1、120182019 学年度第一学期期中七校联考高三数学（文科）温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第卷（选择题，共 40 分）注意事项：1选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2本卷共 8 小
2、题，每小题 5 分，共 40 分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点 与直线 平行的直线方程是(0,1) 2xy+2=0A. B. 2xy1=0 2xy+1=0C. D. 2x+y+1=0 2x+y1=0【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为 ,代点（0,1）到直线方程得-1+a=0 即得 a 的值，即得直线的方2x-y+a=0程.【详解】设直线的方程为 ,代点（0,1）到直线方程得-1+a=0,所以 a=1.2x-y+a=0故直线方程为 2x-y+1=0.故答案为：B【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查平行直线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握
3、水平和分析推理能力.22.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为x,y3x+y60xy20y30 z=y2xA. 7 B. 4 C. 1 D. 2【答案】A【解析】试题分析：设变量 满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图所示，平移x,y 3x+y60,xy20,y30, 直线 经过点 时， 最小，最小值为 ，则目标函数 的最小值为 ，y2x=0 A(5,3) y2x 7 z=y2x 7故选 A考点：简单的线性规划问题【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中涉及到二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值等质知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的
4、能力，以及数形结合思想的应用，其中此类问题的解得中正确作出约束条件所表示的平面区域和利用直线的平移找到最优解是解答的关键，属于基础题3.若 ，则下列结论正确的是1ab2 abb2C. D. ab+ba2 |a|+|b|a+b|【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】因为 0，所以 b0,b0,1a+2b=2 a+2b【答案】92【解析】9【分析】先化简 ，再利用基本不等式求最小值.a+2b=12(a+2b)2=12(a+2b)(1a+2b)【详解】由题得 a+2b=12(a+2b)2=12(a+2b)(1a+2b)=12(5+2ab+2ba).12(5+22ab2ba)=9
5、2当且仅当 时取等.1a+2b=22a2=2b2即 a=b=32故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.14.过点 的直线与曲线 交于两点，则直线的斜率的取值范围是(1,2) y= 1x2_.【答案】 (34,1【解析】【分析】先画出方程对应的曲线，作出圆的切线 AB,求出 AB 的斜率，求出 AC 的斜率，数形结合得到直线 l 的斜率的范围.【详解】由题得 ，它表示单位圆的上半部分（包含两个端点） ，y2=1x2,x2+y2=1(y0)曲线如图所示，由题得 kAC=201(1)=1,设直线 AB 的斜率为 k,
6、则直线的方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,10因为直线 AB 和圆相切，所以 ，|k+2|k2+12=1,k=34所以直线 l 的斜率范围为 (34,1.故答案为： (34,1【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是求出 AC 和 AB 的斜率.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， .an n Sn bn n Tn a1=1,b1=2,b2a2=1（）若 ，求 的通项公式；b3a3=3 bn（）若 ，
7、求 .S3=15 T3【答案】 （1） （2）26bn=2n【解析】【分析】（）先求得 ，再求 的通项公式. （）由 解得 ，再求q=2d=2 bn 2q-d=23+322d=15 q=3.T3【详解】 （）设 的公差为 ， 的公比为 ，则an d bn q解得 （舍） ， 2q-1-d=12q2-1-2d=3 q=0d=-2 q=2d=2 的通项公式为 . bn bn=2n（） 解得2q-d=23+322d=15 q=3 .T3=2(1-q3)1-q=26【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法，考查等差数列等比数列的前 n 项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16
8、.如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，且 平面 ABMDCN ABCD MA ABCD（）求证： ； ACBN11（）当点 在 的什么位置时，使得 平面 ，并加以证明.E AB AN MEC【答案】 （1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（）先证明 平面 ，再证明 . （）当点 是 的中点时，有 平面AC NDB ACBN E AB ANMEC.先证明 再证明 平面 .AN/EF， AN/ MEC【详解】 （）证明：连结 ， 为菱形 BD ABCD ACBD由已知 ，DN平 面 ABCD ACDN ，DNDB=D 平面 .AC NDB又 平面 ,BN NDB ACBN（）当点 是 的中点时，
9、有 平面 E AB AN MEC,证明：设 ，连结CMBN=F EF由已知可得四边形 是平行四边形，BCNM 是 的中点，F BN 是 的中点E AB AN/EF又 平面 ， 平面EF MEC AN MEC 平面AN/ MEC【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水12平和数形结合分析推理转化能力.17.已知函数 （ 为常数）.f(x)=(x+a)(x+b) a,b（）当 时，解不等式 ；a=1 f(x+1)4【答案】 （1）见解析 （2） a3【解析】【分析】（）由题意得 ，再对 b 分类讨论得解. （）由题意不等式x(x+1+b)-4 x-1,2 x=
10、-1 aR时， 在 时恒成立,再利用基本不等式求右边函数的最大值得解 .x(-1,2 a-4x+1-x x(-1,2【详解】 （）由题意得 x(x+1+b)0 b-1 x|-1-b-4 x-1,2当 时，不等式对于 恒成立 x=-1 aR当 时，x(-1,2 x+a-4x+1即 在 时恒成立 . a-4x+1-x x(-1,2又-4x+1-x=- 4x+1+(x+1)+1-2 4x+1(x+1)+1=-3当且仅当 时取等号x=1 a-3综上，的取值范围是 。(-3,+)【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.1
11、8.已知圆 的圆心在直线 上，且过圆 上一点 的切线方程为 .C y=12x C M(1,3) y=3x（）求圆 的方程；C（）设过点 的直线与圆交于另一点 ，以 为直径的圆过原点，求直线的方程.M N MN【答案】 （1） （2）(x4)2+(y2)2=10 y=2x+513【解析】【分析】（）由题意，过 点的直径所在直线方程为 ,再联立 求得M y-3=-13(x-1) y-3=-13(x-1)y=12x 圆心坐标为 ,再求得半径即得圆的方程. （）先求得直线 方程为 ，由(4,2) ON y=-13x可得 点坐标为 ，再利用两点式写出直线 l 的方程.y=-13x(x-4)2+(y-2)
12、2=10 N (3,-1)【详解】 （）由题意，过 点的直径所在直线方程为 M y-3=-13(x-1)解得 ， 圆心坐标为 y-3=-13(x-1)y=12x x=4y=2 (4,2)半径 r2=(4-1)2+(2-3)2=10圆 的方程为 C (x-4)2+(y-2)2=10（） 以 为直径的圆过原点， MN OMON又 kOM=3 kON=-13直线 方程为 ON y=-13x由 ，可得 点坐标为 y=-13x(x-4)2+(y-2)2=10 N (3,-1) 直线 方程为MNy+13+1=x-31-3即直线的方程为 y=-2x+5【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的
13、位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.19.如图，在三棱锥 中， ， ，侧面 为等边三角形，侧棱P-ABC AC=BC=2 ACB=90 PAB，点 为线段 的中点.PC=22 E AC14（）求证：平面 平面 ；PAB ABC（）求直线 与平面 所成角的正弦值PE PAB【答案】 （1）见解析 （2）1414【解析】【分析】（）先证明 面 ，即证平面 平面 . （）设 中点为 ，连结 项证PD ABC PAB ABC AD F PF,EF,明 是直线 与平面 所成的角，再求直线 与平面 所成角的正弦值EPF PE PAB PE PAB【详解】解：（）设 中点为 ，连结
14、 ， AB D PD CD 为等边三角形，PAB PDAB又 ， AC=BC CDAB由已知 ， ，ACB=90 AC=BC=2 ，CD= 2 AB=22又 为正三角形，且 ， . PAB PDAB PD= 6 ， . PC=22 PC2=CD2+PD2 即CDP=90 PDCD 面PD ABC平面 平面 . PAB ABC（）设 中点为 ，连结 AD F PF,EF15点 为线段 的中点， E AC EF CD由（）知 平面 .CD PAB 平面 EF PAB 是直线 与平面 所成的角 . EPF PE PAB由（）与已知得 ， ，PA=PC=22 PEAC又 ，AE=12AC=1 PE=
15、7又 ，EF=12CD=22在 中 ,RtEPF sinEPF=EFEP=1414直线 与平面 所成角的正弦值为 .PE PAB1414【点睛】(1)本题主要考查线面垂直关系的证明，考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.（2）直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法） 证（定义） 指 求（解三角形） ，其关键是找到直线在平 面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法） ，其中sin=|ABn|AB|n|是直线的方向向量， 是平面的法向量， 是直线和平面所成的角.AB n 20.已知数列 中， ， 且 ， ， 成等an a
16、n+2=qan（ qR且 q1) a1=1,a2=3 a2+a3 a3+a4 a4+a5差数列.（）求 的通项公式；an（）设 ，且数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，bn=log3a2na2n+1 bn n Sn Sn+ n23n nN*求实数的取值范围.【答案】 （1） （2）an=3n12(n为 奇 数 ）3n2（ n为 偶 数 ） (,12)【解析】【分析】（）由题意， ，根据 ， ， 成等差数列求出 ，再a3=q,a4=3q,a5=q2 a2+a3 a3+a4 a4+a5 q=316根据 的通项公式. （）先求出 ，再利用错位相减求得 ，化简an+2=3an求 出 an
17、bn=n3n Sn得 对一切 恒成立，再求 的最小值得解.Sn+n23n 34(1-(13)n) nN* f(n)=34(1-(13)n)【详解】 （）由题意， a3=q,a4=3q,a5=q2 成等差数列3+q,4q,q2+3q ，解得 （舍去） ， 8q=3+q+q2+3q q=1 q=3 ，设 ，则an+2=3an kN* a2k-1=a1qk-1=3k-1,a2k=a2qk-1=3k令 ，则 ，2k-1=n k=n+12 an=3n-12令 ，则 ，2k=n k=n2 an=3n2 an=3n-12(n为 奇 数 ）3n2（ n为 偶 数 ） （） bn=log3a2na2n+1=log3n3n=n3nSn=113+2(13)2+3(13)3+n(13)n-113Sn=1(13)2+2(13)3+3(13)4+n(13)n23Sn=113+1(13)2+1(13)3+1(13)n-1-n(13)n 对一切 恒成立 为增函数， ，即的取值范围是【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减求和和不等式的恒成立问题，考查数列的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
