1、1第 3 讲平面向量1以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现1平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 ，使 b a(2)平面向量基本定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2，其中 e1， e2是一组基底2平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a( x
2、1， y1)， b( x2， y2)，则(1)a ba bx1y2 x2y10(2)a bab0 x1x2 y1y203平面向量的三个性质(1)若 a( x， y)，则| a| aa x2 y2(2)若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| | AB （ x2 x1） 2 （ y2 y1） 2(3)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)， 为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|4平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件： O 为平面上一点，则 A， B， P 三点共线的充要条件是 1 2 (其中OP OA OB 1 21)(2)三角形中线向量公式：若 P 为
3、OAB 的边 AB 的中点，则向量 与向量 ， 的关系是 ( )OP OA OB OP 12OA OB (3)三角形重心坐标的求法： G 为 ABC 的重心 0 G GA GB GC (xA xB xC3 ， yA yB yC3 )热点一 平面向量的有关运算【例 1】(1)(2018大连八中)已知向量 1,a， 3,mb， ab，则 m=（）A B2 C D3-2 -32(2)设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD AB， BE BC若 1 2 ( 1， 2为实数)，12 23 DE AB AC 则 1 2的值为_解析 (1)向量 1,a， 3,mb， ,1mab，
4、ab，121（1+m） ，m3故选 C(2) ( ) ， 1 2 ，DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23AC AB 16AB 23AC DE AB AC 1 ， 2 ，因此 1 2 16 23 12答案 (1)C (2)12探究提高 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系【训练 1】(2019广州一模)已知 的边 上有一点 满足 ，则 可表示为( )ABC BC DD BD=4DC ADA BAD=14AB+34AC AD=34AB+14ACC DAD=45AB+15AC AD=15AB+4
5、5AC解析由题意可知 ，故选 DAD=AB+BD=AB+45BC=AB+45(AC-AB)=AD=15AB+45AC答案 D热点二 平面向量的数量积命题角度 1 平面向量数量积的运算【例 21】(1) (2019株洲质检)在 中，点 为斜边 的中点， ， ，则RtABC D BC |AB|=8 |AC|=6（）ADAB=A48 B40 C32 D16(2)(2016山东卷)已知非零向量 m， n 满足 4|m|3| n|，cos m， n 若 n( tm n)，则实数 t 的值为13（）A4 B4 C D94 94解析 (1)因为点 为斜边 的中点，所以 ，D BC AD=12(AB+AC)所
6、以 ，ADAB=12(AB+AC)AB=12AB2+12ACAB又 中 ，所以 ，故选 CRtABCAC AB ADAB=12AB2=12|AB|2=323(2) n( tm n)， n(tm n)0，即 tmn n20， t|m|n|cos m， n| n|20，由已知得 t|n|2 | n|20，解得 t434 13答案 (1)C (2)B探究提高 1求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义2进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量其次注意向量夹角的大小，以及夹角 0，90，180三种特殊情形3求两向量的夹角：
7、cos ，要注意 0，ab|a|b|4两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是： a bab0 |a b| a b|5求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)a2 aa| a|2或| a| aa(2)|ab| （ ab） 2 a22ab b2(3)若 a( x， y)，则| a| x2 y2【训练 2】(1)(2015福建卷)已知 ，| | ，| | t，若点 P 是 ABC 所在平面内的一点，且 AB AC AB 1t AC AP ，则 的最大值等于（）AB |AB |4AC |AC | PB PC A13 B15 C19 D21(2)(2019新泰一中)已知向量 与 的夹
8、角为 120，且 ，那么 的值为（）a b |a|=|b|=2 b(2a-b)A8 B6 C0 D4解析 (1)建立如图所示坐标系，则 B ， C(0， t)， ， (0， t)，(1t， 0) AB (1t， 0) AC 则 t (0， t)(1，4)点 P(1，4)，AP AB |AB |4AC |AC | (1t， 0) 4t则 (1， t4)17 172 13，PB PC (1t 1， 4) (1t 4t) 1t4t当且仅当 4t ，即 t 时取等号，故 的最大值为 131t 12 PB PC (2)向量 与 的夹角为 ，且 ，可得a b 120|a|=|b|=2，即有ab=|a|b|
9、cos120=22(-12)=-24故选 Ab(2a-b)=2ab-b2=2(-2)-4=-8答案 (1)A (2)A热点三 平面向量与三角的交汇综合【例 3】(2017郑州质检)已知向量 m(2sin x ，cos 2x sin 2x )， n( cos x ，1)，其中 0，3xR若函数 f(x) mn 的最小正周期为 (1)求 的值；(2)在 ABC 中，若 f(B)2， BC ，sin B sin A，求 的值3 3 BA BC 解 (1) f(x) mn2 sin x cos x cos 2x sin 2x sin 2x cos 3 32x 2sin (2 x 6) f(x)的最小正
10、周期为 ， 2Tw 0， 1(2)设 ABC 中角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c f(B)2，2sin 2，即 sin 1，解得 B (B(0，)(2B 6) (2B 6) 23 BC ， a ，sin B sin A， b a， b33 3 3 3由正弦定理，有 ，解得 sin A 0 A ， A C ， c a 3sin A 3sin 23 12 3 6 6 3 cacos B cos BA BC 3 3 23 32探究提高 1破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法” ，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化
11、简” ；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系” ；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化2这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣” ，转化为三角函数的相关知识进行求解【训练 3】(2018天津七校)在平面直角坐标系 中，已知向量xoya=(cosx,sinx),b=(1,3),x ( 3, )（1）若 ，求 的值；a b x（2）若 与 的夹角为 ，求 的值a b 6 cosx解（1） ， ，a b ab=0又 ，ab=cosx+ 3sinx=2(12cosx+ 32sinx)=2cos(x- 3)=0 x- 3=k + 2(k Z)5
12、， x ( 3,) x=56（2） ,ab=|a|b|cos 6=1232= 3 ， ，2cos(x- 3)= 3 cos(x- 3)= 32 x ( 3,) x- 3 (0,23) sin(x- 3)=12= cosx=cos(x- 3)+ 3=cos(x- 3)cos 3-sin(x- 3)sin 3061(2018全国 I 卷)在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （）ABC ADBC E AD EB=A B34AB-14AC 14AB-34ACC D34AB+14AC 14AB+34AC2(2018全国 II 卷)已知向量 a， b满足 ， ab，则 2ab（）A4 B3 C2
13、D03(2018全国 III 卷)已知向量 1,， ,， 1,c若 +c，则 _ =4(2017江苏卷)已知向量 a(cos x，sin x)， b(3， )， x0，3(1)若 a b，求 x 的值；(2)记 f(x) ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值1(2018平遥中学)若向量 a与 b满足 ，且 ，则向量 a在 b方向上的投影为(a+b) a |a|=1,|b|=27（）A B C1 D3 -12 332(2019内江一模)若 ， ， ，则 与 的夹角为（）|a|=1 |b|=2 |a+2b|= 13 a bA B C D 6 3 2 233(2019乐山一模)如图
14、所示， 是三角形 的中线， 是 的中点，若 ，其中AD ABC O AD CO= AB+ AC，则 的值为（） , R +A B C D-12 12 -14 144(2017山东卷)已知 e1， e2是互相垂直的单位向量，若 e1 e2与 e1 e2的夹角为 60，则实数 3的值是_5设向量 a( sin x，sin x)， b(cos x，sin x)， x 3 0， 2(1)若| a| b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x) ab，求 f(x)的最大值1(2017汉中模拟)已知向量 a(2，4)， b(3， x)， c(1，1)，若(2 a b) c，则| b|（）8A9 B3 C D
15、3109 102(2018平遥中学)已知向量 ,若 ，则 的值为（）a=( +1,2),b=(-2,2)|a-2b|=|a+2b| A-3 B-1 C1 D23(2019河南联考)若非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值a b |a|= 3|b| (a-b) (a+2b) a b为（）A B C D63 33 - 63 - 334(2017贵阳调研)已知向量 a Error!， b(sin x, sin x)， f(x) ab(cos( 2 x)， ) 3(1)求函数 f(x)的最小正周期及 f(x)的最大值；(2)在锐角三角形 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a，
16、b， c，若 f 1， a2 ，求三角形 ABC 面积的最(A2) 3大值5(2018武威十八中)已知函数 ，其中 f(x)=ab a=(2cosx, 3sin2x),b=(cosx,1),x R（1）求函数 的单调递增区间；y=f(x)（2）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，求 的面积ABC A,B,C a,b,c,f(A)=2,a= 7 b=2c ABC910参考答案1 【解题思路】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的BE=12BA+12BC加法运算法则-三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相BC=BA+AC BE=34BA+14AC反向量
17、，求得 ，从而求得结果EB=34AB-14AC【答案】根据向量的运算法则，可得，BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC所以 ，故选 AEB=34AB-14AC2 【解题思路】根据向量模的性质以及向量乘法得结果【答案】因为 所以选 Ba(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-(-1)=2+1=3，3 【解题思路】由两向量共线的坐标关系计算即可【答案】由题可得 ，2a+b=(4,2)， ,即 ，故答案为 c/(2a+b),c=(1,) 4 -2=0 =12 12点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐
18、标关系，属于基础题4 【解题思路】(1)两向量平行，坐标对应成比例；(2)根据数量积定义求出 f(x)，再用辅助角公式进行化简【答案】(1) a b，3sin x cos x，3sin x cosx0，即 sin 03 3 (x 6)0 x， x ， x ， x 6 6 76 6 56(2)f(x) ab3cos x sin x2 sin x0， x ，3 3 (x 3) 3 3， 23 sin 1，2 f(x)3，32 (x 3) 3当 x ，即 x0 时， f(x)取得最大值 3；当 x ，即 x 时， f(x)取得最小值2 3 3 3 2 56 3111 【解题思路】由向量 与 满足|
19、|1，| |2，且 ，求出 1ab，由此能求出向量 在a b a b (a+b) a a向量 方向上的投影b【答案】向量 与 满足| |1，| |2，且 ，a b a b (a+b) a a（ ） 10，解得 1，a+b =a2+a b=a b+向量 在向量 方向上的投影为：| |cos ， | | 故选 Ba b a a b = a ab|a|b|= -12 =-122 【解题思路】根据 ，对 两边平方即可求出 ，|a|=1，|b|=2 |a+2b|= 13 a b=-1从而可求出 ，这样即可求出 与 的夹角cosa， b =-12 a b【答案】 ；|a|=1，|b|=2，|a+2b|=
20、13 ； ；(a+2b)2=a2+4b2+4a b=1+16+4a b=13 a b=-1 ；cosa， b = ab|a|b|=-12又 ， 的夹角为 故选 D0 a， b a， b 233 【解题思路】在三角形 中 是 的中点，可得 ，然后将其转化到 上求出 的ACDO AD CO=12(CD+CA) AB、 AC 、值【答案】由题知 ，CO=12(CD+CA)=12(12CB+CA)=14(AB-AC)+12CA=14AB-34AC则 ， ，故 ，故选 A =14 =-34 + =-124 【解题思路】求两向量的夹角：cos ，注意 0，ab|a|b|【答案】cos 60 解之得 故填
21、（ 3e1 e2） （ e1 e2）| 3e1 e2|e1 e2| 3 3 1 1 2 12 33 335 【解题思路】(1)直接利用坐标形式求模公式；(2)根据数量积定义求出 f(x)，再用二倍角公式和辅助角公式进行化简【答案】(1)由| a|2( sinx)2(sin x)24sin 2x，| b|2(cos x)2(sin x)21，3及| a| b|，得 4sin2x1又 x ，从而 sin x ，所以 x 0， 2 12 6(2)f(x) ab sin xcos xsin 2x sin 2x cos 2x sin ，332 12 12 (2x 6) 12当 x 时，sin 取最大值
22、1所以 f(x)的最大值为 3 0， 2 (2x 6) 32121 【解题思路】两向量垂直，两向量的数量积为 0【答案】向量 a(2，4)， b(3， x)， c(1，1)，2 a b(1， x8)，由(2 a b) c，可得 18 x0，解得 x9则| b| 3 故选 D（ 3） 2 92 102 【解题思路】根据向量的坐标的运算得 ，利用向量模长a-2b=( +5,-2) a+2b=( -3,6)相等列方程即可求解【答案】由向量 ,a=( +1,2),b=(-2,2)可得 a-2b=( +5,-2) a+2b=( -3,6)，|a-2b|= ( +5)2+(-2)2= 2+10 +29|a
23、+2b|= ( -3)2+62= 2-6 +45由 ，得 ，解得 |a-2b|=|a+2b| 2+10 +29= 2-6 +45 =1故选 C3 【解题思路】由 可得 ，结合(a-b) (a+2b) (a-b)(a+2b)=a2-2b2+|a|b|cos =0可得结果|a|= 3|b|【答案】设 与 的夹角为 ，a b ， ， (a-b) (a+2b) (a-b)(a+2b)=a2-2b2+|a|b|cos =0，故选 Dcos =-|a|2-2|b|2|a|b| =- |b|23|b|2=- 334 【解题思路】(1)根据数量积定义求出 f(x)，再用二倍角公式和辅助角公式进行化简；(2)
24、f 1 可得 A，再利用余弦定理结合均值不等式(A2)【答案】(1) a(sin x，cos x)， b(sin x， sin x)，3则 f(x) absin 2x sin xcosx (1cos 2x) sin 2xsin ， f(x)的最小正周期312 32 (2x 6) 12T ，22当 2x 2 k， kZ 时，即 x k( kZ)， f(x)取最大值是 6 2 3 32(2) f sin 1，sin ， A (A2) (A 6) 12 (A 6) 12 3 a2 b2 c22 bccos A，12 b2 c2 bc， b2 c212 bc2 bc，13 bc12(当且仅当 b c2
25、 时等号成立) S bcsin A bc3 312 34 3当三角形 ABC 为等边三角形时面积取最大值是 3 35 【解题思路】 （1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简 为f(x)的形式，将 代入 中，解出 的范围，由此求得函数的单调Asin(x + )+B x + 2k - 2,2k + 2 x区间（2）利用 求得角 的大小，利用余弦定理和 列方程组，解方程组求得 的值，由此求得三角f(A)=2 A b=2c c2形的面积【答案】 （1） 2 cos3insi2cos12sin16fxxxxab ，令 26kk，解得 6kk， Z，函数 yfx的单调递增区间是 ,3（ ） （2） 2fA， sin126A，即 1sin62A，又 0， 3， 7a，由余弦定理得 222cos37abAbc，2bc，由得 3， 736ABCS
