1、1相似三角形的五种基本模型 模型一 “A”字型1如图 9ZT1，在 ABC 中，点 D， E分别在边 AB， AC上，DE BC， DE3， BC9.(1)求 的值；ADAB(2)若 BD10，求 的值EDAD图 9ZT12如图 9ZT2，在 Rt ACB中， C90， AC4 cm， BC3 cm，点 P由点 B出发沿 BA方向向点 A匀速运动，速度为 1 cm/s；点 Q由点 A出发沿 AC方向向点 C匀速运动，速度为 2 cm/s.连结 PQ，设运动时间为 ts(0 t2)，当 t为何值时，以 A， P， Q为顶点的三角形与 ABC相似？图 9ZT22 模型二 “X”字型3如图 9ZT3
2、，已知 AB， CD， EF都与 BD垂直，垂足分别是 B， D， F，且AB1， CD3，那么 EF的长是( )A. B. C. D.13 23 34 45图 9ZT3图 9ZT44如图 9ZT4，在 Rt ABC中， A90， AB AC， BC20， DE是 ABC的中位线， M是边 BC上一点， BM3， N是线段 MC上的一个动点，连结 DN， ME， DN与 ME相交于点 O.若 OMN是直角三角形，则 DO的长是_52017株洲如图 9ZT5 所示，正方形 ABCD的顶点 A在等腰直角三角形 DEF的斜边 EF上， EF与 BC相交于点 G，连结 CF.求证：(1) ADE CD
3、F；(2) ABG CFG.图 9ZT53 模型三 旋转型6如图 9ZT6，已知 ，求证： ABD ACE.ABAD BCDE ACAE图 9ZT67如图 9ZT7，在 ABC和 AED中， ABAD ACAE， CAE BAD， SADE4 S ABC.求证： DE2 CB.图 9ZT7 模型四 垂直型图 9ZT848如图 9ZT8，在矩形 ABCD中， AB3， BC4，点 P从点 A出发，按 A B C的方向在 AB和 BC上移动，记 PA x，点 D到直线 PA的距离为 y，则 y关于 x的函数图象大致是( )图 9ZT9 模型五 一线三等角型图 9ZT109如图 9ZT10， AOB
4、是直角三角形， AOB90， OB2 OA，点 A在反比例函数 y 的图象上若点 B在反比例函数 y 的图象上，则 k的值为( )1x kxA4 B4 C2 D210(1)尝试：如图 9ZT11，已知 A， E， B三点在同一条直线上，且 A B DEC90.求证： ADE BEC；(2)一位同学在尝试了上题后还发现：如图 9ZT11，只要 A， E， B三点在同一条直线上，且 A B DEC，则(1)中结论总成立你同意吗？请选择其中之一说明理由图 9ZT11511如图 9ZT12，等边三角形 ABC的边长为 6， D是 BC边上的动点， EDF60.(1)求证： BDE CFD；(2)当 B
5、D1， FC3 时，求 BE的长图 9ZT126详解详析1解：(1) DE BC， AED ACB， .ADAB DEBC 13(2) ， BD10， ，ADAB 13 ADAD 10 13 AD5， .EDAD 352解：在 Rt ABC中， AB 5(cm)，由题意知 AP(5 t)cm， AQ2 tcm.BC2 AC2当 PQ BC时， AQP ACB， ， ，解得 t ， 2，符合题AQAC APAB 2t4 5 t5 107 107意；当 PQ AB时， APQ ACB， ， ，解得 t ， 2，符合题AQAB APAC 2t5 5 t4 2513 2513意综上所述，当 t 或 时
6、，以 A， P， Q为顶点的三角形与 ABC相似107 25133C 解析 AB， CD， EF都与 BD垂直， AB EF CD， ABE DCE， BECE ，同理 BEF BCD， . EF CD .故选 C.ABCD 13 EFCD BEBC BEBE CE 14 14 344. 或 解析 如图，作 EF BC于点 F， DN BC于点 N且交 EM于点 O，此256 5013时 MN O90. DE是 ABC的中位线， DE BC， DE BC10.12 DN EF，四边形 DEFN是平行四边形 EFN90，四边形 DEFN是矩形， EF DN， DE FN10. AB AC， A9
7、0， B C45， BN DN EF FC5， MN532，7而 ， ， DO ；DEMN DOO N 102 DO5 DO 256当 MON90时，则 DOE EFM， .DOEF DEEM EM 13， DO .EF2 MF25013故答案为 或 .256 50135证明：(1)由正方形 ABCD和等腰直角三角形 DEF，得 ADC EDF90，AD CD， DE DF， ADE ADF ADF CDF， ADE CDF.在 ADE和 CDF中， DE DF， ADE CDF，AD CD， ) ADE CDF.(2)如图，延长 BA到点 M，交 DE于点 M， ADE CDF， EAD F
8、CD，即 EAM MAD BCD BCF. MAD BCD90，8 EAM BCF. EAM BAG， BAG BCF.又 AGB CGF， ABG CFG.6证明： ，ABAD BCDE ACAE ABC ADE， BAC DAE， BAC DAF DAE DAF，即 BAD CAE. ， ，ABAD ACAE ABAC ADAE ABD ACE.7证明： ABAD ACAE， .ABAE ACAD又 CAE BAD， CAE DAC BAD DAC，即 DAE CAB， ADE ACB.又 S ADE4 S ABC， 4，S ADES ABC 4， 2，(DECB)2 S ADES ABC
9、 DECB DE2 CB.8D 解析 整个运动过程分成两段：当点 P在 AB上运动时，即 0 x3，随着x的增加 y值不变， y4；如图，当点 P在 BC上运动时，3 x5，9 BAP DAP90， BAP APB90， DAP APB.又 AED ABP90， ADE PAB， ，ADAP DEAB即 ，4x y3 y .12x故选 D.9A 解析 如图，过点 A， B分别作 AC x轴， BD x轴，垂足分别为 C， D.设点 A的坐标是( m， n)，则 AC n， OC m. AOB90， AOC BOD90. DBO BOD90， DBO AOC.又 BDO ACO90， BDO O
10、CA，10 .BDOC ODAC OBOA OB2 OA， BD2 m， OD2 n.点 A在反比例函数 y 的图象上，1x mn1.点 B在反比例函数 y 的图象上，点 B的坐标是(2 n，2 m)，kx k2 n2m4 mn4.故选 A.10解：(1)证明： A B DEC90， DEA CEB90. DEA D90， D CEB， ADE BEC.(2)同意，以题图为例说明： A DEC， A D DEC CEB， D CEB.又 A B， ADE BEC.11解：(1)证明： ABC是等边三角形， B C60， EDB BED120. EDF60， CDF EDB120， BED CDF， BDE CFD.11(2) BDE CFD， ，BDCF BECD即 ，解得 BE .13 BE5 53
