1、1山东日照市 2019 届高三上学期期中考试试题（数学理）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算出集合 、 ，然后计算出【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算，属于基础题。2.命题 ， ；命题 ， ，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. pq pq (p)q (p)(q)【答案】B【解析】试题分析： ，所以命题 为真命题；因为 ，所x2+ax+a2=(x+a2)2+34a20 p (sinx+cosx)max
2、= 2以命题 是假命题。所以 是真命题.q pq考点：命题与简易逻辑3.已知向量 满足a,b |a|=1,|b|=2,a-b=( 3, 2)， 则 |2a-b|=A. B. C. D. 15 17 22 25【答案】C【解析】【分析】2由条件易知 ，对目标平方可得结果.ab=0【详解】由已知得 ，又(ab)2=5， ab=0 (2ab)2=4a2+b2=8 |2a-b|=22故选：C.【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的
3、充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.4.函数 的定义域为f(x)= 12x1A. B. C. D. (0,+) 0,+) (1,+) 1,+)【答案】A【解析】【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【详解】要使 有意义，需满足：f(x)= 12x-1 2x-10解得： x0函数 的定义域为f(x)= 12x-1 (0,+)故选：A【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件5.将函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ f(x)=sin(2x+3) 6）A. B. C. D. y=si
4、n2x y=cos2x y=sin(2x+23) y=sin(2x6)【答案】C【解析】将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数y=sin(2x+6) 6的图象,所求函数的解析式为 ，故选 B.y=sin2(x+6)+6=sin(2x+2)=cos2x y=cos2x36.已知 ，则 sin2=13 cos2(-4)A. B. C. D. 13 16 23 89【答案】C【解析】【分析】由 利用三角函数的诱导公式可得 ,然后根据二倍角余弦公式求解即可 .sin2=13 cos(22)=13【详解】 ，sin2=13,cos(22)=13，cos2(4)=13，2cos2(4)1=13，故选 C
5、.cos2(4)=23【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值” ；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角7.已知 的a0且 a1， 则 ab1是 (a1)b0A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合指数的运算性质，可知 是等价的.ab1与 (a-1)b0【详解】由 或 ab1a1b0 00a10b0或 ,所以 是 的充要条件.a11 (a1)
6、b0故选：C【点睛】判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充4分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q的关系8.若 ， ， ，定义在 上的奇函数 满足:对任意的 且a=(67)14 b=(76)15 c=log278 R f(x) x1,x
7、20,+)都有 ，则 的大小顺序为（ ）x1x2f(x1)f(x2)x1x2f(b)f(a)C. D. f(c)f(a)f(b) f(b)f(c)f(a)【答案】B【解析】由题意， 在 上单调递减，f(x) R又 ，所以 ，a=(67)14=(76)14(76)15=b1,c=log278bc所以 ，故选 B。f(c)f(b)f(a)9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法复合 1801 年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲
8、的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 到 这 个数中，1 20182018能被 除余 且被 除余 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列共有（ 3 1 7 1 an）A. 项 B. 项 C. 项 D. 项98 97 96 95【答案】B【解析】能被 3 除余 1 且被 7 除余 1 的数就只能被 21 除余 1 的数，故 ，由an=21n20得 ，故此数列的项数为 97.1an20181n97故选 B.10.函数 的图象大致是 ( )f(x) ln(xsinxx+sinx)5A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以舍去 B,D;f(x)=ln(x+sinx
9、xsinx)=ln(xsinxx+sinx)=f(x)当 时， x(0,2) 00,00上， ，从而可得在区间 上， ，在 上， ，又由(1,0) f(x)0 (1,+) f(x)0 x10f(x1)0 (1,0) f(x)0 (1,+) f(x)0=f(1) x10f(x1)1x11解可得 或 ，x2即 的取值范围为 ,故答案为 .x (,0)(2,+) (,0)(2,+)【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，
10、奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.在锐角 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 ABC 3a=2csinA(1)求角 C；(2)若 ，求 的面积a=5,c=7 ABC【答案】 （1） （2）3 103【解析】【分析】(1)由 ,利用正弦定理，结合 可得 ,结合 是锐角三角形3sinA=2sinCsinA sinA0 sinC=32 ABC可得结果；(2)由余弦定理可得： 代入 ,化简求出 ，再根c2=a2+b2-2abcosC a=5,c=7 b=8据三角形的面积公式计箅即可得出
11、结果.【详解】 （1）由正弦定理得： ，3sinA=2sinCsinA因为 ，所以 ， sinA0 sinC=32又因为 ，故 . C(0,2) C=3（2）由余弦定理得， ，c2=a2+b2-2abcosC因为 ，所以有 ，a=5,c=7 49=25+b2-5b解得 ，或 （舍去）. b=8 b=-3所以 .SABC=12absinC=10311【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用
12、到18.己知函数 f(x)=kxkx2lnx(1)若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，求 的单调区间；f(x) (1,f(1) 2x+5y2=0 f(x)(2)若函数 在 为增函数，求实数 k 的取值范围f(x) (0,+)【答案】 （1）见解析；（2） 1,+)【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义确定 k 的取值，即可求 f（x）的单调区间；（2）根据函数单调性和导数之间的关系，转化为导数恒成立问题，即可求实数 k 的取值范围【详解】 （1） ，f(x)=k+kx2-2x=kx2-2x+kx2可知 ，得 ， f(1)=2k-2=-25 k=45所以 ,f(x)=4x2-
13、10x+45x2 =2(2x-1)(x-2)5x2的定义域是 ，故由 得 ，由 得 ， f(x) (0,+) f(x)0 02 f(x)0且 a1， f(logax)=aa21(x1x)(1)判断函数 的单调性，并证明；y=f(x)(2)若函数 恰好在 上取负值，求 a 的值y=f(x)4 (,2)【答案】 （1）见解析；（2） 2 3【解析】【分析】（1）令 logax=t，得 x=at，代入即可得到 f（t）的解析式，即为 f（x）的解析式，再由导数的符号和分类讨论，即可得到 f（x）的单调性；（2）由题意结合 f（x）的单调性，可得 f（2）4=0，解方程即可得到所求值【详解】 （1）证
14、明：令 ，得 ，所以 ，logax=t x=at f(t)=aa2-1(at-a-t)即 ，f(x)=aa2-1(ax-a-x)求导得 ， f(x)= aa2-1(axlna+a-xlna) =alnaa2-1(ax+a-x)若 ，则 ，所以 ，00又 始终大于 ， ， 单调递增；ax+a-x 0 f(x)0 f(x)若 ，则 ，所以 ， ， 单调递增a1 alna0,a2-10alnaa2-10 f(x)0 f(x)综上， 在 上单调递增 f(x) R（2）因为 是 上的增函数，f(x) R函数 恰好在 上取负值，f(x)-4 (-,2)由 ，得 ，x1时 ， r(x)g(x)对 x1,+)
15、(2)若函数 恰有一个零点，求实数的取值范围f(x)=ar(x)x+x2+a2【答案】 （1）见解析；（2） 或a=2e a0【解析】【分析】（1）令 ，要证 在 上恒成立，只需证 ，h(x)=r(x)-g(x) r(x)g(x) 1,+) h(x)min0；x1,+)（2）函数 ，定义域为 ， 对 a 分类讨论，研究函数f(x)=alnx+x2 (0,+) f(x)=ax+2x=2x2+ax的单调性及最值，以确定图象与 x 轴的交点情况.【详解】 （1）证明：令 ，h(x)=r(x)-g(x)要证 在 上恒成立，r(x)g(x) 1,+)只需证 ， ，h(x)min0 x1,+)因为 ，h(
16、x)=xlnx+ax2-ax-2x+2所以 .h(x)=lnx+1+2ax-a-2=lnx+2ax-a-1令 ，m(x)=lnx+2ax-a-1,x1,+)则 ，m(x)=1x+2a因为 ，所以 ，x1,a1 m(x)0所以 在 上单调递增， m(x) 1,+)所以 ，即 ，m(x)m(1)=a-1 h(x)a-116因为 ，所以 ，所以 ，a1 a-10 h(x)0所以 在 上单调递增，h(x)=xlnx+ax2-ax-2x+2 1,+)所以 ， ，h(x)h(1)=0 r(x)-g(x)0故 在 上恒成立. r(x)g(x) 1,+)（2）函数 ，定义域为 ，f(x)=alnx+x2 (0
17、,+)f(x)=ax+2x=2x2+ax当 时， 无零点.a=0 f(x)=x2,x(0,+)当 时， ，所以 在 上单调递增，a0 f(x)0 f(x) (0,+)取 ，则 ， （或：因为 且 时，所以x0=e-1a f(e-1a)=-1+(e-1a)2 -a2 f(x)0 f(x) ( -a2,+)所以 .f(x)min=f( -a2) =aln -a2-a2若 ，即 时，取 ， ，即函数 在区间 上存在一个零点；当 时，因为 ，所以 ，则有 ， ，必然存在 ，使得 ，即函数在区间 存在一个零点；17故当 时，函数 在 上有两个零点，不符合题意.11 分所以当 时，要使函数 有一个零点，必有 ，即 综上所述，若函数 恰有一个零点，则 或 .【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
