1、1第 2 讲概率及其与统计的交汇问题1以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件；2概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度1古典概型的概率(1)公式 P(A) mn A中 所 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等2几何概型的概率(1)P(A) 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）(2)几何概型应满足两个条件：试验中所有可
2、能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等3概率的性质及互斥事件的概率(1)概率的取值范围：0 P(A)1(2)必然事件的概率： P(A)1(3)不可能事件的概率： P(A)0(4)若 A， B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B)，特别地 P(A) P( )1A 热点一 古典概型的概率【例 1】(2019湘潭一模)在一次 535 公里的自行车个人赛中，25 名参赛手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为 1-25 号，再用系统抽样方法从中选取 5 人已知选手甲的成绩为 85 分钟，若甲被选取，则被选取的其余 4 名选手的成绩的平均数为
3、（ ）A97 B96 C95 D98解将参赛选手按成绩由好到差分为 5 组，则第一组 ，第二组 ，(80,81,82,83,85) (86,86,86,86,88)第三组 ，第四组 ，第五组 甲的编号为第一组的(89,90,92,93,94) (95,95,95,97,99) (100,100,105,106,107)2第 5 个，则其余 4 名选手的成绩分别为 88,94,99,107，这 4 个成绩的平均数为 97，故选 A探究提高 1求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数2两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏(2)
4、当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率【训练 1】(2017昆明诊断)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下)(1)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好” 已知该校高一年级有 1 000 名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60，70)和80，90)的样本学生中随机抽取 2 人
5、，求在抽取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在60，70)的概率解 (1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 1431330(人)所以该校高一年级中， “体育良好”的学生人数大约有 1 000 750(人)3040(2)设“至少有 1 人体育成绩在60，70)”为事件 M，记体育成绩在60，70)的数据为 A1， A2，体育成绩在80，90)的数据为 B1， B2， B3，则从这两组数据中随机抽取 2 个，所有可能的结果有 10 种，即( A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，(A2， B3
6、)，( B1， B2)，( B1， B3)，( B2， B3)而事件 M 的结果有 7 种，即( A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)因此事件 M 的概率 P(M) 710热点二 概率与统计的综合问题【例 2】(2018湘潭一模)近期中央电视台播出的中国诗词大会火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的 100 名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示题号 分组 频数 频率第 1 组 160,165) 0100第 2 组 165,170) 3第 3 组 170,175) 20 第 4 组
7、 175,180) 20 0200第 5 组 180,185 10 0100第 6 组 160,185 100 100（1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图；（2）组委会决定在 5 名（其中第 3 组 2 名，第 4 组 2 名，第 5 组 1 名）选手中随机抽取 2 名选手接受 考官A进行面试，求第 4 组至少有 1 名选手被考官 面试的概率A解（1）第 1 组的频数为人 ，所以处应填的数为 ，1000100=10 100-(10+20+20+10)=40从而第 2 组的频数为 ，因此处应填的数为 40100=0400 1-(01 +04 +02 +01)=0
8、200频率分布直方图如图所示，（2）设第 3 组的 2 名选手为 ，第 4 组的 2 名选手为 ，第 5 组的 1 名选手为 ，则从这 5 名选手中A1,A2 B1,B2 C1抽取 2 名选手的所有情况为 ， ，(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,B1) (A2,B2),(A2,C1),(B1,B2)，共 10 种，(B1,C1),(B2,C1)其中第 4 组的 2 名选手中至少有 1 名选手人选的有 ，(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)4共 7 种，所以第 4 组至少有 1 名选手
9、被考官 面试的概率为 A710探究提高 1概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算2在求解该类问题要注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成【训练 2】(2017成都诊断)某省 2017 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制各等级划分标准为：85 分及以上，记为 A 等；分数在70，85)内，记为 B 等；分数在60，70)内，记为C 等；60 分以下，记为 D
10、 等同时认定 A， B， C 等为合格， D 等为不合格已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1 所示，乙校的样本中等级为 C， D 的所有数据的茎叶图如图 2 所示(1)求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；(2)在乙校的样本中，从成绩等级为 C， D 的学生中随机抽取 2 名学生进行调研，求抽出的 2 名学生中至少有1 名学生成绩等级为 D 的概率解 (1)由题意，可知 10
11、x0012100056100018100010101， x0004，甲学校的合格率为(1100004)100%096100%96%乙学校的合格率为 100%096100%96%(1250)甲、乙两校的合格率均为 96%(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为 C 的 4 名学生记为 C1， C2， C3， C4，成绩等级为 D 的 2 名学生记为D1， D2，则随机抽取 2 名学生的基本事件有 C1， C2， C1， C3， C1， C4， C1， D1， C1， D2， C2， C3， C2， C4，C2， D1， C2， D2， C3， C4， C3， D1， C3， D2， C4， D1，
12、 C4， D2， D1， D2，共 15 个基本事件其中“至少有 1 名学生成绩等级为 D”包含 C1， D1， C1， D2， C2， D1， C2， D2， C3， D1， C3， D2，C4， D1， C4， D2， D1， D2，共 9 个基本事件抽取的 2 名学生中至少有 1 名学生成绩等级为 D 的概率为 P 915 35561(2018全国 III 卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 045，既用现金支付也用非现金支付的概率为 015，则不用现金支付的概率为（）A03 B04 C06 D072(2018全国 II 卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服
13、务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（）A B C D06 05 04 033(2017山东卷)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1， A2， A3和 3 个欧洲国家 B1， B2， B3中选择 2 个国家去旅游(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率1(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保费 085 a a 125 a 15
14、 a 175 a 2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 57频数 60 50 30 30 20 10(1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” 求 P(A)的估计值；(2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”求 P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值2某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持 保留 不支持30 岁以下 900 120 28030 岁以上
15、(含 30 岁) 300 260 140(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研(不同态度的群体中亦按年龄分层抽样)，已知从“保留”态度的人中抽取了 19 人，则在“支持”态度的群体中，年龄在 30 岁以上的人有多少人被抽取；(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人做进一步调研，将此 6 人看作一个总体，在这 6人中任意选取 2 人，求至少有 1 人在 30 岁以上的概率81在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 13，且成绩分布在40，100，分数在 80 以上(含 80)的同学获奖按文、理科用分层抽样的方法抽取 200
16、 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示(1)求 a 的值，并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；x (2)填写下面的 22 列联表，并判断能否有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？文科生 理科生 合计获奖 5不获奖合计 200附表及公式： K2n（ ad bc） 2（ a b） （ c d） （ a c） （ b d）P(K2 k0) 015 010 005 0025 0010 0005 0001k0 2072 2706 3841 5024 6635 7879 1082892(2019肇庆一模)下图是某市 年至 年环境基础设施投资额
17、 (单位：亿元)的条形图20012017 y（1）若从 年到 年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于 亿元的概率；20112015 140（2）为了预测该市 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据 年至2019 y t 2001年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型： ；根据 年至 年2017 t 1, 2, , 17 y=-304+135t 20112017的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型： t 1, 2, , 7 y=99+175t(i)分别利用这两个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值;2019(ii)你认为用哪个模型得
18、到的预测值更可靠？并说明理由10参考答案1【解题思路】由公式 计算可得，P(A B)=P(A)+P(B)+P(AB)【答案】设设事件 A 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付，则 ，P(A B)=P(A)+P(B)+P(AB)因为 ，所以 ，故选 BP(A)=045,P(AB)=015 P(B)=042【解题思路】分别求出事件“2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务”的总可能及事件“选中的 2 人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率【答案】设 2 名男同学为 ，3 名女同学为 ，A1,A2 B1,B2,B3从以上 5 名同学中任选 2 人总共有 共 10 种可能，
19、A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3选中的 2 人都是女同学的情况共有 共三种可能B1B2,B1B3,B2B3则选中的 2 人都是女同学的概率为 ，故选 DP=310=033 【解题思路】(1)列举从 6 个国家中任选两个国家的所有可能结果，并找出这 2 个国家都是亚洲国家的基本事件； (2)列举从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个的所有可能结果，并找出这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的基本事件，这两问考察的都是古典概型【答案】解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1， A2， A1
20、， A3， A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， A3， A2， B1， A2， B2， A2， B3， A3， B1，A3， B2， A3， B3， B1， B2， B1， B3， B2， B3，共 15 个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有： A1， A2， A1， A3， A2， A3，共 3 个则所求事件的概率为 P 315 15(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， B1， A2， B2， A2， B3， A3， B1， A3， B2， A3， B3，共 9 个包
21、括 A1但不包括 B1的事件所包含的基本事件有 A1， B2， A1， B3，共 2 个，则所求事件的概率为 P 291 【解题思路】(1)计算事件 A 的频率，以频率估计 P(A)；(2)计算事件 B 的频率，以频率估计 P(B)；(3)计算保费的平均值【答案】解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为 055，故 P(A)的估计值为 05560 50200(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 03，故 P(B)的估计值为 0330 3020011
22、(3)由所给数据得：保费 085 a a 125 a 15 a 175 a 2a频率 030 025 015 015 010 005调查的 200 名续保人的平均保费为：085 a030 a025125 a01515 a015175 a0102 a0051192 5 a因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1192 5 a2 【解题思路】(1)分层抽样是按比例抽取，根据比例值相等列式；(2)列举在这 6 人中任意选取 2 人的所有可能结果，并找出至少有 1 人在 30 岁以上的基本事件【答案】解 (1)设在“支持”的群体中抽取 n 个人，其中年龄在 30 岁以上的人被抽取 x 人，由题意 ，得
23、 n60，则 x n n15 人120 26019 900 300n 3001 200 14所以在“支持”的群体中，年龄在 30 岁以上的人有 15 人被抽取(2)设所选的人中，有 m 人年龄在 30 岁以下，则 ， m4280280 140 23 m6即从 30 岁以下抽取 4 人，30 岁以上(含 30 岁)抽取 2 人，分别记作 A1， A2， A3， A4， B1， B2，则从中任取 2 人的所有基本事件为( A1， A2)，( A1， A3)，( A1， A4)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A2， A3)，( A2， A4)，( A2， B1)，(A2， B2)，(
24、A3， A4)，( A3， B1)，( A3， B2)，( A4， B1)，( A4， B2)，( B1， B2)，共 15 个其中至少有 1 人在 30 岁以上的基本事件有 9 个，分别是( A1， B1)，( A1， B2)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A3， B1)，(A3， B2)，( A4， B1)，( A4， B2)，( B1， B2)所以在这 6 人中任意选取 2 人，至少有 1 人在 30 岁以上的概率为 915 351 【解题思路】(1)根据频率和为 1 计算 a，再计算其平均值；(2)完成 2*2 列联表，并计算 K2，对比表格中数据确定结果【答案】解 (1
25、) a1(001001500300150005)10100025，450155015650257503850159500569x (2)文科生人数为 200 50，获奖学生人数为 200(00150005)1040，故 22 列联表如下：14文科生 理科生 合计获奖 5 35 40不获奖 45 115 160合计 50 150 200因为 K2 41673841，200（ 5115 3545） 24016050150 256所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” 2 【解题思路】 （1）现将 年投资额中抽取两年的基本事件列举出来，然后计算出符合“两年的投资额的平均512数不少
26、于 亿元”事件的个数，由此求得所求的概率 （2）(i)将 分别代入两个回归直线方程，140 t=19,t=9计算出相应的预测值 (ii)根据散点图的变化趋势进行分析，可得利用模型得到的预测值更可靠根据（i）中的预测值值进行分析，也可以得出利用模型得到的预测值更可靠【答案】 （1）从条形图中可知，2011 年到 2015 年这五年的投资额分别为 122 亿、129 亿、148 亿、171 亿、184 亿，设 2011 年到 2015 年这五年的年份分别用 表示，则从中任意选取两年的所有基本事件有：a,b,c,d,e共 10 种，(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d
27、),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)其中满足两年的投资额的平均数不少于 140 亿元的所有基本事件有：共 7 种，(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)所以从 2011 年到 2015 年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于 140 亿元的概率为p=710（2）(i)利用模型,该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)y=-304+13519=2261利用模型,该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元) y=99+1759=2565(ii)利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：画出 20
28、01 年至 2017 年环境基础设施投资额 (单位：亿元)的散点图y（）从散点图可以看出,2001 年至 2017 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上y=-304+135t下这说明利用 2001 年至 2017 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2011 年相对 2010 年的环境基础设施投资额有明显增加，2011 年至 2017 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2011 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2011 年至 2017 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 2011 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型y=99+175t得到的预测值更可靠（）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型得到的预测值 2261 亿元的13增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠
