1、1不规则图形面积的求法、平面图形的滚动问题 类型之一 求不规则图形的面积方法一 割补法1如图 7ZT1，在 ABC中， AB AC， ABC45，以 AB为直径的 O交 BC于点 D，若 BC4 ，则图中阴影部分的面积为( )2A1 B2 C22 D41图 7ZT1图 7ZT222017金华模拟如图 7ZT2，在矩形 ABCD中， AB ， BC2，以点 A为圆心，2AD为半径画弧交线段 BC于点 E，连结 DE，则阴影部分的面积为( )A. B. 2 2 2 22C D2223如图 7ZT3，在 Rt ABC中， C90， AC BC1.将其放入平面直角坐标系，使 A点与原点重合， AB在
2、x轴上， ABC沿 x轴顺时针无滑动地滚动，点 A再次落在 x轴上时停止滚动，则点 A经过的路线与 x轴围成图形的面积为_图 7ZT3图 7ZT4242017营口如图 7ZT4，将矩形 ABCD绕点 C沿顺时针方向旋转 90到矩形A B CD的位置， AB2， AD4，则阴影部分的面积为_方法二 覆盖法图 7ZT55如图 7ZT5，在扇形 AOB中， AOB90， C为 OA的中点， CE OA交弧 AB于点 E.以点 O为圆心， OC的长为半径作弧 CD交 OB于点 D.若 OA2，则阴影部分的面积为_6如图 7ZT6，在扇形 OAB中， C是 OA的中点， CD OA， CD与 相交于点
3、D，以AB 点 O为圆心， OC的长为半径作 交 OB于点 E，若 OA4， AOB120，则图中阴影部分CE 的面积为_(结果保留 )图 7ZT6图 7ZT7方法三 用旋转法求图形的面积7如图 7ZT7，在 Rt ABC中， ACB90， AC4， BC3，将 Rt ABC绕点 A逆时针旋转 30后得到 ADE，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D. 1312 34 43 25128如图 7ZT8， AB为半圆的直径，且 AB4，半圆绕点 B顺时针旋转 45，点 A旋转到点 A的位置，则图中阴影部分的面积为( )A B2 C. D423图 7ZT8图 7ZT99如图 7ZT9，在
4、 Rt ABC中， BCA90， BAC30， BC2，将 Rt ABC绕点 A顺时针旋转 90得到 Rt ADE，则 BC扫过的区域(阴影部分)的面积为( )A. B(2 )2 3C. D2 3210如图 7ZT10，在正方形 ABCD中， AD2， E是 AB的中点，将 BEC绕点 B逆时针旋转 90后，点 E落在 CB延长线上的点 F处，点 C落在点 A处再将线段 AF绕点 F顺时针旋转 90得线段 FG，连结 EF， CG.(1)求证： EF CG；(2)求点 C，点 A在旋转过程中形成的 ， 与线段 CG所围成的阴影部分的面积AC AG 图 7ZT10 类型之二 平面图形的滚动问题图
5、 7ZT1111如图 7ZT11，将矩形 ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转 90至图位置，以此类推，这样连续旋转42017次若 AB4， AD3，则顶点 A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( )A2017 B2034C3024 D302612如图 7ZT12，水平地面上有一面积为 30 cm2的扇形 AOB，半径 OA6 cm，且 OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至 OB与地面垂直为止，则点 O移动的距离为 _图 7ZT12图 7ZT13132017宁波模拟如图 7ZT13，在扇形 AOB中， OA10 cm， AO
6、B36.若将此扇形绕点 B顺时针旋转，得一新扇形 A O B，其中点 A在 O B上，则点 O的运动路径长为_cm.(结果保留 )14如图 7ZT14，在矩形 ABCD中， AB5， AD12，将矩形 ABCD按图中所示的方式在直线 l上进行两次旋转，则点 B在两次旋转过程中经过的路径的长是_图 7ZT1415如图 7ZT15，正六边形硬纸片 ABCDEF在桌面上由图的起始位置沿直线 l不滑行地翻滚一周后到图的位置若正六边形的边长为 2 cm，则正六边形的中心 O运动的路程为_cm.5图 7ZT1516如图 7ZT16，在边长为 1的小正方形网格中，将 ABC绕某点旋转到A B C的位置，则点
7、 B运动的最短路径长为_图 7ZT1617如图 7ZT17，在边长为 1的正方形网格中， ABC的顶点均在格点上(1)画出 ABC关于原点成中心对称的 A B C，并直接写出 A B C各顶点的坐标；(2)求点 B旋转到点 B的路径长(结果保留 )图 7ZT176详解详析1B 解析 考查圆中阴影部分不规则图形面积的求解连结 OD，采用分割法，把阴影部分分成两部分，即 S 阴影 S BOD S 圆 由 AB AC， ABC45， BC4 ，得14 2ABC是等腰直角三角形，由勾股定理求得 O的直径为 4，则 OA OB OD2， S 阴影 SBOD S 圆 22 2 22.14 12 142A
8、解析 如图，连结 AE，在矩形 ABCD中， AB ， BC2，2 AE AD BC2.在 Rt ABE中， BE ，AE2 AB2 22 （ 2） 2 2 ABE是等腰直角三角形， BAE45， DAE45， S 阴影 S 扇形 DAE S DAE 245 22360 12 2 .2 2故选 A.73 解析 如图， S S 扇形 ABA S BC A S 扇形 A C A ( )12 135360 22 .12 14 124. 2 解析四边形 ABCD是矩形，83 3 AD BC4， CD AB2， BCD ADC90， CE BC4， CE2 CD， DEC30， DCE60，由勾股定理，
9、得 DE2 ，3阴影部分的面积 S 扇形 CEB S CDE 22 2 .60 42360 12 3 83 35. 解析 如图，连结 OE， AE.12 32由 CE OA， C为 OA的中点可得 AOE是等边三角形， AOE60， CE ，3 S 阴影 S 扇形 AOB S 扇形 COD( S 扇形 AOE S COE) 90 22360 90 12360 (60 22360 1213) 34 23 328 .12 326. 2 解析 如图，连结 OD， AD, 43 3 CD OA，在 Rt DOC中， OC OA OD，12 12 CDO30， DOC60， ADO为等边三角形， S 扇
10、形 AOD ，60 42360 83 S 阴影 S 扇形 AOB S 扇形 COE( S 扇形 AOD S COD) 120 42360 120 22360 (83 1222 3) 2 163 43 83 3 2 .43 37D 解析 由勾股定理，得 AB 5.由旋转的性质可知 ABC ADE，AC2 BC2且 DAB30. S 阴影 S ABC S 扇形 ADB S ADES 扇形 ADB .故选 D.30 52360 25128B 解析 S 阴影 S 扇形 ABA S 半圆 S 半圆 S 扇形 ABA 2.45 423609D 解析在 Rt ABC中， BCA90， BC2 AC2 AB2
11、，即 AB2 AC2 BC2.整个图形的面积 S ABC S 扇形 BAD S 阴影 S 扇形 CAE S AED，又 S ABC S AED， S 阴影 S 扇形 BAD S 扇形 CAE .90 （ AB2 AC2）360 90 BC2360910解：(1)证明：四边形 ABCD是正方形， AB BC AD2， ABC90. BEC绕点 B逆时针旋转 90得 BFA， BFA BEC， FAB ECB， ABF CBE90， AF EC， AFB FAB90.线段 AF绕点 F顺时针旋转 90得线段 FG， AFB CFG AFG90， AF FG， CFG FAB ECB， EC FG.
12、 AF EC， AF FG， EC FG，四边形 EFGC是平行四边形， EF CG.(2) BFA BEC， BF BE AB1，12 AF .AB2 BF2 5在 FEC和 CGF中， EC FG， ECF GFC， FC CF， FEC CGF， S FEC S CGF. S 阴影 S 扇形 BAC S ABF S FGC S 扇形 FAG 21 (12)190 22360 12 12 .90 （ 5） 2360 52 411D 解析 转动第一次点 A经过的路线长是 2，90 418010转动第二次点 A经过的路线长是 ，90 5180 52转动第三次点 A经过的路线长是 ，90 318
13、0 32转动第四次点 A经过的路线长是 0，转动第五次点 A经过的路线长是 2.以此类推，每四次转动为一个循环，故顶点 A转动四次经过的路线长为 2 6.52 32201745041，这样连续旋转 2017次，顶点 A在整个旋转过程中所经过的路径总长是650423026.故选 D.1210 cm 解析 观察图形可知点 O移动的距离即为扇形滚动的距离，而扇形滚动的距离为优弧 AB的弧长，因为 S 扇形 lR，所以 l10 cm.12134 解析 根据题意，知 OA OB.又 AOB36， OBA72，点 O的运动路径长 4(cm)72 1018014. 解析 如图，连结 BD， B D，作弧 ，
14、 .252 BB B B AB5， AD12， BD 13，52 122 .BB 90 13180 13211又 6，B B 90 12180点 B在两次旋转过程中经过的路径的长是 6 .132 252154 解析 根据题意得：每次滚动正六边形，其中心就以正六边形的半径为半径旋转 60，正六边形的边长为 2 cm，中心 O运动的路程为 .60 2180 23从图运动到图共重复进行了六次上述的移动，正六边形的中心 O运动的路程为 6 4(cm)23故答案为 4.16. 解析先确定旋转中心作线段 CC的垂直平分线；连结 AA，作线段132AA的垂直平分线与线段 CC的垂直平分线交于点 O，点 O恰好在格点上；确定最小旋转角最小旋转角为 90；确定旋转半径连结 OB，由勾股定理得OB ，所以点 B运动的最短路径长为 .22 32 1390 13180 13217解：(1) A B C如图所示， A(4，0)， B(3，3)， C(1，3)(2)半径 OB 3 ，32 32 212 l 3 .BB 180 3 2180 2即点 B旋转到点 B的路径长为 3 .2
