1、1第 2 讲椭圆、抛物线、双曲线1圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点；2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题；3数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一1圆锥曲线的定义(1)椭圆：| MF1| MF2|2 a(2a| F1F2|)；(2)双曲线：| MF1| MF2|2 a(2a| F1F2|)；(3)抛物线：| MF| d(d 为 M 点到准线的距离)2圆锥曲线的标准方程(1)椭圆： 1( a b0)(焦点在 x 轴上)或 1( a b0)(焦点在 y 轴上)；x2a2 y2b2 y2a2 x2b2(2)双曲线： 1( a0， b0)(焦点在
2、 x 轴上)或 1( a0， b0)(焦点在 y 轴上)；x2a2 y2b2 y2a2 x2b2(3)抛物线： y22 px， y22 px， x22 py， x22 py(p0)3圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a， b， c 之间的关系在椭圆中： a2 b2 c2；离心率为 e ca 1 b2a2在双曲线中： c2 a2 b2；离心率为 e ca 1 b2a2(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x；焦点坐标 F1( c，0)， F2(c，0)x2a2 y2b2 ba双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，焦点坐标 F1(0，
3、 c)， F2(0， c)y2a2 x2b2 ab(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线 y22 px(p0)的焦点 F ，准线方程 x (p2， 0) p2抛物线 x22 py(p0)的焦点 F ，准线方程 y (0，p2) p24弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)时，| AB| |x1 x2| 1 k2 1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x22(2)过抛物线焦点的弦长抛物线 y22 px(p0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则
4、 x1x2 ， y1y2 p2，弦长p24|AB| x1 x2 p热点一 圆锥曲线的几何性质【例 1】(2018哈三中)如果双曲线的两个焦点分别为 、 ，一条渐近线方程为 ，F1(-3,0)F2(3,0) y= 2x那么经过双曲线焦点且垂直于 轴的弦的长度为（）xA B C D4 3 2 3 2 1解析因为双曲线的两个焦点分别 ，条渐近线方程为 ，F1(-3,0)， F2(3,0) y= 2x，解得 ， a2+b2=9ba= 2 a= 3,b= 6双曲线的方程为 ，x23-y26=1由 ，x23-y26=1x=3 y=2 3所以经过双曲线焦点且垂直于 轴的弦的长度为 x 22 3=4 3答案
5、A探究提高 1分析圆锥曲线中 a， b， c， e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键2确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a， b， c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a， b， c 的关系消掉 b 得到 a， c 的关系式建立关于 a， b， c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等3求双曲线渐近线方程关键在于求 或 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0” ，然后因式分解得ba ab到【训练 1】 (1)(2017全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2x
6、2a2 y2b2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C 的离心率为（）A B C D63 33 23 13(2)(2016北京卷)双曲线 1( a0， b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B 为x2a2 y2b2该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_解析 (1)以线段 A1A2为直径的圆是 x2 y2 a2，直线 bx ay2 ab0 与圆相切，3所以圆心(0，0)到直线的距离 d a，整理为 a23 b2，即 2aba2 b2 ba 13 e ca a2 b2a 1 (ba)2 1 (13)2 63(2)取 B 为双曲线右焦
7、点，如图所示四边形 OABC 为正方形且边长为 2， c| OB|2 ，又 AOB ，2 4 tan 1，即 a b又 a2 b2 c28， a2ba 4答案 (1)A (2)2热点二 直线与圆锥曲线【例 2】 (2018江南十校)已知椭圆 ， 为其短轴的一个端点， 分别为其左C:x2a2+y2b2=1(ab0)B F1,F2右两个焦点，已知三角形 的面积为 ，且 BF1F2 2 cosF1BF2=13（1）求椭圆 的方程；C（2）若动直线 与椭圆 交于 ， 为线段 的中点，且l:y=kx+m(m 0,k2 23) C P(x1,y1),Q(x2,y2) M PQ，求 的最大值x21+x22=
8、3 |OM|PQ|解（1）由 ， ，cosF1BF2=2a2-4c22a2 =13c2a2=13a2=3c2 b2=2c2，cosF1BF2=13sinF1BF2=223结合 ， ，S F1BF2=12a2223 = 2a2=3 b2=2故椭圆 的方程为 ；Cx23+y22=1另解：依题意： ，S F1BF2=122cb=bc= 2，cosF1BF2=2cos2 F1BF22 -1=13b2a2=23解得： ， ，a2=3 b2=2故椭圆 的方程为 ；Cx23+y22=1（2）联立 y=kx+m2x2+3y2=6 (3k2+2)x2+6kmx+3m2-6=0 =24(3k2+2-m2)03k2
9、+2m24且 ， ；x1+x2=-6km3k2+2 x1x2=3m2-63k2+2依题意， x21+x22=3(x1+x2)2-2x1x2=3(-6km)2(3k2+2)2-6(m2-2)3k2+2 =3化简得： （ ） ；3k2+2=2m2 3k2 2设 ，由M(x0,y0) 2x21+3y21=62x22+3y22=6 2(x21-x22)=-3(y21-y22)k=y1-y2x1-x2= 2x0-3y0又 ，y0=kx0+m解得： ，M(-3k2m,1m)|OM|2=9k2+44m2 =3m2-12m2|PQ|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)24(3k2+2-m2)(3k2
10、+2)2 =2(2m2+1)m2|OM|2|PQ|2=(3-1m2)(2+1m2) 254|OM|PQ|52当且仅当 ，即 时， 的最大值为 3-1m2=2+1m2 m= 2 |OM|PQ| 52探究提高 1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定；2弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则弦长| AB| 1 k2，其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率（ x1 x2） 2 4x1x23对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条
11、件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交【训练 2】(2017北京卷)已知抛物线 C： y22 px 过点 P(1，1)，过点 作直线 l 与抛物线 C 交于不同(0，12)的两点 M， N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP， ON 交于点 A， B，其中 O 为原点(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证： A 为线段 BM 的中点解 (1)把 P(1，1)代入 y22 px，得 p ，所以抛物线 C 的方程为 y2 x，12焦点坐标为 ，准线方程为 x (14， 0) 14(2)证明 当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个
12、交点不满足题意，所以直线 MN(也就是直线 l)斜率存在且不为零由题意，设直线 l 的方程为 y kx (k0)， l 与抛物线 C 的交点为 M(x1， y1)， N(x2， y2)125由 消去 y 得 4k2x2(4 k4) x10y kx 12，y2 x， )考虑 (4 k4) 244 k216(12 k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 k0 ， b0) 2 (4,0)C的距离为（）A B C D2 2322 2 23(2018全国 II 卷)已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，F1 F2 C P C PF1 PF2 PF2F1=60则 的离心率为（）
13、CA B C D1-32 2- 3 3-12 3-14(2018全国 I 卷)设抛物线 2:yx，点 ,0A， ,B，过点 A的直线 l与 C交于 M， N两点（1）当 l与 x轴垂直时，求直线 M的方程；（2）证明： AN71(2019吉安联考设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的y2=8x F M(4,0) A B准线相交于 ， ，则 与 的面积之比 （）C |BF|=4 BCF ACFS BCFS ACF=A B C D34 45 56 252(2017全国卷)已知 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点
14、 A 的坐y23标是(1，3)，则 APF 的面积为（）A B C D13 12 23 323(2018哈六中)若 是双曲线 和圆 的一个交点，且,P C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0) C2:x2+y2=a2+b2，其中 是双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为（） PF2F1=2 PF1F2 F1,F2 C1 C1A B C D3-1 3 2 3+14(2017佛山调研)已知椭圆 E： 1( ab0)的离心率为 ，右焦点为 F(1，0)x2a2 y2b2 22(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M， N 两点，若 OM
15、 ON，求直线 l 的方程81(2019河南联考)已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且C:x22+y2=1 P(2,0) l C A B为钝角（其中 为坐标原点） ，则直线 斜率的取值范围是（） AOB O lA B(-22,22) (- 55,0) (0,55)C D(-, -55) (55,+ ) (- 22,0) (0,22)2(2017石家庄三模)已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的左右焦点 F1， F2， P 为椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆 C1与双曲线 C2的离心率分别为 e1， e2，且 ，若 F1PF2 ，则双曲线 C2的e1
16、e2 13 3渐近线方程为（）A xy0 B x y0 C x y0 D x2y033 223(2017潍坊三模)已知抛物线 y22 px(p0)上的一点 M(1， t)(t0)到焦点的距离为 5，双曲线 1( a0)的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行则实数 a 的值为_x2a2 y294(2018全国 III 卷)已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点线段 的中点为k l C： x24+y23=1 A B ABM(1,m)(m0)（1）证明： ；k0，x 20由 2yk得 240kyk，可知 12y， 124直线 BM，BN 的斜率之和为10211212BMNxyyy
17、kxx将 1， k及 y1+y2，y 1y2的表达式代入式分子，可得 2112480kxyy k所以 0BMNk，可知 B， N的倾斜角互补，所以 ABMN综上， A1 【解题思路】分别过 A， B 作准线 l 的垂线 AP， BN，由| BF|4，可得点 B 的坐标，进而可得直线 AB 的方程，与抛物线联立可得点 A 坐标，利用 即可得解S BCFS ACF=|BC|AC|=|BN|AP|【答案】抛物线的准线方程为 l： x2，分别过 A， B 作准线 l 的垂线 AP， BN，则| BN| BF|4， B 点横坐标为 2，不妨设 B（2，4） ，则直线 AB 的方程为： y2 x8，联立方
18、程组 ，得 x210 x+160，y=2x-8y2=8x 设 A 横坐标为 x0，则 x0+2 ，故而 x0 =10 =8| AP| x0+2 ，=10 S BCFS ACF=|BC|AC|=|BN|AP|=410=25故选 D2 【解题思路】 12APFSd ( 为 A到 PF的距离)【答案】由 c2 a2 b24 得 c2，所以 F(2，0)，将 x2 代入 x2 1，得 y3，所以| PF|3y23又 A 的坐标是(1，3)，故 APF 的面积为 3(21) 故选 D12 32113 【解题思路】由 ，可知圆 一定经过双曲线的两个焦点，可以求出 ，a2+b2=c2 C2 P F2F1=
19、2，及 ， ，进而可以求出双曲线的离心率P F2F1=2PF1F2= 3 |PF2|=c |PF1|= 3c【答案】因为 ，所以圆 一定经过双曲线的两个焦点，a2+b2=c2 C2可知 ， ， F2PF1= 2 P F2F1=2PF1F2= 3则 ， ， ，|F1F2|=2c|PF2|=c |PF1|= 3c故双曲线的离心率为： e=ca= |F1F2|PF1|-|PF2|= 2c3c-c= 3+1故答案为 D4 【解题思路】(1)由离心率和焦点坐标联立方程求出 a， b， (2) OM ON 0，结合韦达定理处OM ON 理【答案】解 (1)依题意可得 解得 a ， b1椭圆 E 的标准方程
20、为 y211a 22，a2 b2 1， ) 2 x22(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，当 MN 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x1，不符合题意；当 MN 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 y k(x1)联立得方程组 x22 y2 1，y k（ x 1） ， )消去 y 得(12 k2)x24 k2x2( k21)0， x1 x2 ， x1x2 4k21 2k2 2（ k2 1）1 2k2 y1y2 k2x1x2( x1 x2)1 OM ON， 0 k21 2k2 OM ON x1x2 y1y2 0， k 故直线 l 的方程为 y (x1)k2 21 2k2
21、2 21 【解题思路】设直线 ，代入 ，得 ，l:y=k(x-2)(k 0)x22+y2=1 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0利用韦达定理表示 ，结合 即可得到直线 斜率的取值范围x1x2+y1y20 l【答案】设直线 ，代入 ，得 ，l:y=k(x-2)(k 0)x22+y2=1 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0因为直线 与椭圆交于不同的 ， 两点，l A B所以 ，解得 且 =64k2-4(1+2k2)(8k2-2)0 -22b0)，双曲线 C2： 1，依题意 c1 c2 c，且 ，x2a2 y2b2 x2m2 y2n2 e1e2 13 ，则 a3 m，ma 13由
22、圆锥曲线定义，得| PF1| PF2|2 a，且| PF1| PF2|2 m，| PF1|4 m，| PF2|2 m在 F1PF2中，由余弦定理，得：4 c2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos 12 m2， 3 c23 m2，则 n2 c2 m22 m2，因此双曲线 C2的渐近线方程为 y x，即 x y0故选 C2223 【解题思路】利用抛物线定义求出点 M 的坐标，再两直线平行，斜率相等【答案】由题设 1 5， p8不妨设点 M 在 x 轴上方，则 M(1，4)，p2由于双曲线的左顶点 A( a，0)，且直线 AM 平行一条渐近线， ，则 a3故填 341 a 3a4
23、 【解题思路】 （1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明。（2）先求出点 P 的坐标，解出 m，得到直 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解l【答案】 （1）设 ， ，则 ， A(x1 ， y1) B(x2 ， y2)x214+y213=1 x224+y223=1两式相减，并由 得 y1-y2x1-x2=k x1+x24 +y1+y23 k=0由题设知 ， ，于是 x1+x22 =1 y1+y22 =m k=-34m由题设得 ，故 0m32 k-12（2）由题意得 F（1，0） 设 ，P(x3 ， y3)则 (x3-1 ， y3)+(x1-1 ， y1)+(x2-1 ， y2)=(0 ， 0)由（1）及题设得 ， x3=3-(x1+x2)=1 y3=-(y1+y2)=-2m0又点 P 在 C 上，所以 ，从而 ， m=34 P(1 ， -32) |FP|=32于是 |FA|= (x1-1)2+y21= (x1-1)2+3(1-x214)=2-x12同理 所以 |FB|=2-x22 FA+FB=4-12(x1+x2)=3故 2|FP|=|FA|+|FB|
