1、1山东省日照第一中学 2017 届高三数学 4 月“圆梦之旅”试卷（九）文（含解析）本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改
2、液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第卷（共 50 分）一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 则A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题知 ，则 ，故本题选 B=2,3 AB=3 C2.已知 i 为虚数单位，则 （ ）|2i1+i|=A. B. C. D. 52 52 172 102【答案】D【解析】试题分析： .|2i1+i|=|(2i)(1i)(1+i)(1i)|=|13i2|= 14+94=102考点：1.复数
3、运算；2.复数的模.视频23.命题“ ， ”的否定是（ ）x0R x0+cosx0ex01A. ， B. ，x0R x0+cosx0ex01 xR x+cosx-ex1选 D.4.执行如图的程序框图，若输出的 ，则输出 的值可以为 ( )S=48 kA. B. C. D. 4 6 8 10【答案】C【解析】试题分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 S=48 时，由题意，此时应该满足条件 n=10k，退出循环，输出 S 的值为 48，故应有：7k10解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件 nk，n=4，S=6不满足条件 nk，n=7，S=19不满足条件 n
4、k，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件 n=10k，退出循环，输出 S 的值为 48，3故应有：7k10故选：C考点：程序框图5.若 满足约束条件 则 的最大值为x,y xy+10,x2y0,x+2y20, z=x+yA. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】如图所示，作出可行域，由目标函数可得 令 ，作出直线 ，结合图形得出y=x+z z=0 y=x直线平移过 点时，截距最大，此时目标函数值最大可得 ，则最大值为 故本题选A A(0,1) 1B点睛：本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法: 利z=ax+by(b0)用截距的几何意义; 利用斜率的几何意义
5、; 利用距离的几z=ay+bcx+d(ac0) z=(xa)2+(yb)2何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出 的可行域,利用 的条件约束,做出图形.(x,y) (x,y)数形结合求得目标函数的最值. 6.矩形 中， ， 为 的中点，在矩形 内随机取一点，则取到的点到ABCD AB=2,BC=1 O AB ABCD的距离大于 1 的概率为OA. B. C. D. 8 18 4 14【答案】D【解析】4如图所示，由几何概型可知所求概率为 故本题选 21121221 =14 D7.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸）
6、，若 取 3，其体积为 12.6（单位：立方寸） ，则图中的 为（ ）xA. 1.2 B. 1.6 C. 1.8 D. 2.4【答案】B【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：， ，故选 B.(5.4x)31+(12)2x=12.6x=1.68.若将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度，所得部分图象如图所f(x)=2sin2x x (00,b0) F(c,0) F近线平行的直线与圆 在 轴右侧交于点 ，若 在抛物线 上，则x2+y2=c2 y P P y2=2cx e2=A. B. C. D. 55+12 51 2【答案】D【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，据题意
7、，可设直线 的斜率为 ，则直线 的x2a2y2b2=1 y=bax PF ba PF方程为： ，解方程组 得 或 则 点的坐标为 y=ba(x+c) x2+y2=c2y=ba(x+c) x=cy=0 x=a2b2cy=2abc P又点 在抛物线 上，得 可化为 ，可知 故(a2b2c,2abc) P y2=2cx (2abc)2=2ca2b2c 2a4=c4 e2=2本题答案选 D10.设函数 若函数 在 处取得极值，则下列图象不可f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR), y=f(x)ex x=1能为 的图象是y=f(x)A. B. C. D. 【答案】D【解析】对函数 求导，可得 ，函数
8、 在 时取得极值，y=f(x)ex y=exax2+(b+2a)x+b+c y=f(x)ex x=16则 是方程 的一个根，可得 ，得 ，则函数1 ax2+(b+2a)x+b+c=0 a(b+2a)+b+c=0 c=a，对应方程 两根之积为 对应所给图像，只有 不成立故f(x)=ax2+bx+a ax2+bx+a=0 1 C本题答案选 C第卷（共 100 分）二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.已知函数 ，则 的值为_.f(x)= 2x,(x0,y0,xy=x+2y,若 xym2【答案】10【解析】试题分析： ，最大值为 10xy=x+2y22xyxy22xy8
9、m28m10考点：不等式性质13. 三边的长分别为 ， ， ，若 ， ，则ABC AC=3 BC=4 AB=5 AD=13AB BE=12BC_CDCE=【答案】83【解析】由题知 CDCE=(CA+AD)12CB =(CA+13AB)12CB=(CA+13(CBCA)12CB=16CB213CACB=16420=837故本题填 83点睛：本题主要考查平面向量的基本定理,数量积.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平
10、行四边形或三角形中.14.过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 A,B 两点，且 ，这样的直线可y2=2px(p0) |AB|=4以作 2 条，则 P 的取值范围是_.【答案】 02p足 的直线可以作 条，则通径 ，即 那么 的取值范围是 故本题应|AB|=4 2 2p1有且仅有 6 个不同的零点，则实数 a 取值范围g(x)=5f(x)2-(5a+6)f(x)+6a(aR)_.【答案】 （ 0,1 32【解析】由 ，可得 或 ，由函数 是定义在 上的偶函数，当 时，g(x)=0 f(x)=65 f(x)=a f(x) R x0，所以 有 个零点，则 有 个不同的零点，又 ，则f(x)=32cos
11、2(1x),0x1(12)x+1,x1 f(x)=65 4 f(x)=a 2 (12)x+11，又 时， 有 个不同的零点，即 故 故本题应填0b的值a,b【答案】(I) (）T=; a=2,b= 3【解析】试题分析：（）先利用向量的坐标运算将函数转化为三角函数的形式，再利用三角恒等变形将函数转化为 的形式，可求得周期；（）先由所给函数值，代f(x)=Asin(x+)+k入求得 值，再由余弦定理，结合 的值，解方程组可得 C ab a,b试题解析：(I) f(x)= m n =(2cos2x , 3)( 1 , sin2x )=2cos2x+ 3sin2x. =cos2x+1+ 3sin2x=
12、2sin(2x+6)+1故最小正周期 T=22=(） ， ， f(C)=2sin(2C+6)+1=3 sin(2C+6)=1C 是三角形内角， 即： 2C+6=2 C=6.即： cosC=b2+a2-c22ab =32 a2+b2=7将 代入可得： ，解之得： 或 4,ab=23 a2+12a2=7 a2=3， a= 3或 2 b=2或 3ab, a=2,b= 3点睛：三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐10标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两微量平行或垂直的计算将向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数，解
13、三角形等知识的运用18.在如图所示的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ， ， ，BB1C1C BB1 ABC CA=CB A1B1 AB， ， 分别是 ， 的中点AB=2A1B1 E F AB AC1（）求证： 平面 ；EF BB1C1C（）求证： 平面 C1A1 ABB1A1【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）连接 ，应用三角形中位线定理得 BC1 EF BC1（2）连结 ， .可得到平面 平面 ；A1E CE A1ABB1 ABC通过证明 ，得到所以 平面 CEAB CE A1ABB1通过确定四边形 为平行四边形，进一步得到四边形 为平行四边形，即可得证.
14、A1EBB1 A1ECC1试题解析：证明：（1）连接 ，因为 、 分别是 , 的中点，BC1 E F ABAC1所以 2 分EF BC1又因为 平面 ， 平面 ，EF BB1C1C BC1 BB1C1C所以 平面 4 分EF BB1C1C11（2）连结 ， .因为 平面 ， 平面 ，A1E CE BB1 ABC BB1 A1ABB1所以 平面 平面 6 分A1ABB1 ABC因为 ， 是 的中点， 所以CA=CB E AB CEAB所以 平面 8 分CE A1ABB1因为 ,B1A1 BAB1A1=12BA=BE所以 四边形 为平行四边形，所以 . 10 分A1EBB1BB1/_A1E又 ，所
15、以 所以 四边形 为平行四边形，BB1/_CC1 A1E/_CC1 A1ECC1则 . 所以 平面 12 分C1A1 CE C1A1 ABB1A1考点：平行关系，垂直关系.19.设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .an n Sn S4=4S2 a2n=2an+1（）求数列 的通项公式；an（）设数列 的前 项和为 ，且 (为常数)，令 ，求数列bn n Tn Tn+an+12n= cn=b2n(nN*)的前 项和 。cn n Rn【答案】 （） （）an=2n1,nN* Rn=493n+194n1,nN*【解析】（）设等差数列 的公差为 ，则an d，解得 ，4a1+432d=4(2a1+d
16、)a1+(2n1)d=2a1+(n1)d+1 a1=1d=2 所以 an=1+(n1)2=2n1,nN*.（）由（）得 ，所以 .Tn=2n2n Tn=2n2n12b1=T1=1,当 时，n2 bn=TnTn1=2n2n(2(n1)2n1)=n22n1,因此 cn=b2n=2n222n1=n122n2=n14n1.所以 Rn=11411+21421+31431+.n14n114Rn=11421+21431+.+(n1)14n1+n14n相减得 ,34Rn=1421+1431+.+14n1n14n =141(14)n1114 n14nRn=131(14)n1n14n43=491(14)n1n13
17、(14)n1,化简得 Rn=493n+194n1,nN*.【考点定位】本题从等差数列的基本问题（首项、公差、通项公式）入手，通过新数列的构造考查了 与 的关系、错位相减法求和等，涉及等比数列的求和公式的应用、代数式an Sn的化简等，是对运算能力的有力考查.20.已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直（其中为自然f(x)=mxlnx y=f(x) (e2,f(e2) 2x+y=0对数的底数） （1）求 的解析式及单调递减区间；f(x)（2）是否存在常数 ，使得对于定义域内的任意 ， 恒成立，若存在，求出 的k x f(x)klnx+2x k值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ，单调
18、递减区间为 和 （2）f(x)=2xlnx (0,1) (1,e) k=2【解析】试题分析：(1)由题意可得 ，对函数求导可得函数 的单调减区间为 和f(x)=2xlnx f(x) (0,1) (1,e)(2)不等式等价于klnxklnx+2x即2xlnxklnx+2xklnx2x-2xlnx令 ，g(x)=2x-2xlnxg(x)=2x-lnx-2x再令 ，h(x)=2x-lnx-2h(x)=x-1x h(1)=0故 ，g(x)=h(x)x0在 内递增， ；g(x) (0,1) g(x)0 k0在 内递增，h(x) (1,+)当 时， ，故 ， x(1,+) h(x)h(1)=0 g(x)=
19、h(x)x0在 内递增， ，g(x) (1,+) g(x)g(1)=2k2综合可得： ，k=2即存在常数 满足题意k=221.如图所示，椭圆 E 的中心为坐标原点，焦点 在 轴上，且 在抛物线 的准线上，F1,F2 x F1 y2=4x点 是椭圆 E 上的一个动点， 面积的最大值为 .P PF1F2 314（）求椭圆 E 的方程；（）过焦点 作两条平行直线分别交椭圆 E 于 四个点. F1,F2 A,B,C,D试判断四边形 能否是菱形，并说明理由；ABCD求四边形 面积的最大值.ABCD【答案】 （） ；（）(i) 不能为菱形；（ii）当 时， 取最大值 x24+y23=1 ABCD t=1
20、SABCD6.【解析】试题分析：（）待定系数法，利用焦点在已知抛物线的准线上，可得值，再由点 在短轴P顶点时 面积的最大，可得 ，由 关系得，可求得标准方程；（ ）易判断函数PF1F2 b a,b,c不可能平行于 轴，为计算方便可令方程为 ，与椭圆方程联立消去 ，利用根与系数x x=my1 x的关系，得 两点纵坐标间的关系，四边形 为菱形，对角线互相垂直，则 A,B ABCD，转化为关于 的方程，无线，可证四边形不是菱形同样利用坐标和面积公OAOB=0 m式，用 表示出四边形 的面积再利用函数的性质可得面积的最大值m ABCD试题解析：（）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)焦点 在抛
21、物线 的准线 上， F1 y2=4x x=-1 c=1当点 在短轴顶点时 面积最大，此时 P PF1F2SPF1F2=122cb= 3 b= 3, a2=b2+c2=415椭圆方程为 x24+y23=1（）(i)由（I）知 （-1， 0）F1直线 不能平行于 轴，所以设直线 的方程为AB x AB x=my-1设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 得x=my-1 x24+y23=1 (3m2+4)y2-6my-9=0 y1+y2= 6m3m2+4, y1y2= -93m2+4连结 ，若 为菱形，则 ，即OA,OB ABCD OAOB OAOB=0 x1x2+y1y2=0又 x1x2=(m
22、y1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1(m2+1)y1y2-m(y1+y2)+1=0显然方程无解， -12m2-53m2+4=0所以 不能为菱形. ABCD（ii）易知四边形 为平行四边形，则 ，ABCD SABCD=4SAOB而 SAOB=12|OF1|y1-y2|又因为 ，|OF1|=1 SABCD=2|OF1|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1y2=236m2+36(3m2+4)(3m2+4)2 =24m2+1(3m2+4)2=24 19(m2+1)+ 1(m2+1)+6设 ，则t=m2+1 t1在 上是增函数，SABCD=24 19t+1t+6 1,+)所以，当 时， 取最大值 6，此时 即 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用16数形结合的思想化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.
