1、1第 4 章 相似三角形类型之一 比例线段及比例的性质1若 mn ab，则下列比例式中错误的是( )A. B. am nb ma nbC. D. an mb ma bn2在比例尺为 110000 的地图上，一块面积为 2 cm2的区域表示的实际面积是( )A2000000 cm 2 B20000 m 2C4000000 m 2 D40000 m 23已知 x2 y3 z4，求 的值2x 3y zz 2y 3x类型之二 相似三角形的判定与性质42017自贡如图 4X1，在 ABC 中， MN BC，分别交 AB， AC 于点 M， N，若AM1， MB2， BC3，则 MN 的长为_图 4X1图
2、 4X 225如图 4X2， F 是 ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD 的延长线于点 E，则下列结论错误的是( )A. B. EDEA DFAB DEBC EFFBC. D. BCDE BFBE BFBE BCAE图 4X362017潍坊如图 4X3，在 ABC 中， AB AC， D， E 分别为边 AB， AC 上的点，AC3 AD， AB3 AE， F 为 BC 边上一点，添加一个条件：_，可以使得 FDB 与 ADE相似(只需写出一个) 7如图 4X4，已知正方形 ABCD 的边长为 1， F 为 CD 边上一动点，作 EF AE 交 BC于点 E.(1)求证： AB
3、E ECF；(2)设 BE x， DF y，求 y 与 x 之间的函数表达式图 4X482017宿迁如图 4X5，在 ABC 中， AB AC，点 E 在边 BC 上移动(点 E 不与点3B， C 重合)，满足 DEF B，且点 D， F 分别在边 AB， AC 上(1)求证： BDE CEF；(2)当点 E 移动到 BC 的中点时，求证： FE 平分 DFC.图 4X5类型之三 相似三角形的应用图 4X69如图 4X6，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落点恰好在离网 6 m 的位置上，则球拍击球的高度 h 为( )A. B1 C. D.815 43 85图 4X710为了测量校园内一棵高
4、不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图 4X7 所示的测量方案，把镜子放在离树( AB)8.7 m 的点 E 处，然后观测者沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE2.7 m，观测者高 CD1.6 m，则树高 AB 约是_(精确到 0.1 m)411如图 4X8， ABC 为锐角三角形， AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一边 FG在 BC 上，顶点 E， H 分别在 AB， AC 上，已知 BC40 cm， AD30 cm.(1)求证： AEH ABC；(2)求正方形 EFGH
5、 的边长与面积图 4X8类型之四 相似多边形的判定和性质图 4X9122016金华外国语学校模拟如图 4X9，已知矩形 ABCD 中， AB1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处若四边形 EFDC 与矩形 ABCD相似，则 AD_13如图 4X10 所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，矩形 ABCD 沿EF 对开后，再把矩形 EFCD 沿 MN 对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，则 等于多ABAD少？5图 4X10类型之五 数学活动14 ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形， BAC EDF90， DEF 的顶
6、点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重合，将 DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q.(1)如图 4X11，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP AQ 时，求证： BPE CQE.(2)如图 4X11，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证： BPE CEQ；并求当BP2， CQ9 时 BC 的长图 4X116详解详析1B2B 解析 设实际面积是 xcm2，则 ，2x ( 110000)2 解得 x200000000.又1 m 210000 cm 2，200000000 cm 220000 m 2.故选 B.3解
7、：设 x2 y3 z4 k(k0)，则 x2 k， y3 k， z4 k，所以 .2x 3y zz 2y 3x 4k 9k 4k4k 6k 6k 9441 解析 MN BC， AMN ABC， . AM1， MB2， BC3，AMAB MNBC ，解得 MN1.11 2 MN35C 解析 由四边形 ABCD 是平行四边形可得 AD BC， EDF EAB， EDFBCF， BCF EAB，所以 ， ， ，所以选项 A，B，D 正确故选 C.EDEA DFAB DEBC EFFB BFBE BCAE6答案不唯一，如 A BDF 或 A BFD 或 ADE BFD 或 ADE BDF 或DF AC
8、 或 或 BDAE BFDE BDDE BFAE解析 AC3 AD， AB3 AE， .又 A A, ADEADAC AEAB 13ACB， AED B.故要使 FDB 与 ADE 相似，只需再添加一组对应角相等或夹角的两边成比例即可7解：(1)证明： B C90， EF AE， BAE AEB90， CEF AEB90， BAE CEF， ABE ECF.7(2) ABE ECF， ，即 ，BECF ABCE x1 y 11 x y x2 x1.8证明：(1) AB AC， B C. DEF CEF B BDE， DEF B， CEF BDE， BDE CEF.(2)由 BDE CEF 得
9、.BECF DEEF E 是 BC 的中点， BE CE， ，即 .CECF DEEF CEDE CFEF B C， DEF B， C DEF， CEF EDF， CFE EFD，即 FE 平分 DFC.9C 解析 利用相似三角形的判定与性质，易得 ， h .0.8h 66 4 43105.2 m 解析 由题意知 CDE ABE90，由光的反射原理可知 CED AEB， CED AEB， ，CDDE ABBE ， AB5.2(m)1.62.7 AB8.711解：(1)证明：四边形 EFGH 是正方形， EH BC， AEH ABC.8(2)设 AD 与 EH 相交于点 M. EFD FEM F
10、DM90，四边形 EFDM 是矩形， EF DM.设正方形 EFGH 的边长为 xcm. AEH ABC， ，EHBC AMAD ， x ，x40 30 x30 1207正方形 EFGH 的边长为 cm，面积为 cm2.1207 144004912. 解析 设 AD x，由四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，可得 ，即 5 12 EFBC DFAB 1x，得 x2 x10，解得 x (负值已舍去)x 11 5 1213解：设 AD2 AE x， AB y.矩形 ABCD 与矩形 AEFB 相似， ，即 AB2 AEAD，AEAB ABAD y2 xx， ， ，12 y2x2 12 yx 22 .ABAD 2214解：(1)证明： ABC 是等腰直角三角形， AB AC， B C45.又 AP AQ， BP CQ. E 是 BC 的中点， BE CE， BPE CQE.9(2) ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形， B C DEF45. BEQ EQC C，即 BEP DEF EQC C， BEP45 EQC45，BEPEQC, BPECEQ， .BPCE BECQBP2，CQ9，BECE，BE 218，BE3 (负值已舍)，2BC6 .2
