1、- 1 -2018-2019 学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1已知集合 A=y|y=2x+1，B=x|x 2x20，则（ RA）B=（ ）A （1，1 B1，1） C （2，1 D （2，1）【考点】集合的运算，指数函数的性质，一元二次不等式【解析】集合 A=y|y=2x+1=y|y1=（1，+） ，B=x|x2x20=x|1x2=（1，2） ，则RA= （ ，1，（RA ） B=（1，1故选：A2下列函数中，既是偶函数，又
2、在（0，+）上单调递减的为（ ）Ay=ln（3x 2） By=cosx Cy=x 2 D【考点】函数的奇偶性、单调性，对数函数，余弦函数，指数函数，幂函数的图象【解析】对于 A：y=ln（3x 2）其定义域满足，3x 20，可得（ ， ） ，在（0，+）上不是单调递减；A 不对；对于 B：y=cosx，根据余弦函数的性质可知，是周期函数，在（0，+）上不是单调递减；B 不对；对于 C：y=x 2 ，是偶函数，根据幂函数的性质可得20，在（0，+）上单调递减；C对；对于 D：y= 是偶函数，因为 y= 在（0，+）上单调递减；那么 y=是递增函数：D 不对；故选：C3下列不等式： ； ； ； （
3、a，b，m0 且 ab） 其中恒成立的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】不等式的性质，基本不等式，命题的真假判断- 2 -【解析】对于，若 a=1，b=1，满足 ab，则 ，则 不恒成立；对于，若 x0，则 x+ 2；若 x0，则 x+ 2，则 不恒成立；对于，由 ba0c，可得 =c（ 0，则 恒成立；对于，由 a，b，m0 且 ab， = 0，则 （a，b，m0 且 ab）恒成立故选：B4已知函数 f（x）= ，若 f（f（0） ）=3a，则 f（log 3a）=（ ）A2 B3 C4 D15【考点】分段函数，指数运算，对数运算【解析】函数 f（x）= ，f（0）=3 0+1=2，
4、f（f（0） ）=3a，f（f（0） ）=f（2）=a2 22=3a，解得 a=2，f（log 3a）=f（log 32）= +1=3故选：B5函数 y= sinx 的部分图象大致为（ ）A B- 3 -C D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】函数 y= sinx 是奇函数，排除 D，当 x=e2 时，y= sin 0，x=1 时，y=sin10，只有选项 A 满足题意故选：A6在ABC 中， ，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若 ，则=（ ）A B C D【考点】平面向量的三角形法则【解析】如图， ，O 为 AD 的中点， = = ，则 = 故选：B7若函数 f（x）=e
5、 2xax 2+1 在1，2上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）- 4 -A ，+） B （ ，+） C ，+） D （ ，+）【考点】函数的导数及其应用，恒成立问题【解析】f（x）=2e 2x2ax，若 f（x）在1，2上是减函数，则 e2xax0 在1，2上恒成立，即 a 在1，2上恒成立，令 h（x）= ，x1，2，h（x）= 0，故 h（x）在1，2递增，故 h（x） max=h（2）= ，故 a ，故选：C8已知函数 f（x）=Asin（x+） （A0，0，0） ，其导函数 f（x）的部分图象如图所示，则函数 f（x）的解析式为（ ）A BC D【考点】三角函数的图象及其性质，
6、函数的导数- 5 -【解析】函数 f（x）=Asin（x+） ，则导函数 f（x）=Acos（x+） ，由 f（x）的部分图象知 A=2，T=2（ + ）=，= =2，A=1；由五点法画图知，x= 时 f（x）取得最大值，2 +=0，解得 = ；函数 f（x）=sin（2x ） 故选：A9已知 a，b 为正数，直线 y=x2a+1 与曲线 y=ex+b1 相切，则 的最小值为（ ）A9 B7 C D【考点】函数导数的几何意义，基本不等式【解析】a，b 为正数，直线 y=x2a+1 与曲线 y=ex+b1 相切，设切点为（m，n） ，由 y=ex+b1 的导数 y=e x+b，可得切线的斜率为
7、em+b=1，n=m2a+1=e m+b1，化为 2a+b=1，则 =（2a+b） （ ）=3+ + 3+2 =3+2 ，当且仅当 b= a 时，上式取得等号，可得 的最小值为 3+2 故选：D10如函数 在区间（ ， ）上是增函数，则 的取值范围是（ ）A （0， B （0，1 C （0， D （0，2【考点】正弦函数的图象及其性质。- 6 -【解析】函数 在区间（ ， ）上是增函数， ，kZ解得：0，令 k=0，可得：01故选：B11定义域为 R 的函数 f（x）满足：f（x+2）=f（x+2） ；f（x+1）图象关于点（1，0）对称；f（2）=2则 f（2）+f（4）+f（6）+f（8）
8、+f（10）+f（2018）=（ ）A2 B1 C1 D2【考点】抽象函数，函数的奇偶性，周期性【解析】函数 y=f（x+1）的图象关于点（1， 0）对称，可得 f（x）的图象关于原点对称，即 f（x）=f（x） ，函数 y=f（x）满足对任意 xR 都有 f（x+2）=f（x+2）成立，f（x+4）=f（x）=f（x） ，f（x+8）=f（x+4）=f（x） ，函数 f（x）的周期为 8，函数 f（x）为奇函数，f（0）=0，f（4）=0，f（2）=2，f（2）=f（2）=2，f（2）=2，f（6）=f（2）=2，f（8）=0，则 f（2）+f（4）+f（6）+f（8）+f（10）+f（20
9、18）=504（2+0+2+0）+（2）+0=2故选：D12已知定义在（，0）上的函数 f（x） ，其导函数记为 f（x） ，若成立，则下列正确的是（ ）- 7 -Af（e）e 2f（1）0 BCe 2f（e）f（1）0 D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】 ，x1 时，2f（x）xf（x）01x0 时，2f（x）xf（x）0构造函数 g（x）= ，g（x）= = ，x1 时，g（x）0；1x0，g（x）0g（e）g（1） ， ，化为：f（e）e 2f（1）0故选：A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上 ）13
10、若向量 =（1，2） ， =（x，2） ，且 ，则 = 5 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】 ； ；x=4； ； ； 故答案为：514设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最小值是 7 - 8 -【考点】简单线性规划【解析】由 x，y 满足约束条件 ，作出可行域如图，联立 ，解得 A（4，3） ，化目标函数 z=x+y 为 y=x+z，由图可知，当直线 y=x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为7故答案为：715已知锐角ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=b，则 的取值范围为 （0， ） 【考点】正弦定理【解析】
11、锐角ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a=b，2A+C=，由正弦定理可得： = ，C（0， ） ，可得：2A=C（ ，） ，可得：A（ ， ） ，cosA（0， ） ，可得： =2cosA（0， ） 故答案为：（0， ） - 9 -16设 a，b（0，1）（1，+） ，定义运算： ，则以下四个结论：（24）8=8（42） ；8（42）（84）2（28）4；（42）=（24）4（28）4；其中所有正确结论的序号为 【考点】命题的真假判断与应用【解析】对于，24=log 24=2，42=log 24=2，（24）8=28=log 28=3，8（42）=82=log 28=
12、3，（24）8=8（42） ，正确；对于，8（42）=3，84=log 48= ，（84）2= 2= 2，28=log 28=3，（28）4=34=log 34）= 2，3 2 2，8（42）（84）2（28）4，正确；对于，42=2， （24）4=2，（28）4=log 34，（42）=（24）4（28）4，错误；对于， = ，2 = 2，（ ） （2 ）= 2= 20，（ ）+（2 ）= + 20，错误- 10 -综上，所有正确结论的序号为故答案为：三、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （12 分）已知函数
13、的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为 （1）求函数 f（x）的对称轴方程及单调递增区间；（2）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，得到函数 y=g（x）的图象，当 x（ ， ）时，求函数g（x）的值域【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【解析】 （1）函数= sin2x+ =sin（2x+ ）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为 = ，=1，f（x）=sin（2x+ ）+ 令 2x+ =k+ ，求得 x= + ，故函数 f（x）的对称轴方程为得 x= + ，kZ（2）将函数 y=
14、f（x）的图象向右平移 个单位后，可得 y=sin（2x + ）+ =sin（2x ）+ 的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，得到函数 y=g（x）=sin（4x ）+ 的图象当 x（ ， ）时，4x （ ， ） ，sin（4x ）（1，1，- 11 -故函数 g（x）的值域为（ ， 18 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量=（sinA+sinC，sinB） ， =（cb，ca） ，且 （1）求角 A 的大小；（2）若 a=3，b+c=5，求ABC 的面积【考点】余弦定理【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）
15、向量 =（sinA+sinC，sinB） ， =（cb，ca） ，且 由题意结合向量共线可得：（sinA+sinC） （ca）=sinB（cb） ，由正弦定理可得（a+c） （ca）b（cb）=0，3 分整理可得：b 2+c2a 2=bc，由余弦定理可得 cosA= = ，5 分A 为三角形的内角，A=60；6 分（2）由余弦定理可得 b2+c29=bc，（b+c） 29=3bc，9 分解得：bc= ，10 分ABC 的面积 S= bcsinA= = 12 分19 （12 分）已知函数 f（x）=aln（x+1）+x 2+1，g（x）=x 22mx+4（1）当 a0 时，求曲线 y=f（x）的
16、切线斜率的取值范围；（2）当 a=4 时，若存在 x10，1，x 21，2，满足 f（x 1）g（x 2） ，求实数 m 的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】 （1）函数 f（x）=aln（x+1）+x 2+1 的定义域为（1，+） ，f（x）= +2x= =2 2，- 12 -当且仅当 即 x= （1，+）时取“=”所以函数 y=f（x）图象上任一点处切线斜率的取值范围为2 ，+） （2）函数 f（x）=4ln（x+1）+x 2+1（x1） ，f（x）= +2x= ，当 x0，1时，f（x）0，f（x）为减函数，所以 f（x）在0，1上最大值为 f（0）=1，因为存在 x
17、10，1，x 21，2，使 f（x 1）g（x 2） ，所以只要 f（x）在 x0，1上的最大值大于等于 g（x）在 x1，2的最小值即可，只要 g（1）1 或 g（2）1，即12m+41 或44m+41，解得 m 20 （12 分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为 100m 的扇形土地 OAB 上建造市民广场规划设计如图：矩形 EFGH（其中 E，F 在圆弧 AB 上，G，H 在弦 AB 上）区域为运动休闲区，OAB 区域为文化展示区，其余空地为绿化区域，已知 P 为圆弧 AB 中点，OP 交 AB 于 M，cosPOB= ，记矩形 EFGH 区域的面积为 Sm2（1）设POF=
18、（rad） ，将 S 表示成 的函数；（2）求矩形 EFGH 区域的面积 S 的最大值【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】 （1）由题意可知：OF=OB=100，OM=OBcosPOB=100 =35，故矩形 EFGH 中， EF=2OFsinPOF=200sin，FG=OFcosPOFOM=100cos35，故 S=EFFG=200sin（100cos35）=1000sin（20cos7） ，即所求的函数关系式是 S=1000sin（20cos7） ， （0POB） ；（2）f（）=1000cos（20cos7）+1000sin（20sin）- 13 -=1000（40cos 27cos
19、20） ，由 f（）=0，即 40cos27cos20=0，解得 cos= 或 cos= ，因为 0POB，所以 coscosPOB，所以 cos= ，设 cos 0= ，且 0 0POB，则当 （0， 0）时，f（）0，f（）是增函数，当 （ 0，+）时，f（）0，f（）是减函数，所以当 = 0时，即 cos= ，f（）取得最大值，此时 S 有最大值为 5400m3，即矩形 EFGH 区域的面积 S 的最大值 5400m321 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性；（2）求函数 的零点个数【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】 （1）f（x）=（x+1） （e x+a） ，a
20、0 时，x（，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，故 f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，a0 时，由 f（x）=0，解得：x=1 或 x=ln（a） ，若 a= ，则 ln（a）=1，f（x）0 恒成立，故 f（x）在 R 递增，若 a0，则 ln（a）1，故 x（，ln（a） ）（1，+）时，f（x）0，当 x（ln（a） ，1）时，f（x）0，故 f（x）在（ln（a） ，1）递减，在（，ln（a） ） ， （1，+）递增；若 a ，则 ln（a）1，当 x（，1）（ln（a） ，+）时，f（x）0，- 14 -当 x（1，ln（a）时，f（x）0，故 f（x）在（1，
21、ln（a） ）递减，在（，1） ， （ln（a） ，+）递增，综上，当 a0 时，f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，当 a0 时，f（x）在（ln（a） ，1）递减，在（，ln（a） ） ， （1，+）递增，当 a= 时，f（x）在 R 递增，当 a 时，f（x）在（1，ln（a） ）递减，在（，1） ， （ln（a） ，+）递增；（2）由已知得 F（x）= ，令 g（x）=xe xa（x0） ，g（x）=（x+1）e x0，故 g（x）在（0，+）递增，则 g（x）g（0）=a，故 a0 或 a=e 时，F（x）在 y 轴两侧各有 1 个零点，共 2 个零点，当 a=0 时，a（x+
22、1）恒为 0，F（x）有无数个零点22 （10 分）已知函数 f（x）=|xa|x2|（1）当 a=3 时，求不等式 f（x）2 的解集；（2）若 x1，2时不等式 f（x）2 成立，求实数 a 的取值范围【考点】不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法【解析】 （1）函数 f（x）=|xa|x2|，当 a=3 时，f（x）=|x+3|x2|= ；则 x3 时，不等式 f（x）2 化为52，x3；3x2 时，不等式 f（x）2 化为 2x+12，3x ；x2 时，不等式 f（x）2 化为 52，x；综上，不等式的解集为x|x ；（2）x1，2时不等式 f（x）2 成立，- 15 -即|xa|x2|2 成立，等价于|xa|2+|x2|成立；|xa|4x，x4xa4x，即 2x4a4；又 y=2x4 在1，2上的最小值为2，实数 a 的取值范围是2a4
