1、1内蒙古杭锦后旗奋斗中学 2018-2019 学年高二数学上学期第二次（12 月）月考试卷 理（含解析）一、单选题1.点 P 的直角坐标为 ，则点 P 的极坐标可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直角坐标与极坐标互化公式即可求得对应点的极坐标.【详解】 ， 则点 P 的极坐标故选 C【点睛】本题考查将直角坐标化为极坐标，属于基础题，解题中需要根据直角坐标化为极坐标的公式 准确代入求解.2.曲线的极坐标方程 化为直角坐标为 A. B. C. D. (x-2)2+y2=4 (x+2)2+y2=4【答案】B【解析】此题考查极坐标方程的知识答案 Bsin=y =4y 2=4
2、y 2=x2+y2 x2+y2=4y x2+(y2)2=4点评：通过极坐标的公式就可以直接转化3.已知曲线 的参数方程为 （为参数） ，则该曲线离心率为（ ）C x=4cosy=2sin A. B. C. D. 32 34 22 12【答案】A2【解析】分析：先把曲线 C 化成普通方程，再求曲线的离心率.详解：由题得曲线 C 的普通方程为 ，x216+y24=1所以曲线 C 是椭圆，a=4, .c=23所以椭圆的离心率为 .e=234=32故选 A.点睛：本题主要考查参数方程与普通方程的互化和椭圆的离心率的计算，属于基础题.4.抛物线 上的点 到焦点的距离为 ，则 的值为（ ）y2=2px(p
3、0) M(4,m) 5 mA. 或 B. C. D. 或3 3 4 4 4 4【答案】D【解析】抛物线 的准线方程为 ，由抛物线的定义有 （负值舍去） ，此y2=2px x=p2 |4p2|=5,p=2时 ，将点 代入抛物线方程中，求出 ，选 D.y2=4x M(4,m) m=45.已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ）C:x2a2y2b2=1(a0,b0) 52 CA. B. C. D. y=14x y=13x y=12x y=x【答案】C【解析】，故 ，即 ，故渐近线方程为 .e=ca= 1+b2a2=52 b2a2=14 ba=12 y=bax=12x【考点定位】本题考查双曲
4、线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.6.在平面直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 为参数） ，则曲线 C（ xOy x=2+ 2cosy= 2sin (）A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 对称x y y=x【答案】A【解析】试题分析：由题意得，曲线 的参数方程可化为 ，化为普通方程为C x2= 2cosy= 2sin ，表示以 为圆心，以 为半径的圆，故选 A(x2)2+y2=2 (2,0) 23考点：参数方程与普通方程的互化7.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出 k 的值是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】A【解析】试题
5、分析：当输入的值为 时，第一次循环， ；第二次循环， ；第n=5 n=16,k=1 n=8,k=2三次循环， ；第四次循环， ；第五次循环， ；退出循环输出n=4,k=3 n=2,k=4 n=1,k=5结果为 ，故选 A.k=5考点：1、程序框图；2、条件结果及循环结构.8.“直线 yxb 与圆 x2y 21 相交”是“0b1”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 时，直线 与圆 都相交，因此题中应选必要不充分条件1b0) 12于 AB 的动点，直线 PA,PB 的倾斜角分别为 ，则 =_.,cos(+)cos(-)
6、【答案】7【解析】试题分析：因为 A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于 AB 的动点， kPAkPB=b2a2， ，e=12ca=12a2b2a2=14b2a2=34 kPAkPB=b2a2=34cos(+)cos()=coscossinsincoscos+sinsin=1tantan1+tantan=1+34134=7考点：本题考查椭圆的另外一个定义点评：椭圆的定义不只是书上给的第一定义，还有其他的定义，本题中椭圆上的点与两顶点连线的斜率乘积为定值，这也是定义，将三角公式展开分子分母同除以 ，得到coscos斜率乘积三、解答题17.已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F
7、并且经过点 A（1，2） （1）求抛物线 C 的方程；（2）过 F 作倾斜角为 45的直线 l，交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积。【答案】 （1）y 2=4x（2） 22【解析】试题分析：（1）把点 A（1，-2）代入抛物线 C：y 2=2px（p0） ，解得 p 即可得出；（2）F（1，0） 设 M ，N 直线 l 的方程为：y=x-1与抛物线方程联立可得根与系(x1,y1) (x2,y2)数的关系，利用弦长公式可得 利用点到直线的距离公式可得：原点 O 到直线 MN 的距|MN|离 d利用OMN 的面积 即可得出S=12|MN|d试题解析：（1）把点 A（1
8、，2）代入抛物线 C：y 2=2px（p0） ，可得（2） 2=2p1，9解得 p=2抛物线 C 的方程为：y 2=4x（2）F（1，0） 设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） 直线 l 的方程为：y=x1联立 ，化为 x26x+1=0，x 1+x2=6，x 1x2=1y=x1y2=4x |MN|= = =8原点 O 到直线 MN 的距离d= OMN 的面积 S= = = 12 12|MN|d1281222考点：抛物线的简单性质18.设命题 实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足 p: x (x-a)(x-3a)0 q: x (2x-8)(2x-4)0（1）若 ，且 为真，求实数
9、的取值范围；a=1 pq x（2）若 是 的充分不必要条件，求实数的取值范围p q【答案】 （1） ；（2）2,3) 10和 交于 , 两点，求 C1 C3 AB |AB|【答案】 （I） ；（II） =4cos |AB|=1【解析】试题分析：（I）先将曲线 的方程化为普通方程，在利用直角坐标与极坐标的互化，化为C1极坐标方程；（II）根据 ，代入 的方程，得出 的方程为 ，即可求解x=12x,y=y C2 C3 x2+y2=1，进而求解 |OB|=1 |AB|试题解析：（）将 消去参数 ，化为普通方程为 ， (x2)2+y2=4即 ，C1:x2+y24x=0将 代入 ，得 ，x=cos,y=
10、sin C1:x2+y24x=0 2=4cos所以 的极坐标方程为 C1 =4cos（）将 代入 得 ，所以 的方程为 x=2x,y=y C2 x2+y2=1 C3 x2+y2=1的极坐标方程为 ，所以 C3 =1 |OB|=1又 ，所以 |OA|=4cos3=2 |AB|=|OA|OB|=1考点：极坐标方程和参数方程、伸缩变换等20.如图,棱锥 的地面 是矩形, 平面 , , .PABCD ABCD PA ABCDPA=AD=2BD=2211（1）求证: 平面 ;BD PAC（2）求二面角 的大小;PCDB【答案】 （1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用空间向量证明线面垂直，即证
11、平面 的一个法向量为 ，先根据PAC BD条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明 为平面 的一个法向BD PAC量，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）利用空间向量求二面角，先利用解方程组的方法求出平面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小试题解析:证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 A（0，0，0） 、D（0，2，0） 、P（0，0，2）.在 RtBAD 中，AD=2，BD= ，AB=2.B（2，0，0） 、C（2，2，0） ， ，即 BDAP，BDAC，又 APAC=A，BD平面 PAC.12（2）由（1）得 .设平面 P
12、CD 的法向量为 ，则 ，即 ， 故平面 PCD 的法向量可取为PA平面 ABCD， 为平面 ABCD 的法向量. 设二面角 PCDB 的大小为 q，依题意可得 .21.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） 在以坐标原点为xoy C1 x=22cosy=2sin 极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 .x C2:22cos+2sin+1=0（1）写出曲线 ， 的普通方程；C1 C2（2）过曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，该直线与曲线 相交于不同的两点 ，求C1 F C2 M,N的取值范围1|FM|+1|FN|【答案】 （1） ， （2）x28+y24=1 (x1)2+
13、(y+1)2=1 (2,22【解析】试题分析：（1）先根据 消参数得 的普通方程，由 ，sin2+cos2=1 C1 2=x2+y2， ，将极坐标方程化为 的普通方程（2）先写出直线的参数方程，再代x=cos y=sin C2入曲线 直角坐标方程，根据直线参数几何意义得 ，结合韦达定理代入化C21|FM|+1|FN|=-t1+t2t1t2简得 .最后根据倾斜角范围，确定 的取值范围1|FM|+1|FN|=22sin(+4) 1|FM|+1|FN|试题解析：解：（1）由于曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，C1 x=22cosy=2sin 则曲线 的普通方程为： ， C1x28+y24=1 ，
14、， ，2=x2+y2 x=cos y=sin曲线 ，可化为： ， C2:2-2cos+2sin+1=0 x2+y2-2x+2y+1=0即曲线 的普通方程为： ； C2 (x-1)2+(y+1)2=113（2）因为曲线 的右焦点 的坐标为 ，C1 F (2,0)所以直线的参数方程为： （为参数）. x=2+tcosy=tsin 将直线的参数方程代入 ，(x-1)2+(y+1)2=1得 ， t2+2(sin+cos)t+1=0则 .1|FM|+1|FN|=-(1t1+1t2)=-t1+t2t1t2=2(sin+cos)=22sin(+4)直线与曲线 相交于不同的两点 ， C2 M,N，0b0) 2
15、点 P（0， ）到椭圆 C 的右焦点的距离为 2 6（1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1 .l2 ， 且 l1交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2交圆 Q于 C，D 两点，且 M 为 CD 的中点，求MAB 的面积的取值范围【答案】 （1） （2）x28+y24=1 4k2(4k2+1)(2k2+1)2【解析】【分析】(1) 点 P（0， ）到椭圆 C 的右焦点的距离为 可得 c 的值，圆心在椭圆上可得 a、b 的2 614方程， 再由 即可解得 a、b 的值；c2=a2+b2（2）讨论两直线的斜率不存在时,求得三角形 MAB 的面积为 4;设直线 ,代入
16、圆y=kx+ 2Q 的方程,运用韦达定理和中点坐标公式可得 M 的坐标,求得 MP 的长,再由直线 AB 的方程为,代入椭圆方程, 运用韦达定理和弦长公式,由三角形的面积公式 ,化简整理,由y=1kx+ 2换元法,结合函数的单调性,可得面积的范围.【详解】(1)因为椭圆 的右焦点 ， ，所以 ，C F(c,0) PF= 6 c=2因为 在椭圆 上，所以 ，(2, 2) C4a2+2b2=1由 a2-b2=4得 a2=8,b2=4所以椭圆 的方程为 Cx28+y24=1(2)由题意可得 的斜率不为零，l1当 垂直于 轴时， 的面积为 ， l1 x MAB1242=4当 不垂直于 轴时，设直线 的
17、方程为 ，则直线 的方程为l1 x l1 y=kx+ 2 l2，设 ，联立 消去 得，y=-1kx+ 2 A(x1,y1),B(x2,y2) x28+y24=1y=kx+ 2 y，所以 ， (1+2k2)x2+42kx-4=0 x1+x2=-42k1+2k2,x1x2=- 41+2k2则 ， |AB|= 1+k2|x1-x2|=4(1+k2)(4k2+1)2k2+1又圆心 到直线 的距离 ，得Q(2, 2) l2 d1=21+k21又 ， ，所以 点到直线 的距离等于 点到 的距离，设为 ，即MPAB QMCD M AB Q AB d2， d2=|2k- 2+2|1+k2 = 2|k|1+k2
18、所以 的面积MABS=12|AB|d2=4|k| 4k2+12k2+1 =4k2(4k2+1)(2k2+1)2【点睛】本题考查了椭圆方程的求解、圆锥曲线弦长公式、直线与椭圆位置关系；解题中应用了分类讨论思想，属于高档题；在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建15立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
