1、- 1 -四川省双流中学 2016-2017 学年高二数学下学期 6 月月考试卷（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，那么 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】A=x|30,ln(x+1)0，则命题 p 为真命题，则 p 为假命题；利用对勾函数的性质可得命题 q 是假命题，则 q 是真命题。 p q 是假命题， p q 是真命题， p q 是假命题， p q 是假命题。本题选择 B 选项.4.图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
2、( )- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】球的半径为 2，圆锥的半径为 2，高为 2；则 V=V 半球 -V 圆锥 = ，本题选择 D 选项.5.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件C. 即不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】A【解析】由 可得 ，由 可得“ ”是“ ”的充分不必要条件故选 A6.将函数 的图象向右平移 个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得函数 的图象，则 图象的一个对称中心为( )A. B. C. D. - 3 -【答案】D【解析】将函数 的图象向右平移 个单位,可得 的图象；再把所有点的横
3、坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),可得 的图象。令 ,求得 ,令 k=0,可得 g(x)图象的一个对称中心为 ，本题选择 D 选项.7.执行如图所示的程序，若输入的 ，则输出的所有 的值的和为( )A. 243 B. 363 C. 729 D. 1092【答案】D【解析】模拟程序的运行可得：当 x=3 时， y 是整数；当 x=32时， y 是整数；依此类推可知当 x=3n(n N)时， y 是整数，- 4 -则由 x=3n1000，得 n7，所以输出的所有 x 的值为 3，9，27，81，243，729，其和为 1092，本题选择 D 选项.8.已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上两点，
4、 ，则 的中点到准线的距离为( )A. B. 4 C. 3 D. 【答案】B【解析】 F 是抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0)，准线方程 x=1，设 M(x1,y1),N(x2,y2)| MF|+|NF|=x1+1+x2+1=8，解得 x1+x2=6线段 AB 的中点横坐标为 3，线段 AB 的中点到该抛物线准线的距离为 3+1=4.本题选择 B 选项.9.已知定义在 上的函数 满足：对任意 ，有 ；当 时，.若函数 ，则函数 在区间 上的零点个数是( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】作出 f(x)与 g(x)的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在(4,5
5、)上有 9 个交点， y=f(x)g(x)在区间( 4,5)上有 9 个零点。本题选择 C 选项.- 5 -10.已知双曲线 的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为 ( )A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】双曲线 的右顶点为 A(a,0)，以 A 为圆心， b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、 N 两点。若 ,可得 A 到渐近线 bx+ay=0 的距离为： ，可得： ,即 .11.在平面直角坐标系中，记抛物线 与 x 轴所围成的平面区域为 ，该抛物线与直线y (k0)所围成的平面区域为 ，
6、向区域 内随机抛掷一点 ，若点 落在区域 内的概率为 ，则 k 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:因区域 的面积 ,由 可得交点的横坐标 ，而区域 的面积- 6 -，由题设可得，解之得 ，故应选 A.考点：几何概型的计算公式及运用.12.已知函数 ，若存在 使得 成立，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】表示点 与点 距离的平方，点的轨迹是函数 的图象， 的轨迹是直线 则 作 的图象平行于直线 的切线，切点为 ，则 ，所以 ，切点为 ，所以 ，若存在 使得 成立，则 ，此时 恰好为垂足，所以 ，解得故本题答案选 点睛：本题主要考查函数性质
7、,利用数形结合的方法求参数取值.函数有零点(方程有根),求参数取值常用以下方法(1)直接法:直接根据题目所给的条件,找出参数所需要满足的不等式,通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离成参数与未知量的等式,将含未知量的等式转化成函数,利用求函数的值域问题来解决;(3)数形结合法:先对解析变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后结合图像求解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 上的奇函数 满足：当 时， ，则 _.【答案】【解析】- 7 -根据条件，14.已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 与 的夹角为 ，则实数
8、 的值为_.【答案】【解析】由题意可得： ，则： ，由平面向量的夹角公式可得：，解得： .15.设第一象限内的点 满足约束条件 ，若目标函数 ，的最大值为 40，则 的最小值为_.【答案】【解析】不等式表示的平面区域阴影部分，当直线 ax+by=z(a0,b0)过直线 xy+2=0 与直线 2xy6=0 的交点(8,10)时，目标函数 z=ax+by(a0,b0)取得最大 40，即 8a+10b=40，即 4a+5b=20，而当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .- 8 -16.函数 图象上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定（ 为线段 AB 的长度）叫做曲线 在点 A 与点 B 之间的“弯
9、曲度” ，给出以下命题：函数 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2，则 ；存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点 A,B 是抛物线 上不同的两点，则 ；设曲线 （e 是自然对数的底数）上不同两点 ，若恒成立，则实数 t 的取值范围是 .其中真命题的序号为_.（将所有真命题的序号都填上）【答案】【解析】试题分析：错： 对：如 ；对； ；错； ，因为 恒成立，故 故答案为- 9 -考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式
10、、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输” ，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列 中， ， 为其前 项和， .(1)求数列 的通项公式；(2)令 ， ， ，若 对一切 成立，求最小正整数 的值.【答案】(1) ;(2)5.【解析】试题分析：(1)由题意求得 ， ，则数列的通项公式为 .(2)裂项求得数
11、列的前 n 项和为 ，结合单调性可得最小正整数 的值是 5.试题解析：(1)等差数列 中， ，为其前 项和， ， ，解得 ， ， .(2) 时， ，当 时，上式成立，- 10 -， 随 递增，且 ， ， ， ，最小正整数 的值为 5.18.为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选 20 名女生作为样本，测量她们的体重(单位：kg)，获得的所有数据按照区间 ， ， ， 进行分组，得到频率分布直方图如图所示，已知样本中体重在区间 上的女生数与体重在区间 上的女生数之比为 .(1)求 的值；(2)从样本中体重在区间 上的女生中随机抽取两人，求体重在区间 上的女生至少有一人被抽中的概率.【答案
12、】(1) ， .(2) .【解析】试题分析：(1)由题意结合频率分布直方图得到关于实数 a,b 的方程组，求解方程组可得 ，.(2)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得体重在区间 上的女生至少有一人被抽中的概率是 .试题解析：(1)样本中体重在区间 上的女生有 (人)，样本中体重在区间 上的女生有 (人)，- 11 -依题意，有 ，即 ，根据频率分布直方图可知 ，解得 ， .(2)样本中体重在区间 上的女生有 人，分别记为 ，体重在区间 上的女生有 人，分别记为 ，从这 6 名女生中随机抽取两人共有 15 种情况：， ， ， ， ， , ， ， ， ， ， ， .其中体重在 上的女生至少有
13、一人被抽中共有 9 种情况：， ， ， ， ， ， ， .记“从样本中体重在区间 上的女生中随机抽取两人，体重在区间 上的女生至少有一人被抽中”为事件 ，则 .19.如图所示，在等腰直角三角形 中， ， 为 的中点，点 在 上，且，现沿 将 折起到 的位置，使 ，点 在 上，且 .(1)求证： 平面 ；(2)求二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量即可证得 平面 ；(2)求得平面的法向量，结合夹角公式可得二面角 的余弦值是 .- 12 -试题解析：(1)因为 ， ，所以建立以点 为原点，分别以 所在直线
14、为 轴的空间直角坐标系，如图所示.则 ， ， ， .易知 为平面 的一个法向量，又因为 ，所以 ，又 平面 ，所以 平面 .(2)由(1)知 ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 .令 ，解得 为平面 的一个法向量，又因为 为平面 的一个法向量，所以 ，所以二面角 的余弦值为 .20.定圆 ,动圆 过点 且与圆 相切，记圆心 的轨迹为 .（1）求轨迹 的方程；（2）设点 在 上运动, 与 关于原点对称，且 ,当 的面积最小时, 求直线 的方程.【答案】 （1） ；（2） 或 【解析】试题分析：（）由两圆的相切的关系判断可得点 的轨迹是一个椭圆，由椭圆标准方程易得；（）由已知得 ，因此先
15、求当 是实轴时，S2，当 AB 斜率存在且不为 0 时，- 13 -设方程为 ，代入椭圆方程可求得 A 点坐标，从而得 ，而 OC 斜率为 ，同理得 ，由 可用 表示出面积，最后由基本不等式可得最小值，还要与斜率为0 的情形比较后可得试题解析：（）因为点 在圆 内，所以圆 N 内切于圆 M，因为|NM|+|NF|=4|FM|，所以点 N 的轨迹 E 为椭圆，且 ，所以 b=1，所以轨迹 E 的方程为 （） （i）当 AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点 C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点） ，此时 =2（ii）当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设其斜率为 k，直线 AB 的方程为 y=
16、kx，联立方程 得 ， ，所以 由|AC|=|CB|知，ABC 为等腰三角形，O 为 AB 的中点，OCAB，所以直线 OC 的方程为，同理得 ，由于 ，所以 ，当且仅当 1+4k2=k2+4，即 k=1 时等号成立，此时ABC 面积的最小值是 ，因为 ，所以ABC 面积的最小值为 ，此时直线 AB 的方程为 y=x 或 y=x考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题21.已知函数 （1）若曲线 过点 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）求函数 在区间 上的最大值；- 14 -（3）若函数 有两个不同的零点 ， ，求证： 【答案】 （1） ；（2）当 时， ，当 时， ，当时， ；（3）证明见
17、解析.【解析】试题分析：（1）因为点 在曲线 上，所以 ，解得 ，利用导数求得斜率为 ，故切线为 ；（2 ） ，将 分成 四类，讨论函数的单调区间进而求得最大值；（3）不妨设 ，因为 ，所以， ，要证明 ，即证明 ，令 ，即证，令 （ ） ，利用导数求得 的最小值大于零即可.试题解析：（1）因为点 在曲线 上，所以 ，解得 因为 ，所以切线的斜率为 0，所以切线方程为 （2）因为 ，当 时， ， ，所以函数 在 上单调递增，则 ；当 ，即 时， ， ，所以函数 在 上单调递增，则 ；当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ；当 ，即 时， ， ，函数 在 上单调递减，则 - 1
18、5 -综上，当 时， ；当 时， ；当 时， （3）不妨设 ，因为 ，所以 ， ，可得 ， ，要证明 ，即证明 ，也就是 ，因为 ，所以即证明 ，即 ，令 ，则 ，于是 ，令 （ ） ，则 ，故函数 在 上是增函数，所以 ，即 成立，所以原不等式成立考点：导数与切线、最值.【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对 进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为-
19、16 -同一个参数 ，然后利用导数求其最小值来求.22.已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 在直角坐标系中，倾斜角为 的直线 过点 （）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程；（）设点 和点 的极坐标分别为 ，若直线 经过点 ，且与曲线 相交于 两点，求 的面积【答案】 （） ， ；（） .【解析】试题分析：()运用极坐标与直角坐标之间的关系求解；()借助题设条件和直线的参数方程求弦 ,再求点 到 的距离,最后运用面积公式求解.试题解析:（）曲线 化为： ，再化为直角坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数） （）由（）将点
20、 的极坐标化为直角坐标得 ，易知直线 的倾斜角 ，所以直线 的参数方程为 （ 为参数） ，将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ，整理得： ，设 为方程 的两个根，则 ，所以 由极坐标与直角坐标互化公式得 点的直角坐标 ，- 17 -易求点 到直线 的距离为 ，所以 考点：极坐标方程参数方程和直角坐标之间的互化23.已知函数 .(1)当 时，求不等式 的解集；(2)若 时， 恒成立，求 的最小值.【答案】(1) .(2)-1.【解析】试题分析：(1)作出函数的图象，结合函数图象可得不等式的解集为 .(2)首先利用不等式的性质进行放缩，然后结合不等式的性质绘制函数图象可得 的最小值为.试题解析：(1)当 时， ，作出图象：结合图象由 的单调性及 ，得 的解集为 .(2)由 得 ， ， ，在同一直角坐标系中画出 ，即 .故 的最小值为 .- 18 -
