y2 x23 x4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y x22 bx c1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式请你解答52017衢州定义：如图 4ZT3，抛物线 y ax2 bx c(a0)与 x 轴交于A， B 两点，点 P 在该抛物线上(点 P 与 A， B 两点不重合)，若 ABP 的三边满足AP2
4、 BP2 AB2，则称点 P 为抛物线 y ax2 bx c(a0)的勾股点(1)直接写出抛物线 y x21 的勾股点的坐标；(2)如图，已知抛物线 C： y ax2 bx(a0)与 x 轴交于 A， B 两点，点 P(1， )是3抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 S ABQ S ABP的点 Q(异于点 P)的坐标图 4ZT3362017嵊州市模拟在平面直角坐标系中，我们把直线 y ax c 称为抛物线y ax2 bx c 的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y x22 的生成线是直线 y
5、 x2，生成点是(0，2)和(1，1)(1)若抛物线 y mx25 x2 的生成线是直线 y3 x n，求 m 与 n 的值(2)已知抛物线 y x23 x3 如图 4ZT4 所示，若它的一个生成点是( m， m3)求 m 的值若抛物线 y x2 px q 是由抛物线 y x23 x3 平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线 y x23 x3 的生成点为点 A， B，抛物线 y x2 px q 的生成点为点C， D，则 AB CD.求 p 与 q 的值图 4ZT472017随州在平面直角坐标系中，我们定义直线 y ax a 为抛物线y ax2
6、 bx c(a， b， c 为常数， a0)的“梦想直线” ；有一个顶点在抛物线上，另有一4个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形” 已知抛物线 y x2 x2 与其“梦想直线”交于 A， B 两点(点 A 在点 B2 33 4 33 3的左侧)，与 x 轴负半轴交于点 C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为_，点 A 的坐标为_，点 B 的坐标为_(2)如图 4ZT5， M 为线段 CB 上一动点，将 ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为 N，若 AMN 为该抛物线的“梦想三角形” ，求点 N 的坐标(3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的
7、“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点 A， C， E， F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E， F 的坐标；若不存在，请说明理由图 4ZT5 类型之三 概括型：阅读理解概括拓展82017郴州设 a， b 是任意两个实数，用 maxa， b表示 a， b 两数中较大者，例如：max1，11，max1，22，max4，34，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max5，2_，max0，3_；(2)若 max3x1， x1 x1，求 x 的取值范围；5(3)求函数 y x22 x4 与 y x2 的图象的交点坐标，函数 y x22 x4 的图象如图 4ZT6 所示，请你在图中作
8、出函数 y x2 的图象，并根据图象直接写出max x2， x22 x4的最小值图 4ZT6详解详析1(1，0) 解析 解 x22 x30 得 x11， x23，所以抛物线与 x 轴交于点A(1，0)， B(3，0)，所以 AB4，所以点 M 的坐标为(1，0)28 解析二次函数 y x2 bx4 是“偶函数” ， 0， b0，b21函数表达式为 y x24，令 y0，则 x240，解得 x12， x22， A(2，0)， B(2，0)， AB2(2)4.令 x0，则 y4，点 P 的坐标为(0，4)， ABP 的面积 448.123解：(1)顶点关于 y 轴对称，对称轴关于 y 轴对称(答案
9、不唯一)(2)y2( x2) 21 y a(x h)2 k6(3)(答案不唯一)如图，由 BC6，顺次连结点 A， B， O， C 得到一个面积为 24 的菱形，得 OA8，点 A 的坐标为(0，8)，点 B 的坐标为(3，4)设左侧抛物线的函数表达式为y a(x3) 24，将点 A 的坐标代入，得9a48，解得 a ，49故 y (x3) 24，其“关于 y 轴对称二次函数”的表达式为 y (x3) 24.49 49根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，“关于 y 轴对称二次函数”的表达式为 y (x3) 24 和 y (x3) 24.49 494解：(1)答案不唯一，合理即可(2)因为抛
10、物线的函数表达式可化为 y( x22 bx b2) b2 c1( x b)2 b2 c1，所以此定点抛物线的顶点坐标为( b， b2 c1)因为抛物线过定点 M(1，1)，将其代入函数表达式可得12 b c11，解得 c12 b，则顶点纵坐标b2 c1 b212 b1( b1) 21，所以当 b1 时， b2 c1 的值最小为 1，此时c12 b1211.故抛物线的函数表达式为 y x22 x.5解：(1)抛物线 y x21 的勾股点的坐标为(0，1)(2)抛物线 y ax2 bx 过原点，即点 A(0，0)如图，过点 P 作 PG x 轴于点 G.点 P 的坐标为(1， )，3 AG1， P
11、G ， PA 2，3 AG2 PG2 12 （ 3） 27 PAG60， AB2 PA4，点 B 的坐标为(4，0)设抛物线 C 的函数表达式为 y ax(x4)，将 P(1， )代入得 a ，333 y x(x4) x2 x.33 33 4 33(3)当点 Q 在 x 轴上方时，由 S ABQ S ABP知点 Q 的纵坐标为 ，3则有 x2 x ，33 4 33 3解得 x13， x21，点 Q 的坐标为(3， )；3当点 Q 在 x 轴下方时，由 S ABQ S ABP知点 Q 的纵坐标为 ，3则有 x2 x ，33 4 33 3解得 x12 ， x22 ，7 7点 Q 的坐标为(2 ，
12、)或(2 ， )7 3 7 3综上，满足条件的点 Q 有 3 个，其坐标为(3， )或(2 ， )或3 7 3(2 ， )7 36解：(1)抛物线 y mx25 x2 的生成线是直线 y3 x n， m3， n2， n2.(2)抛物线 y x23 x3 的一个生成点是( m， m3)， m3 m23 m3，整理，得 m24 m0，解得 m0 或 4.8抛物线 y x2 px q 是由抛物线 y x23 x3 平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线， q3.抛物线 y x23 x3 与它生成线 y x3 的生成点为(0，3)，(4，7)， AB2(40) 2(73) 232.抛物线
13、y x2 px3 与它生成线 y x3 的生成点为(0，3)，(1 p，4 p)， CD2(1 p0) 2(4 p3) 22(1 p)2. AB CD，2(1 p)232， p5 或3.抛物线 y x2 px3 与抛物线 y x23 x3 不重合， p3 不合题意，应舍去， p5.7解：(1) y x (2，2 ) (1，0)2 33 2 33 3(2)抛物线与 x 轴负半轴交于点 C， C(3，0)过点 A 作 AG y 轴，垂足为 G.当点 N 在 y 轴上时， AMN 为“梦想三角形” 设 N(0， n)， A(2，2 )， C(3，0)， AC ， AN AC .3 13 13在 Rt
14、 AGN 中， AG2 GN2 AN2， AG2， GN| n2 |，34( n2 )213，3解得 n2 3 或 n2 3.3 3设 M(m，0)，当 n2 3 时，在 Rt MNO 中，(2 3) 2 m2( m3) 2，解得 m22 ；3 3 3当 n2 3 时，在 Rt MNO 中，(2 3) 2 m2( m3) 2，解得 m22 .3 3 33 m1， m22 不合题意，舍去3 m22 ，此时 n2 3，3 3 N(0，2 3)；3当点 M 在 y 轴上时， AMN 为“梦想三角形” ，9此时点 M 与点 O 重合，在 Rt AGM 中， AG2， GM2 ，3 ， AMG30，AG
15、GM 33 AMC AMN NMB60.过点 N 作 NP x 轴于点 P，在 Rt NMP 中， MN CM3， NP ， OP ， N .3 32 32 (32， 3 32 )综上所述，点 N 的坐标为(0，2 3)或 .3 (32， 3 32 )(3)E1 ， F1 ；( 1， 4 33 ) (0， 2 33 )E2 ， F2 .( 1， 4 33 ) ( 4， 10 33 )8解：(1)5 3(2)由题意可得 3x1 x1，解得 x0.(3)由题意得 y x 2，y x2 2x 4， )解得 x1 2，y1 4， )x2 3，y2 1， )交点坐标为(2，4)和(3，1)所作的函数 y x2 的图象如图所示由图象可知：当 x3 时，max x2， x22 x4有最小值1.
