1、1巧用抛物线对称性解题 类型之一 二次函数与三角形的综合图 3ZT11如图 3ZT1，抛物线 y x22 x3 与 y轴交于点 C，点 D(0，1)， P是抛物线上的动点若 PCD是以 CD为底的等腰三角形，则点 P的坐标为_2如图 3ZT2，在平面直角坐标系中，点 A在 y轴的负半轴上，点 B， C在 x轴上，OA8， AB AC10，点 D在 AB上， CD与 y轴交于点 E，且满足 S COE S ADE，求过点B， C， E的抛物线的函数表达式图 3ZT23如图 3ZT3，已知二次函数 y ax2 bx3( a0)的图象经过点 A(3，0)，B(4，1)，且与 y轴交于点 C，连结 A
2、B， AC， BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断 ABC的形状2图 3ZT34如图 3ZT4，二次函数 y ax2 bx c的图象与 x轴交于 A(1，0)， B(5，0)两点，已知 C(0，5)， M为它的顶点(1)求抛物线的函数表达式及顶点 M的坐标；(2)求 MAB的面积；(3)求 MCB的面积图 3ZT435如图 3ZT5，抛物线 y x2 bx c与 x轴交于 A(1，0)， B(3，0)两点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点 P，且点 P在 x轴上方若 S PAB8，请求出此时点 P的坐标图 3ZT56
3、如图 3ZT6，一小球从斜坡上点 O抛出，球的抛出路线可以用二次函数y x24 x刻画，斜坡可以用一次函数 y x刻画124(1)请用配方法求二次函数图象最高点 P的坐标；(2)小球的落点是 A，求点 A的坐标；(3)连结抛物线的最高点 P与点 O， A得 POA，求 POA的面积；(4)在 OA上方的抛物线上存在一点 M(点 M与点 P不重合)，使 MOA的面积等于 POA的面积，请直接写出点 M的坐标图 3ZT6 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合图 3ZT77边长为 1的正方形 OA1B1C1的顶点 A1在 x轴的正半轴上，将正方形 OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转 75得正方形 OA
4、BC(如图 3ZT7)，使点 B恰好落在函数 y ax2(a0)的图象上，则 a的值为( )A B C2 D23 12 238如图 3ZT8，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 c(a0)的图象过正方形ABOC的三个顶点 A， B， C，则 ac的值是_5图 3ZT8图 3ZT99二次函数 y x2的图象如图 3ZT9，点 O为坐标原点，点 A在 y轴的正半轴上，3点 B， C在二次函数 y x2的图象上，四边形 OBAC为菱形，且 OBA120，则菱形3OBAC的面积为_10如图 3ZT10，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 x2 过点 B(1，0)43(1)求抛物线的函数表达式
5、；(2)求抛物线与 y轴的交点 C的坐标及与 x轴的另一交点 A的坐标；(3)以 AC为边在第二象限画正方形 ACPQ，求 P， Q两点的坐标图 3ZT10611如图 3ZT11，已知抛物线 y x2 x2 与 x轴交于 A， B两点，与 y轴交14 12于点 C.(1)求点 A， B， C的坐标(2)E是此抛物线上的点， F是其对称轴上的点，求以 A， B， E， F为顶点的平行四边形的面积(3)此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由图 3ZT117详解详析1(1 ，2)或(1 ，2)2 2解析 PCD是以 CD为底的等腰三
6、角形，点 P在线段 CD的垂直平分线 l上如图，作 CD的垂直平分线交抛物线于点 P1， P2，交 y轴于点 E，则 E为线段 CD的中点抛物线 y x22 x3 与 y轴交于点 C， C(0，3)，而 D(0，1)，点 E的坐标为(0，2)，点 P的纵坐标为 2.在 y x22 x3 中，令 y2，可得 x22 x32，解得 x1 ，2点 P的坐标为(1 ，2)或(1 ，2)2 22解：如图，过点 D作 DG x轴于点 G. OA8， AC AB10， A(0，8)， BO OC6， B(6，0)， C(6，0) S COE S ADE， S CBD S AOB 8624，12 BC 24，
7、解得 4，12 |yD| |yD| D为 AB的中点， D(3，4)联合 C点坐标可求得直线 CD的函数表达式为 y x ，49 838 E .(0， 83)设过 B， C， E三点的抛物线的函数表达式为 y a(x6)( x6)，将 E 代入，得 a ，(0， 83) 227过点 B， C， E的抛物线的函数表达式为 y (x6)( x6) x2 .227 227 833解：(1)把 A(3，0)， B(4，1)代入 y ax2 bx3 中，得 9a 3b 3 0，16a 4b 3 1， )解得a 12，b 52， )该二次函数的表达式为 y x2 x3.12 52(2) ABC是直角三角形
8、理由：过点 B作 BD x轴于点 D，易知点 C的坐标为(0，3)， OA OC， OAC45.又点 B的坐标为(4，1)， AD BD， DAB45， BAC180454590， ABC是直角三角形4解：(1) A(1，0)， B(5，0)，可设表达式为 y a(x1)( x5)9将 C(0，5)代入，得 a1，抛物线的函数表达式为 y( x1)( x5) x24 x5. M(2，9)(2)S MAB AB 6927.12 |yM| 12(3)过点 M作 MD y轴于点 D，则 S MCB S 梯形 MDOB S DCM S COB (25)9 24 5515.12 12 125解：(1)抛
9、物线 y x2 bx c与 x轴交于 A(1，0)， B(3，0)两点，方程 x2 bx c0 的两根为 x1 或 x3，13 b，13 c， b2， c3，该抛物线的函数表达式是 y x22 x3.(2) y x22 x3( x1) 24，抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为(1，4)(3)设点 P的纵坐标为 yP， S PAB8， AB|yP|8.12 AB314，| yP|4， yP4.点 P在 x轴上方， yP4.把 yP4 代入表达式，得 4 x22 x3，解得 x12 ，210点 P的坐标为(12 ，4)或(12 ，4)2 26解：(1) y x24 x( x24 x)( x24
10、 x4)4( x2) 24，最高点 P的坐标为(2，4)(2)点 A的坐标满足方程组 y x2 4x，y 12x， )解得 或x 0，y 0) x 72，y 74， )点 A的坐标为 .(72， 74)(3)如图，过点 P作 PB x轴交 OA于点 B，则点 B的坐标为(2，1)， PB3， S POA S OPB S APB 32 3 .12 12 32 214(4)如图，过点 P作 PM OA交抛物线于点 M，连结 OM，则 MOA的面积等于 POA的面积设直线 PM的函数表达式为 y x b，12直线 PM过点 P(2，4)， 2 b4，解得 b3，12直线 PM的函数表达式为 y x3
11、.12根据题意，可列方程组11解得 或y x2 4x，y 12x 3， ) x 2，y 4) x 32，y 154， )点 M的坐标为 .(32， 154)7D 解析 如图，过点 B作 BE x轴于点 E，连结 OB.依题意得 AOE75， AOB45， BOE30. OA1， OB .2 OEB90， BE OB ， OE ，12 22 62点 B的坐标为 .(62， 22)将其代入 y ax2(a0)，得 a .23故选 D.82 解析 连结 BC，与 AO交于点 D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知 a0.由图象可知，点 A是抛物线的顶点，设点 A的坐标为(0，
12、 c)，则 OA c，四边形 ABOC是正方形， AO BC， AD OD， ABD， ACD是等腰直角三角形， AD OD .c212 ABD是等腰直角三角形， BD .c2 BD ， OD ，c2 c2点 B的坐标为( ， )c2 c2将点 B的坐标代入二次函数表达式 y ax2 c，可得 a c，c2 ( c2)2 整理，得 ac2.92 解析 连结 BC交 OA于点 D.3四边形 OBAC为菱形， BC OA. OBA120， OBD60， OD BD.3设 BD t，则 OD t，3 B .(t， 3t)把 B(t， t)代入 y x2，得 t t2，3 3 3 3解得 t10(舍去
13、)， t21. BD1， OD ，3 BC2 BD2， OA2 OD2 ，3菱形 OBAC的面积为 22 2 .12 3 310解：(1)将 B(1，0)代入 y ax2 x2，得 a 20， a ，43 43 23抛物线的函数表达式为 y x2 x2.23 43(2)当 y0 时， x2 x20，23 4313解得 x11， x23.当 x0 时， y2，抛物线与 x轴的另一交点 A的坐标为(3，0)，与 y轴的交点 C的坐标为(0，2)(3)如图，过点 P， Q分别作 PH y轴， QG x轴， H， G分别为垂足四边形 ACPQ是正方形，易知 AOC QGA CHP， AO QG CH3
14、， OC GA HP2， P(2，5)， Q(5，3)11解：(1)当 x0 时， y2， C(0，2)当 y0 时， x2 x20，14 12解得 x14， x22， B(4，0)， A(2，0)(2)易得对称轴为直线 x1.当 AB为对角线时，如图，图由点 F的横坐标为1，易知点 E的横坐标也是1，14 E(1， )，94 AEBF的面积为 AB 2 ；94 12 272当 AB为边时，如图，图 AB6， EF6， E(5， )或 E(7， )，274 274以 A， B， E， F为顶点的平行四边形的面积为 AB 6 .274 274 812综上，以 A， B， E， F为顶点的平行四边形的面积为 或 .272 812(3)存在，设点 M的坐标为(1， t) A(2，0)， C(0，2)， AC2 ， MC ， AM .2 1 （ t 2） 2 9 t2当 AC MC时，2 ，2 1 （ t 2） 2解得 t2 ，7即 M(1，2 )或 M(1，2 )；7 7当 MC AM时， ，解得 t1，即 M(1，1)；1 （ t 2） 2 9 t2当 AC AM时，2 ，此方程无解2 9 t2综上，此抛物线的对称轴上存在点 M，使得 ACM是等腰三角形，点 M的坐标为(1，2 )或(1，2 )或(1，1)7 7
