1、1山东省新泰一中 2018-2019 学年高二数学上学期竞赛试题一选择题(每小题 5 分，共 60 分)1等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，则公比 A B 2 C 3 D 2已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3已知 是等差数列， ，则该数列的前 14 项的和 （ ）A 52 B 104 C 56 D 1124双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）A B 1 C D 5已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实数x 的取值范围为 A B C D 6已知等比数列 满足 ， 且成等差数列若数列 满足（ nN*） ，且 ，则数列
2、 的通项公式 （ ）A B C D 7已知抛物线 上的点 到焦点的距离是 ,则抛物线的方程为( )A B C D 8若曲线 ya x在 x0 处的切线方程是 xln 2y10 则 a( )A B 2C ln 2 D ln 9已知点 M 为椭圆 上一点，椭圆的长轴长为 ，离心率 ，左、2右焦点分别为 F1、 F2，其中 B（3，2） ，则 的最小值为（ ）A B C D 10将直角三角形 沿斜边上的高 折成 的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（ ）A 平面 平面 B 四面体 的体积是C 二面角 的正切值是 D 与平面 所成角的正弦值是11在直角坐标系 中， 是椭圆 的左焦点， 分别为左、
3、右顶点，过点 作 轴的垂线交椭圆 于 两点，连接 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率为（ ）A B C D 12在正方体 中，点 是侧面 内的一动点，若点 到直线 与到直线 的距离相等，则动点 的轨迹所在的曲线是（ ）A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线二填空题（每小题 5 分，共 20 分）13在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,若 ，则 abc=_.14若抛物线 的焦点恰好是双曲线 的右焦点，则实数 的值为_.15已知函数 _.16已知实数 且 ，则 的最小值为_三解答题（第 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分，请写出必要的解
4、题步骤）17设复数 .(1)当 为何值时, 是实数;(2)当 为何值时, 是纯虚数.318(1)求与椭圆 有公共焦点，并且离心率为 的双曲线方程(2)已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 的右焦点 F 交椭圆于 A、 B 两点，求弦 AB 的长19已知全集 UR，非空集合（1）当 a 时，求（2）命题 p： ，命题 q： ，若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。20在数列 中， ， 。（1）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 。21某渔业公司年初用 81 万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为 1 万元，以后每年都增加 2 万元，每年捕鱼收益
5、 30 万元问第几年开始获利？若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以 46 万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以 10 万元出售该渔船 问：哪一种方案合算？请说明理由22如图所示,在四棱锥 中, , , ，, .() 证明:平面 平面 ；4() 若 ,求二面角 的余弦值.5新泰一中高二数学学科竞赛参考答案1A 2B 3D 4A 5D 6B 7A 8A 9D 10C 11C12D13 148 151 1617.（1)要使复数 z 为实数，需满足.解得 m2 或1.即当 m2 或1 时，z 是实数(2)要使复数 z 为纯虚数，需满足.解得 m3.即当 m3 时，z 是纯虚
6、数18(1)由椭圆方程为 ，知长半轴长 ，短半轴长 ，焦距的一半 ，焦点是 ， ，因此双曲线的焦点也是 ， ，设双曲线方程为 ，由题设条件及双曲线的性质，得 ，解得 ，故所求双曲线的方程为 .(2)设 A、 B 的坐标分别为 、 由椭圆的方程知 ， ， ， 直线 l 的方程为 将代入 ，化简整理得， ， ， .619(1)当 时, 所以(2)又因为 q 是 p 的必要不充分条件,所以 且 ,所以 ,所以20解：（1）因为 所以数列 是公差为 1，首项为 的等差数列，所以 。所以数列 的通项公式为 （2）令 则 -得 所以 所以21设第 n 年开始获利，获利为 y 万元，由题意知， n 年共收益
7、 30n 万元，每年的费用是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故 n 年的总费用为 获利为7由 即 解得， 时，即第 4 年开始获利方案一： n 年内年平均获利为 由于 ，当且仅当 时取“ ”号万元 即前 9 年年平均收益最大，此时总收益为 万元方案二：总纯收入获利 当 时， 取最大值 144，此时总收益为两种方案获利相等，但方案一中 ，所需的时间短，方案一较合算22.()证明：因为 , ，所以 . 因为 ,所以 , 所以 , 因为 ,所以 平面 . 又 平面 ,所以平面 平面 . ()以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,则 , 所以 , 设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,8令 , 解得 ,即 , 显然平面 的一个法向量为 , 所以 ,所以二面角 的余弦值为 .
