1、12018-2019 学年四川省雅安中学高二上学期期中考试数学（文）试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1下列命题中正确的是A经过点 的直线都可以用方程 表示0(0,0) 0=(0)B经过定点 的直线都可以用方程 表示(0,) =+C经过任意两个不同点 的直线都可用方程 1(1,1),2(2,2) (21)(1)表示=(21)(1)D不经过原点的直线都可以用方程 表示+=12设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是, ,A若 ，则 B若
3、 ,则, /, /C若 ,则 D若 ， 则, ,/,/3已知直线 平行，则实数 的值为1:(3+)+4=53,2:2+(5+)=8 A B C 或 D7 1 1 71334已知实数 x，y 满足 x2+y2=1，则 x+y 的取值范围是3A（-2，2） B（- ，2 C D（-2，+ ） 2,2 5已知直线 过定点 ，点 在直线 上，则 的最小值是:+2=0 (,) 2+1=0 |A B C D10355 6 356若直线 过点 ，斜率为 1，圆 上恰有 3 个点到 的距离为 1，则 的值为 (0,) 2+2=4 A B C D32 32 2 27已知直线 l： y x m 与曲线 有两个公共
4、点，则实数 m 的取值范围是=12A1, ) B( ，1 C1， ) D( ，12 2 2 28圆 与直线 l 相切于点 ，则直线 l 的方程为2+2+4+2=0 (3,1)A B C D+4=0 +4=0 +2=0 +2=09 为顶点的正四面体 的底面积为 ， 为 的中点，则 与 所成角的余弦值为 3 A B C D33 32 36 1610执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 值为=8 A B C D334 12 5211已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ， 是边PAOPABCA长为 2 的等边三角形，若球 的体积为 ，则直线 与平面 所成角的正切值为O83CA B C
5、 D31211012点 在曲线 上运动， ，且 的(,) :24+221=0 =2+2+1212150 最大值为 ，若 ， ，则 的最小值为 +1+1+1A1 B2 C3 D4二、填空题13在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于 面对称的点的坐标为 _14已知直线 ： 和 ： 垂直，则实数 的值为1 +31=0 2 2+(1)+1=0 _15若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程是2,P25xyABAB_.16若动点 在直线 上，动点 Q 在直线 上，记线段 的中点为 :22=0 :26=0 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2，且 ，则 的取值范围为 _.(0,0) (
6、02)2+(0+1)25 20+20三、解答题17设直线 的方程为 (+1)+2=0 ()（1）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程； （2）若 不经过第二象限，求实数 的取值范围 18已知直线 ： .1 (2+)+(12)+43=0(1)求证：无论 为何实数，直线 恒过一定点 ； 1 (2)若直线 过点 ，且与 轴负半轴、 轴负半轴围成三角形面积最小，求直线 的方程.2 219已知两圆 x2+y22x+10y24=0 和 x 2+y2+2x+2y8=0（1）判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程及公共弦的长20已知圆 M 过 C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心 M 在 x
7、+y-2=0 上（1）求圆 M 的方程；（2）设点 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA,PB 是圆 M 的两条切线，A,B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值21如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， /.=12=2（1）求证： ；（2）当几何体 的体积等于 时，求四棱锥 的侧面积.43 22如图所示，四棱锥 中， 底面 ， ， ， =900 =2， =3， ， ， 为 的中点.=1 =23 =600 （1）求证： 平面 ；/（2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 2018-2019 学 年 四 川 省 雅 安 中 学高 二 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 文 ）
8、试 题数 学 答 案参考答案1C【解析】【分析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果.【详解】因为直线与 轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项 不正确； ,因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项 不正确；故选 C.【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.2D【解析】【分析】以正方体为模型逐个验
9、证四个选项后可得正确的选项【详解】如图，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，但 ，故 A11 11 11 11错；平面 平面 ， 平面 ， ，但 平面 ，故 B 错；1111 1 11 1 ， 平面 ， 平面 ，但平面 平面 ，11 11 1111 1111 故 C 错；对于 D，因为 ， ，所以 ，而 ，所以 综上，选 D【点睛】本题考查立体几何中的点、线、面的位置关系，具有一定的综合性解决这类问题，可选择一些常见的几何模型，在模型中寻找符合条件的位置关系或反例3A【解析】【分析】对 x，y 的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出【详解】当 m=3 时，两条直线分别化为：2y=7
10、，x+y=4，此时两条直线不平行；当 m=5 时，两条直线分别化为：x2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当 m3，5 时，两条直线分别化为：y= x+ ，y= + ，3+4 534 25+ 85+两条直线平行， ， ，解得 m=73+4 = 25+534 85+综上可得：m=7故选：A【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题4C【解析】【分析】设 ,则 ，再求函数的取值范围.=,=3+=2(+6)【详解】设 ,则 ，所以 x+y 的取值范围是=,=3+=2(+6) 3.2,2故答案为：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的
11、掌握水平和分析推理能力.5B【解析】【分析】令直线 的参数 的系数等于零，求得定点 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质， 求得 的最小值 .|【详解】直线 ，即 ，过定点 ，:+2=0 (1)+2=0 (1,2)点 在直线 上， ，(,) 2+1=0 =12，|=(1)2+(122)2=52+2+2=5(+15)2+95故当 时， 取得最小值为 ，故选 B.=15 | 355【点睛】本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.6D【解析】【分析】设直线的 的方程 ，由题意得 ，由此求得结果，得到答案. +=0|2=21【详解】由圆的方程 ，可知圆
12、心坐标为 ，半径为 ，2+2=4 (0,0) 2设直线的 的方程 ， +=0由题意知，圆 上恰由 3 个点到直线 的距离等于 1，2+2=4 可得圆心到直线的距离等于 1，即 ，解得 .|2=21 =2【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解答是要注意直线与圆的位置关系的合理应用，同时注意数形结合法在直线与圆问题的中应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7B【解析】【分析】由曲线 表示一个半圆，直线 表示平行于 的直线，作出图象，利用数形=1 =+ =结合思想，即可求解.【详解】根据题意，可得曲线 表示一个半圆，直线 表示平行于 的直线，=1 =+ =其中 表示在 轴
13、上的截距， 作出图象，如图所示，从图中可知 之间的平行线与圆有两个交点， 在 轴上的截距分别为 ，1,2 1,2 2,1所以实数 的取值范围是 ，故选 B. 2,1【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中作出曲线的图象和明确直线表示平行于 的直线，其中 表示在 轴上的截距，结合图象求解是解答的关键，着重=+ = 考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.8B【解析】【分析】根据圆 x2+y2+4x+2=0 与直线 l 相切于点 A（-3，-1），得到直线 l 过（-3，-1）且与过这一点的半径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程【详解】圆
14、x2+y2+4x+2=0 与直线 l 相切于点 A（-3，-1），直线 l 过（-3，-1）且与过这一点的半径垂直，圆心为 (-2,0)过（-3，-1）的半径的斜率是 ，-1-0-3+2=1直线 l 的斜率是1，直线 l 的方程是 y+1=（x+3）即 x+y+4=0故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是根据圆的切线具有的性质，做出圆的切线的斜率，本题是一个基础题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经
15、常用到垂径定理。9C【解析】【分析】取 SA 的中点 E,连接 DE,则 DE 和 BD 所成的角 或补角就是 与 所成角，再利用余弦定 理求 ,即得 与 所成角的余弦值.【详解】取 SA 的中点 E,连接 DE,则 AC|DE,所以 DE 和 BD 所成的角 或补角就是 与 所成角， 设正四面体的边长为 a,则342=3,=2， =1,=3,=3,.=12+3232213 =36所以 与 所成角的余弦值为 .36故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找 作（平移法、补形法） 证（定
16、义） 指 求 （解三角形）.方法二：（向量法） ，其中 是异面直线 所成的角， 分别是直线=| , ,的方向向量 .,10B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果【详解】模拟程序的运行，可得x=8，y=3不满足条件|y-x|3，执行循环体，x=3，y= ，12满足条件|y-x|3，退出循环，输出 y 的值为 12故选 B.【点睛】本题考查根据框图计算，属基础题11A【解析】由球体积 知球半径为 ，设 的外心为 ，由正弦定理3482R2RABCM得 ，由 得 ，设 的中点为 ，
17、则2sin3AM2PAM63PN平面 ，连接 ，则 为直线与平面所成的角， ， CNPBNC24319N， ，故选 A.331tan12A【解析】【分析】由题意曲线 为圆， ，且 表示曲线 上的点 =(+6)2+(6)2222 (+6)2+(6)2 到点 的距离的平方，结合圆的特征可得点 ，由此可得 (6,6) (6,3)，于是 ，故 ，以此为基础并=(6+6)2+(36)2222= +=3 (+1)+=4由基本不等式可得所求的最小值【详解】曲线 可化为 ，表示圆心为 ，半径为 的圆:24+221=0 (2)2+2=25 (2,0) 5，=2+2+1212150=(+6)2+(6)2222可以
18、看作点 到点 的距离的平方，圆 上一点 到 的距离的最大值(+6)2+(6)2 (6,6) 为 ，即点 是直线 与圆 的离点 最远的交点，|+5 所以直线 的方程为 ，=34(2)由 ，解得 或 （舍去），=34(2)(2)2+2=25 1=61=3 2=21=3 当 时， 取得最大值，且 ，=6=3 =(6+6)2+(36)2222= ，+=3 ，(+1)+=4 ，1+1+1=14( 1+1+1)(+1)+=14( +1+1 +2)1当且仅当 ，且 ，即 时等号成立+1=+1 +=3 =1,=2故选 A【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将转化为两
19、点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该(+6)2+(6)2点的距离加上半径等（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值13(-1，2，3)【解析】【分析】在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于平面 yoz 对称的点坐标是（-x，y，z）【详解】在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面 xoy 对称的点坐标是（-1，2，3）故答案为：（-1，2，3）【点睛】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用14 35【解析】【分析】
20、对 a 分类讨论，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出【详解】a=1 时，两条直线不垂直，舍去a1 时，由 =1 ，解得 a= 3 ( 21) 35故答案为： 35【点睛】本题考查了分类讨论、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题15 30xy【解析】设圆心为 C，则 C(1，0)，由圆的性质有 ，而直线 PC 的斜率PCAB，因为 ，所以直线 AB 的斜率为 1，又直线 AB 过点 ，所112k1ABk 2,1P以直线 AB 的方程为 ，即 .2yx30y16165,16【解析】【分析】根据题意判断出点 M 的轨迹，利用点到直线的距离公式求得最小值，进而联立直线
21、和圆的方程求得点 B 的坐标，即可求得最大值，得到答案.【详解】因为动点 在直线 上，动点 Q 在直线 上， :22=0 :26=0直线 与直线 狐仙平行，:22=0 :26=0动点 在直线 上，动点 在直线 上， 所以 的中点 在与 平行，且到 的距离相等的直线上， , ,设该直线为 ，其方程为 ， 2+=0因为线段 的中点为 ，且 ， (0,0) (02)2+(0+1)25点 在圆 的内部或在圆上，(0,0) (2)2+(+1)2=5设直线 角圆于 ，可得点 在线段 上运动， , 因为 表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，20+20=|2,20+20所以原点到直线 的距离的平方为
22、最小，所以 的最小值为 ， 为最大，20+20 ( |4|1+4)2=165 联立 ，解得 ，24=0(+(=5 (4,0),(0,2)当 与 重合时， 的最大值为 ，即 的最大值为 ， 20+20 42+02=16 20+20 16所以 的取值范围是 .20+20 165,16【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的综合应用，同时解答中涉及到直线的方程，圆的方程和点到直线的距离公式等基础知识的综合运用，着重考查了函数与方程思想，以及转化的数学思想的应用，试题有一定难度，属于中档试题.17（1） 或 ；（2） .3+=0 +2=0 1【解析】(1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截
23、距均为零，a2，即方程为 3xy0 符合题意当直线不过原点时，由截距存在且均不为 0， a2 ，即 a11，2+1a0，即方程为 xy20.(2)(解法 1)将 l 的方程化为 y(a1)xa2，（ 1） 0， 20 或 （ 1） 0， 20. a1.综上可知 a 的取值范围是 a1.(解法 2)将 l 的方程化为(xy2)a(x1)0(aR)它表示过 l1：xy20 与l2：x10 交点(1，3)的直线系(不包括 x1)由图象可知 l 的斜率(a1)0，即 a1时，直线 l 不经过第二象限18(1)无论 为何实数，直线 恒过一定点 ,(2) 1 (1,2) 2+4=0.【解析】试题分析： 直
24、线 化为(1) 1:(2+)+(12)+43=0,联立 ，解出即可得出结论。(23)+(2+4)=0 23=02+4=0 设直线 的方程为 , ,可得 ,由基本不等(2) 2 +2=(+1)0,0.42(4)()=4，当且仅 当 4=即 =2时 取等+2=2(+1)即： 2+4=0点睛：直线恒过定点在求解过程中先整理直线解析式，根据性质联立方程组即可求出直线恒过定点坐标，欲求面积最小值，给出面积表达式，利用基本不等式求解。19（1）见解析； （2）x2y+4=0； .25【解析】【分析】(1)先求出|C 1C2|= ，再判(1+1)2+(5+1)2=25,1+2=52+10,12=2210断两
25、圆的位置关系.(2)把两圆方程相减得到相交弦的直线方程，再利用弦长公式求公共弦长.【详解】（1）将两圆化为标准方程，得 C1：（x1） 2+（y+5） 2=50，C 2：（x+1） 2+（y+1） 2=10圆 C1的圆心为（1，5），半径为 r1=5 ；圆 C2的圆心为（1，1），半径为 r2= 。2 10又|C 1C2|= ，(1+1)2+(5+1)2=25,1+2=52+10,12=2210可得 r 1r 2|C 1C2|r 1+r2，两圆相交。（2）将两圆的方程相减，得 4x8y+16=0，化简得：x2y+4=0，公共弦所在直线的方程是 x2y+4=0 由（2）知圆 C1的圆心（1，5）
26、到直线 x2y+4=0 的距离 ，=|12(5)+4|12+(2)2 =35由此可得，公共弦的长 。=2212=25045=25【点睛】本题主要考查两圆的位置关系,考查直线和圆的位置关系,考查弦长计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20（1）（x1） 2+（y1） 2=4（2）2 【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆 M 过两点 C（1，-1）、D（-1，1）且圆心 M 在直线 x+y-2=0 上，建立方程组，即可求圆 M 的方程；（2）四边形 PAMB 的面积为 S2 ，因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即|24在直线 3x+4y+8=0 上找
27、一点 P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论试题解析：(1) 设圆 M 的方程为(xa) 2(yb) 2r 2(r0)，根据题意得 (1+(=2(+(1=2+2=0 解得 ab1，r2.故所求圆 M 的方程为(x1) 2(y1) 24.(2) 由题知，四边形 PAMB的面积为 SS PAM S PBM |AM|PA| |BM|PB|.又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以 S2|PA|.而|PA| .|2|2=|24即 S2 .|24因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x4y80 上找一点 P，使得|PM|的值最小，所以|PM| min ，
28、|31+41+8|32+42 =3所以四边形 PAMB面积的最小值为 S2 2 2 .|24 32421（1）证明见解析；（2） .6+22+26【解析】【分析】（1）连结 BD，取 CD 的中点 F，连结 BF，证明 BCBD，BCDE，即可证明 BC平面BDE，推出 BCBE（2）利用体积求出 DE=2，然后求解 EA，通过就是 BE2=AB2+AE2，证明 ABAE，然后求解四棱锥 EABCD 的侧面积【详解】（1）连结 BD，取 CD 的中点 F，连结 BF，则直角梯形 ABCD 中，BFCD，BF=CF=DF，CBD=90即：BCBDDE平面 ABCD，BC平面 ABCDBCDE又
29、BDDE=DBC平面 BDE由 BE平面 BDE 得：BCBE（2） ，=13=1312=23=43DE=2 ， ，=2+2=22 =2+2=23又 AB=2，BE 2=AB2+AE2ABAE四棱锥 EABCD 的侧面积为12+12+12+12=6+22+26【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积以及侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力22（1）见解析； （2） .217【解析】【分析】（1）在 中，由余弦定理可解得： =4所以 ，所以 是直角三角形，2+2=2 又 为等边三角形，所以 ，所以 ，即可证明 平面 ；可 证 =600= / /（2）：由（1）可知 ，以
30、点 为原点，以 , ， 所在直线分别为 轴， 轴，=900 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线 与平面 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为 ， ， ，=3 =1 =900所以 ， ，=2 =600在 中， ， ， ，=23 =2 =600由余弦定理可得： 2=2+22解得： =4所以 ，所以 是直角三角形，2+2=2 又 为 的中点，所以 =12=又 ，所以 为等边三角形，=600 所以 ，所以 ，=600= /又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ./（2）解：由（1）可知 ，以点 为原点，以 , ， 所在直线分别为 轴， 轴，=900 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， . (0,0,2)(3,0,0) (3,1,0) (3,3,0)所以 ， ， .=(3,0,2)=(3,1,2)=(3,3,2)设 为平面 的法向量，则 ，即=(,) =0=0 32=03+2=0 设 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 ，=1 =0=32 =(1,0, 32)所以=|= 237416=217所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 217【点睛】不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题.
