1、1第 3 讲导数与函数综合问题1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.2.在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.1.导数的几何意义函数 f(x) 在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率k f( x0)，相应的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0).2.四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；(2)
2、(cos x)sin x；(3)(ax) axln a(a0，且 a1)；(4)(logax) (a0，且 a1， x0).1xln a3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系. f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x) x3在(，)上单调递增，但 f( x)0. f( x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f( x)0 时，则 f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f( x)0 或 f( x)0，右侧 f( x)0，则 f(x0)
3、为函数 f(x)的极小值.(2)设函数 y f(x)在 a， b上连续，在( a， b)内可导，则 f(x)在 a， b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.5.利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.6.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确2定其零点的个数即可.存在两个极值点 x1， x2且 x10两个 f(x1)0 或者 f(x2)0a0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小
4、值) 三个 f(x1)0 且 f(x2)0一个 f(x1)0 或 f(x2)0两个 f(x1)0 或者 f(x2)0a0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值) 三个 f(x1)0 且 f(x2)07.利用导数解决不等式问题(1)利用导数证明不等式.若证明 f(x)g(x)对一切 x I 恒成立 I 是 f(x)g(x)的解集的子集 f(x) g(x)min0(x I). x I，使 f(x)g(x)成立 I 与 f(x)g(x)的解集的交集不是空集 f(x) g(x)max0(x I).对 x1， x2 I 使得 f(x1) g(x2)f(x)max g(x)min.对 x1 I， x2
5、I 使得 f(x1) g(x2)f(x)min g(x)min.热点一 利用导数研究函数的单调性【例 1】(2019衡水中学)已知函数 lnfxaxb， ,R.（1）讨论 fx的单调性；（2）当 0a, 1， 2为两个不相等的正数，证明： 1212fxfx.解（1）函数 fx的定义域为 0,， afxx.若 0a， 1af，则 f在区间 0,内为增函数；若 ，令 0xf，得 1a.则当 10,xa时， f， fx在区间 0,内为增函数；当 ,时， 0fx， f在区间 1,a内为减函数.3（2）当 0a时， lnfxb.不妨设 120x，则原不等式等价于12lnx，令 12xt，则原不等式也等价
6、于即 4l,1tt.下面证明当 时， ln201x恒成立.设 4ln21hx，则 22140xh ，故 在区间 ,内为增函数， xh，即 4lnx，所以 1212fxfx.探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式 f( x)0 或 f( x)0.(2)对 k 分类讨论不全，题目中已知 k0，对 k 分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面.【训练 1】已知 aR，函数 f(x)( x2 ax)ex(xR，e 为自然对数的底数).(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若函数 f(x)在(1，1)上单调递增，求 a 的取值范围；(3)函数 f(x)是
7、否为 R 上的单调减函数？若是，求出 a 的取值范围，若不是，请说明理由.解 (1)当 a2 时， f(x)( x22 x)ex，所以 f( x)(2 x2)e x( x22 x)ex( x22)e x.令 f( x)0，即( x22)e x0，因为 ex0，所以 x220，解得 x .2 2所以函数 f(x)的单调递增区间是( ， ).2 2(2)因为函数 f(x)在(1，1)上单调递增，所以 f( x)0 对 x(1，1)都成立.因为 f( x)(2 x a)ex( x2 ax)ex x2( a2) x aex，所以 x2( a2) x aex0 对 x(1，1)都成立.因为 ex0，所以
8、 x2( a2) x a0，则 a ( x1) 对 x(1，1)都成立.x2 2xx 1 （ x 1） 2 1x 1 1x 1令 g(x)( x1) ，则 g( x)1 0.1x 1 1（ x 1） 2所以 g(x)( x1) 在(1，1)上单调递增.所以 g(x) g(1)(11) .1x 1 11 1 32所以 a 的取值范围是 .32， )4(3)若函数 f(x)在 R 上单调递减，则 f( x)0 对 xR 都成立，即 x2( a2) x aex0 对 xR 都成立.因为 ex0，所以 x2( a2) x a0 对 xR 都成立.所以 ( a2) 24 a0，即 a240，这是不可能的
9、.故函数 f(x)不可能在 R 上单调递减.热点二 利用导数研究函数的极值和最值【例 2】 (2018安阳调研)已知函数 321fxxa的极大值为 2（1）求实数 a的值；（2）求 fx在 ,1b上的最大值解（1）依题意 2431fxx，所以 fx在 ,1和 ,上单调递增，在 ,3上单调递减，所以 在 处取得极大值，即 12fa，解得 23a（2）由（1）知 fx在 ,和 3,上单调递增，在 1,上单调递减，当 b，即 0b时， f在 ,1b上单调递增，所以 fx在 ,1上的最大值为 32fb当 b，即 0b时， x在 ,1上单调递增，在 1,b上单调递减，fx在 ,1上的最大值为 2f当 b
10、且 3，即 b时， fx在 ,1b上单调递减，所以 fx在 ,1上的最大值为 323f当 3b，即 2时，令 1fbf，得 96b或 936b（舍去）当 926时， fx在 ,上的最大值为 32f当 b时， f在 ,1b上的最大值为 1fb综上可知：当 0或 936时， fx在 ,上的最大值为 32bf；当 1b时， fx在 ,1b上的最大值为 ；(1)2f当 936时， f在 ,上的最大值为 323bf探究提高 1.求函数 f(x)的极值，则先求方程 f( x)0 的根，再检查 f( x)在方程根的左右附近函数值的5符号.2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f( x)0 根的大小
11、或存在情况来求解.3.求函数 f(x)在闭区间 a， b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)， f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.【训练 2】(2017郴州二模选编)已知函数 f(x) ax2(12 a)xln x.(1)当 a0 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 a0，因为 a0， x0， 0， x10，得 x1，2ax 1x f(x)的单调递增区间为(1，).(2)由(1)可得 f( x) ，2a(x 1 2a)（ x 1）x因为 a1，即 0，因此 f(x)在 上是增函数，12a12 12， 1 f(x)的最小值为 f aln 2.(
12、12) 12 34综上，函数 f(x)在区间 上的最小值为： f(x)min12， 1 12 34a ln 2， a0 且 c 0，存在 x1(4，2)， x2 ， x33227 ( 2， 23)，使得 f(x1) f(x2) f(x3)0.(23， 0)由 f(x)的单调性知，当且仅当 c 时，函数 f(x) x34 x24 x c 有三个不同零点.(0，3227)热点四 利用导数求解不等式问题【例 4】(2018深圳期末)已知函数 2lnfxax， R（）当 3a时，求 fx的单调区间；（）若 1x， 0f，求 a的取值范围解：（1） f的定义域为 , 2131xfx，当 02x或 1时，
13、 0fx，当 2时， 0f， f在 ,和 ,上是增函数，在 1,上是减函数， 0,2和 1,上是增区间， ,2上是减区间（2）由 fx，得 lnxa在 1时恒成立，令2lng，则 2lxg，令 21lhxx，则20h ， hx在 1,为增函数， 120hx， 0g， g在 1,为增函数， 1x，所以 a，即实数 a的取值范围为 ,1探究提高 1.(1)涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题，在转化过程中，一定要注意等价性.(2)对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进8行分
14、类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化.2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即 f(x) g(a)对于 x D 恒成立，应求 f(x)的最小值；若存在 x D，使得 f(x) g(a)成立，应求 f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍.【训练 4】(2017石家庄调研)已知函数 f(x) (x1).ln xx 1(1)判断函数 f(x)的单调性；(2)是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 ln x1，所以 x(x1) 20.x 1 xln xx（ x 1） 2设 g(x) x1 xln x， g( x)1ln x1ln
15、x0，若 a0 时显然不满足题意，因此 a0.设 F(x) a(x1)ln x， F( x) a ，1x ax 1x a(x 1a)x令 F( x)0，得 x .1a a1 时，00， F(x)F(1)0，1a因此 a1 时，ln x1， F(x)在 为减函数，在 为增函数，1a (1， 1a) (1a， ) F(x)min0，则实数 a 的取值范围是( )A.(2，) B.(1，) C.(，2) D.(，1)4.(2018全国 I 卷)已知函数 1lnfxax（1）讨论 fx的单调性；（2）若 f存在两个极值点 12,x，证明： 12fxfa101.(2018忻州一中)设函数 sincofx
16、x的图像在点 ,tf处切线的斜率为 k，则函数 kgt的图像为（）2.(2019绵阳诊断)若函数 2ln1fxxb的图象上任意一点的切线斜率均大于 0，则实数 b的取值范围为（）A ,4B ,4C 4,D 0,43.(2017贵阳联考)已知函数 f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表：x 1 0 2 3 4f(x) 1 2 0 2 0f(x)的导函数 y f( x)的图象如图所示.当 1f( x)，且 f(0)1，则12不等式 0 时， x(，0)， f( x)0； x ， f( x)0，且 f(0)10，故(0，2a) (2a， )f(x)有小于 0 的零点，不满足.当 a0 且唯一，只
17、需 f 0，则 a24，所以 a0，f（ 0）e0 f（ x）ex所以不等式的解集为 x|x0.故填 x|x0.4.【解题思路】(1)恒成立问题转化为最值问题；(2)求导判断函数的单调性，极值情况，进而确定其零点情况.【答案】解 (1)由对一切 x(0，)，2 f(x) g(x)恒成立，有 2xln x x2 ax3，即 a2ln x x 恒成立.3x令 h(x)2ln x x ， h( x) 1 ，3x 2x 3x2 x2 2x 3x2 （ x 3） （ x 1）x2当 x1 时， h( x)0， h(x)是增函数，当 00)，1ex 2ex xex 2e令 f(x) xln x(x0)， f( x)1ln x，当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增.(1e， )所以当且仅当 x 时， f(x)取最小值，且 f(x)min ，1e 1e设 (x) (x0)，则 ( x) ，xex 2e 1 xex易知 (x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以当且仅当 x1 时， (x)取最大值，且 (x)max ，1e中取等号的条件不同，且 ，1ex 2ex即 F(x)ln x 0 恒成立，1ex 2ex故函数 F(x)没有零点.
