1、1第 1 讲直线与圆1直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点；2考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1 l2k1 k2， l1 l2k1k21若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)两平行直线 l1： Ax By C10 与 l2： Ax By C20 间的距离 d |C1 C2|A2 B2(2)点( x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离 d |
2、Ax0 By0 C|A2 B23圆的方程(1)圆的标准方程：( x a)2( y b)2 r2(r0)，圆心为( a， b)，半径为 r(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，圆心为 ，半径为 r (D2， E2) D2 E2 4F24直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较： dr相离(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨论位置关系：0相交；0相切；0 b0 C:x2+y2=1 ax+by=1， ， 围成的四边形的面积为 ，则下列说法正确的是（）ax+by=-1 ax-by=
3、1 ax-by=-1 SA B C DS4 S 4 S4答案 A考向预测2探究提高 1求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2 A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性2求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意【训练 1】(2017贵阳质检)已知直线 l1： mx y10， l2：( m3) x2 y10，则“ m1”是“ l1 l2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 “ l1 l2”的充要条件是“ m(m3)120 m 1 或 m2” ，因此“
4、m1”是“ l1 l2”的充分不必要条件答案 A 热点二 圆的方程【例 2】(2019江西名校联盟)已知点 ， ，则以线段 为直径的圆的方程为（）A(-2,-1)B(1,3) ABA B(x-12)2+(y+1)2=25 (x+12)2+(y-1)2=25C D(x-12)2+(y+1)2=254 (x+12)2+(y-1)2=254解析圆心为 的中点 ，半径为 ，AB (-12,1) (-12+2)2+(1+1)2=52则以线段 为直径的圆的方程为 AB (x+12)2+(y-1)2=254答案 D探究提高 1直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数
5、法求圆的方程【训练 2】圆心在直线 x2 y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦的长为 2 ，则圆 C 的3标准方程为_解析 设圆心 (a0)，半径为 a(a，a2)由勾股定理得( )2 a2，解得 a23 (a2)2 所以圆心为(2，1)，半径为 2，所以圆 C 的标准方程为( x2) 2( y1) 24答案 ( x2) 2( y1) 24热点三 直线与圆的位置关系【例 3】(1)(2019银川一中)已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点，且 ，|OA+OB|=|OA-OB|其中 O 为坐标原点，则实数 a 的值为（）A2 B2 C2 D
6、 23(2)(2017菏泽二模)已知圆 C 的方程是 x2 y28 x2 y80，直线 l： y a(x3)被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l 方程为_解析 (1)由 得 ， ， ，|OA+OB|=|OA-OB| |OA+OB|2=|OA-OB|2 OAOB=0 OA OB三角形 AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为 ，即 ， a2，2|a|2= 2故选 B(2)圆 C 的标准方程为( x4) 2( y1) 29，圆 C 的圆心 C(4，1)，半径 r3又直线 l： y a(x3)过定点 P(3，0)，则当直线 y a(x3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短因此 akC
7、P a 1， a11 04 3故所求直线 l 的方程为 y( x3)，即 x y30答案 (1)B，(2) x y30探究提高 1研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题2与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长 ，构成直角三角形的l2三边，利用其关系来处理【训练 3】(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M： x2 y212 x14 y600 及其上一点 A(2，4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)
8、设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且| BC| OA|，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 ，求实数 t 的取值范围TA TP TQ 解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为( x6) 2( y7) 225，圆心 M(6，7)，半径 r5，由题意，设圆 N 的方程为( x6) 2( y b)2 b2(b0)，且 b5（ 6 6） 2 （ b 7） 2解得 b1，圆 N 的标准方程为( x6) 2( y1) 21(2) kOA2，可设直线 l 的方程为 y2 x m，即 2x y m0又| BC| OA| 2 ，22
9、 42 5由题意，圆 M 的圆心 M(6，7)到直线 l 的距离为 d 2 ，52 (|BC|2 )2 25 5 54即 2 ，解得 m5 或 m15|26 7 m|22 （ 1） 2 5直线 l 的方程为 2x y50 或 2x y150(3)由 ，则四边形 AQPT 为平行四边形，TA TP TQ 又 P， Q 为圆 M 上的两点，| PQ|2 r10| TA| PQ|10，即 10，（ t 2） 2 42解得 22 t22 21 21故所求 t 的范围为22 ，22 21 2151(2016全国卷)圆 x2 y22 x8 y130 的圆心到直线 ax y10 的距离为 1，则 a（）A
10、B C D243 34 32(2018全国 III 卷)直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，x+y+2=0 x y A B P (x-2)2+y2=2则 面积的取值范围是（） ABPA B C D2 ， 6 4 ， 8 2 ， 3 2 2 2 ， 3 23(2016全国卷)设直线 y x2 a 与圆 C： x2 y22 ay20 相交于 A， B 两点，若| AB|2 ，则圆3C 的面积为_4(2018全国 I 卷)直线 与圆 交于 两点，则 _y=x+1 x2+y2+2y-3=0 A ， B |AB|=1(2018聊城一中)已知斜率为 的直线 平分圆 且与曲线 恰有一个公共点
11、，k l x2+y2-2x+3y=0 y2=x则满足条件的 值有（）个kA1 B2 C3 D02过点(3，1)作圆( x1) 2 y2 r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A2 x y50 B2 x y70C x2 y50 D x2 y703(2015全国卷)已知三点 A(1，0)， B(0， )， C(2， )，则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为3 3（）A B C D53 213 2 53 434(2017北京卷)已知点 P 在圆 x2 y21 上，点 A 的坐标为(2，0)， O 为原点，则 的最大值为AO AP _5(2015全国卷)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直
12、线 l 与圆 C：( x2) 2( y3) 21 交于 M， N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若 12，其中 O 为坐标原点，求| MN|OM ON 61(2018成都月考)直线 与圆 交于 、 两点， 为坐标原点，若直线 、 的倾l:x+4y=2 C:x2+y2=1 A B O OAOB斜角分别为 、 ，则 （） cos +cos =A B C D1817 -1217 -417 4172(2017济南调研)若直线 x y m0 被圆( x1) 2 y25 截得的弦长为 2 ，则 m 的值为（）3A1 B3 C1 或3 D23(2017广安调研)过点(1，1)的直线 l 与圆( x2)
13、 2( y3) 29 相交于 A， B 两点，当| AB|4 时，直线l 的方程为_4(2017池州模拟)某学校有 2 500 名学生，其中高一 1 000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高三抽取样本数分别为a， b，且直线 ax by80 与以 A(1，1)为圆心的圆交于 B， C 两点，且 BAC120，则圆 C 的方程为_5已知点 A(3，3)， B(5，2)到直线 l 的距离相等，且直线 l 经过两直线 l1：3 x y10 和l2： x y30 的交点，求直线 l 的方程7参考答案1 【
14、解题思路】点到直线距离公式 d |Ax0 By0 C|A2 B2【答案】圆 x2 y22 x8 y130 化为标准方程为( x1) 2( y4) 24，故圆心为(1，4)由题意，得 d 1，解得 a 故选 A|a 4 1|a2 1 432 【解题思路】先求出 A，B 两点坐标得到 再计算圆心到直线距离，得到点 P 到直线距离范围，由面积|AB|，公式计算即可【答案】 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， x+y+2=0 x y A B,则 ， A(-2,0),B(0,-2) |AB|=2 2点 P 在圆 上， 圆心为（2，0） ，则圆心到直线距离 ， （ x-2） 2+y2=2 d1=|2+
15、0+2|2 =2 2故点 P 到直线 的距离 的范围为 ，x+y+2=0 d2 2,32则 ，S ABP=12|AB|d2= 2d2 2,6故答案选 A点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题3 【解题思路】利用弦心距结合勾股定理求弦长列方程求半径【答案】圆 C 的标准方程为 x2( y a)2 a22，圆心为 C(0， a)，点 C 到直线 y x2 a 的距离为 d |0 a 2a|2 |a|2又由| AB|2 ，得 a22，解得 a22，所以圆 C 的面积为 ( a22)4故填 43 (2 32)2 (|a|2)2 4 【解题思路】首先将圆的一般
16、方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长【答案】根据题意，圆的方程可化为 ，x2+(y+1)2=4所以圆的圆心为 ，且半径是 2，(0,-1)根据点到直线的距离公式可以求得 ，d=|0+1+1|12+(-1)2= 2结合圆中的特殊三角形，可知 ，故答案为 |AB|=2 4-2=2 2 2 2点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果81 【解题思路】直线平分圆可知，
17、直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定 k 的值【答案】圆 的圆心为 ，所以设直线为 x2+y2-2x+3y=0 (1,-32) y+32=k(x-1)联立 ，得 y+32=k(x-1)y2=x ky2-y-k-32=0因为恰有一个公共点，所以 或者 ，解得 k=0 k 01-4k(-k-32)=0 k= -354综上可得， 的值有 3 个，故选 Ck2 【解题思路】过圆上一点作圆的切线有且只有一条【答案】依题意知，点(3，1)在圆( x1) 2 y2 r2上，且为切点圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为 ，所以切线的斜率 k212故圆的切线方程为
18、 y12( x3)，即 2x y70故选 B3 【解题思路】待定系数法求圆的方程【答案】设圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0， 1 D F 0，3 3E F 0，7 2D 3E F 0， ) D 2，E 4 33 ，F 1， ) ABC 外接圆的圆心为 ，(1，2 33)因此圆心到原点的距离 d 故选 B12 (2 33)2 2134 【解题思路】设出 P 点坐标，直接利用向量数量积定义即可【答案】由题意知， (2，0)，令 P(x， y)，1 x1，AO 则 (2，0)( x2， y)2 x46，故 的最大值为 6故填 6AO AP AO AP 5 【解题思路】(1)直线与圆相交，
19、可得 dr，(2)利用韦达定理【答案】(1)由题设，可知直线 l 的方程为 y kx1，因为 l 与 C 交于两点，所以 1，解得 k |2k 3 1|1 k2 4 73 4 73所以 k 的取值范围为 (4 73 ， 4 73 )(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)将 y kx1 代入方程( x2) 2( y3) 21，整理得(1 k2)x24(1 k)x70所以 x1 x2 ， x1x2 4（ 1 k）1 k2 71 k29 x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 k(x1 x2)1 8OM ON 4k（ 1 k）1 k2由题设可得 812，解得 k1，4k（ 1 k）1 k
20、2所以 l 的方程为 y x1故圆心 C 在 l 上，所以| MN|21 【解题思路】设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，由三角函数的定义得：cos+cos x1+x2，由此利用韦达定理能求出 cos+cos 的值【答案】设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，由三角函数的定义得：cos+cos x1+x2，由 ，消去 y 得：17 x24 x120x+4y=2x2+y2=1 则 ，即 故选 Dx1+x2=417 cos+cos=4172 【解题思路】利用弦心距结合勾股定理求圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求 m【答案】圆( x1) 2 y25 的圆心
21、C(1，0)，半径 r 5又直线 x y m0 被圆截得的弦长为 2 3圆心 C 到直线的距离 d ，r2 （ 3） 2 2因此 ， m1 或 m3故选 C|1 0 m|12 （ 1） 2 23 【解题思路】设出直线方程，再利用弦心距结合勾股定理求出圆心到直线的距离【答案】易知点(1，1)在圆内，且直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 y1 k(x1)，即 kx y1 k0又| AB|4， r3，圆心(2，3)到 l 的距离 d 32 22 5因此 ，解得 k |k 2|k2 （ 1） 2 5 12直线 l 的方程为 x2 y30故填 x2 y304 【解题思路】求出圆心到直线的距
22、离，再根据三角函数求半径【答案】由题意， ， a40， b24，1002 500 a1 000 b60010直线 ax by80，即 5x3 y10， A(1，1)到直线的距离为 ，|5 3 1|25 9 334直线 ax by80 与以 A(1，1)为圆心的圆交于 B， C 两点，且 BAC120， r ，634圆 C 的方程为( x1) 2( y1) 2 故填( x1) 2( y1) 2 1817 18175 【解题思路】联立方程组求出交点坐标，两点到直线距离相等可能在同侧，也可能在两侧【答案】解方程组 得交点 P(1，2)3x y 1 0，x y 3 0， )若点 A， B 在直线 l 的同侧，则 l AB而 kAB ，3 23 5 12由点斜式得直线 l 的方程为 y2 (x1)，即 x2 y5012若点 A， B 分别在直线 l 的异侧，则直线 l 经过线段 AB 的中点 ，(4，52)由两点式得直线 l 的方程为 ，即 x6 y110y 2x 1 52 24 1综上所述，直线 l 的方程为 x2 y50 或 x6 y110
