1、1第 2 讲选修 4-5 不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想1绝对值不等式的性质定理 1：如果 a， b 是实数，则| a b| a| b|，当且仅当 ab0 时，等号成立定理 2：如果 a， b， c 是实数，那么| a c| a b| b c|，当且仅当( a b)(b c)0 时，等号成立2| ax b| c，| ax b| c(c0)型不等式的解
2、法(1)|ax b| c c ax b c(2)|ax b| cax b c 或 ax b c3| x a| x b| c，| x a| x b| c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解(2)利用零点分段法求解(3)构造函数，利用函数的图象求解4基本不等式定理 1：设 a， bR，则 a2 b22 ab当且仅当 a b 时，等号成立定理 2：如果 a， b 为正数，则 ，当且仅当 a b 时，等号成立a b2 ab定理 3：如果 a， b， c 为正数，则 ，当且仅当 a b c 时，等号成立a b c3 3abc定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1，
3、 a2， an为 n 个正数，则 a1 a2 ann，当且仅当 a1 a2 an时，等号成立na1a2an热点一 绝对值不等式的解法与最值问题【例 1】(2019肇庆一模)已知函数 2fxaxR（1）当 2a时，求不等式 2f的解集；（2）若 fx，求实数 a的取值范围解（1）不等式 2f，即 2x.考向预测2可得 2x，或 12x或 122x，解得 3x或 ，所以不等式的解集为 3x或 .（2） 21faxa111axaxa，当且仅当 1x时，两处等号同时成立，所以 2，解得 或 3，实数 的取值范围是 ,13,a探究提高 1解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求
4、零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解2不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决【训练 1】(2017郑州三模)已知不等式| x m|m2，又不等式| x m|cd，则 ；a b c d(2) 是| a b| ，只需证明( )2( )2，a b c d a b c d也就是证明 a b2 c d2 ，ab cd只需证明 ，即证 abcdab cd由于 abcd，因此 a b c d(2)若| a b|cd由(1)得 a b c d若 ，则( )2( )2，a b c d a b c d a b2 c d2 ab cd
5、a b c d，所以 abcd于是( a b)2( a b)24 ab 是| a b|0；(2)若 x0R，使得 f(x0)2 m2L(A， C)，求 x 的取值范围；(2)当 xR 时，不等式 L(A， B) t L(A， C)恒成立，求 t 的最小值2(2018福建联考)已知不等式 2315x的解集为 ,ab（）求 ab的值；（）若 0x， y， 40bxya，求证： 9xy7参考答案1 【解题思路】(1)将 1a代入函数解析式，求得 1fxx，利用零点分段将解析式化为2,1,xf，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 1f的解集为 12x；(2)根据题中所给的 0,1x，其中一个绝对值
6、符号可以去掉，不等式 fx可以化为 0,时 1ax，分情况讨论即可求得结果.【答案】 （1）当 a时， 211xfxx， fx的解集为 2x（2）当 0,1时 1ax成立等价于当 0,1x时 1ax成立若 a，则当 ,x时 ；若 0， 1的解集为 20xa，所以 1，故 02a综上所述， a的取值范围为 ,2 【解题思路】 （1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先化简不等式为 24x，再根据绝对值三角不等式得 2xa最小值，最后解不等式 4a得a的取值范围【答案】 （1）当 a时，,126,xf，可得 0fx的解集为 23x（2） fx等价于 4x，
7、而 2a，且当 2时等号成立，故 1fx等价于 24a，由 4可得 6或 a，所以 的取值范围是 ,6,U点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求8解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向1 【解题思路】(1)零点分段讨论法得出 f(x)的解析式，再分类讨论求解 f(x)1，所以10 (2) 存在性问题转化为求最值问题【答案】解 (1)当 x0，解得 x0，解得 x 时， f(x)2 x1 x2 x3，12令 x30
8、，解得 x3又 x ， x312综上，不等式 f(x)0 的解集为 (3，)( ， 13)9(2)由(1)得 f(x)3,21,2xx ， f(x)min f (12) 52 x0 R，使得 f(x0)2 m2 ，52整理得 4m28 m5L(A， C)，进一步解出 x 的范围(2)由定义得出 L(A， B) t L(A， C)，再利用绝对值三角不等式求解即可【答案】解 (1)由定义得| x1|1| x5|1，则| x1| x5|，两边平方得 8x24，解得 x3故 x 的取值范围为(3，)(2)当 xR 时，不等式| x1| x5| t 恒成立，也就是 t| x1| x5|恒成立，因为| x1| x5|( x1)( x5)|4，所以 t4，所以 tmin4故 t 的最小值为 42 【解题思路】 （1）根据 13x， 2x， 进行分类讨论，求出不等式 2315x的解集，由此能求出 ab（2）由 0x， y， 41xy，知 1141xyxyyxy，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明 9【答案】 （）原不等式等价于1345x或 25x或 415，解得 13x或 x，即 a， b， 0ab.（）由（）知 410xy，即 41xy，且 0x， y， 1 4259xy ，10当且仅当 16x， 3y时取“ ”, 9xy
