1、- 1 -“七校联盟”2018-2019 学年度第一学期期中联合测试高二数学试题（盐城卷）一.填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“ ， ”的否定是_.【答案】【解析】【分析】由命题的否定即可得出.【详解】由非命题的意义可得：命题“ ， ”的否定是“ ”，正确.【点睛】命题的否定即命题的对立面 “全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立” ；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题” ， “存在性命题”的否定一定是“全称命题” 2.抛物线 的焦点坐标为_【答
2、案】【解析】试题分析：由抛物线 x2=4y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标解：抛物线 x2=4y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p=4，抛物线 x2=4y 的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）考点：抛物线的简单性质3.已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8，9，10，10，8，则该组数据的方差_.【答案】【解析】- 2 -4.已知 ,则“ 成立 ”是“ 成立”的_ 条件 （请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空） 【答案】必要不充分【解析】【分析】分别求解绝对值不等式与分式不等式，再由充分必要条件的判定方法得答案【详
3、解】由|x1|2，得2x12，1x3，由 ，得 0x3由|x1|2，可得 ，反之，由 ，不能得到|x1|2“|x1|2 成立”是“ 成立”的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点睛】本题考查充分必要条件的判定方法，考查绝对值不等式与分式不等式的解法，是基础题5.下图给出的伪代码运行结果 是_ .- 3 -【答案】16【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 x，i 的值，当 i=10 时不满足条件，退出循环，输出 x 的值为 16【详解】模拟程序的运行，可得i=1，x=4满足条件 i10，执行循环体，x=5，i=4满足条件 i10，执行循环体，x=9，i=7满足条件 i10，执行循
4、环体，x=16，i=10此时，不满足条件 i10，退出循环，输出 x 的值为 16故答案为：16【点睛】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的 x，i 的值是解题- 4 -的关键，属于基本知识的考查6.椭圆 的焦距是 2，则 m 的值是_.【答案】3 或 5【解析】试题分析：当焦点在 x 轴时 ，当焦点在 y 轴时5 或 3考点：椭圆方程与性质点评：求解本题要注意分焦点在 x 轴 y 轴两种情况，当焦点在 x 轴时方程为 ，当焦点在 y 轴时方程为7.某学校要从 A，B，C，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则 A，B 两名老师都被选中的概率是_【答案】【解析】【分
5、析】基本事件总数 n= =6，A，B 两名老师都被选中包含的基本事件个数 m= ，由此能求出A，B 两名老师都被选中的概率【详解】某学校要从 A，B，C，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，基本事件总数 n= =6，A，B 两名老师都被选中包含的基本事件个数 m= ，A，B 两名老师都被选中的概率是 p= 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题- 5 -8.设 z2x+y，其中 x，y 满足条件 ，则 z 的最大值为 _【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最值即可【详解】
6、作出可行域，如图，作出直线 y=2x，并平移，当直线经过点 A 时 z 取最大值，解方程组 ，得 A（3，0） ，此时最大值 z=23+0=6，故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法9.若正实数 a，b 满足 ，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】由题意可得 = 2 =2 ，由不等式的性质变形可得【详解】正实数 a，b 满足 ， = 2 =2 ，- 6 -ab2当且仅当 = 即 a= 且 b=2 时取等号故答案为：2 【点睛】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题10.记函数 的定义域为 在区间
7、上随机取一个数 ，则 的概率是_【答案】 【答案】【解析】由 6+x-x20,即 x2-x-60 得-2x3,所以 D=-2,3-4,5,由几何概型的概率公式得xD 的概率 P= ,答案为 .点睛：本题考查的是几何概型.对于几何概型的计算，首先要确定所法事件的类型为几何概型并确定其几何区域是长度（角度、面积、体积或时间等） ，其次是计算基本事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等）和事件 A 区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等） ，最后计算 .11.经过点 且与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程为_【答案】【解析】【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解
8、即可【详解】与双曲线 y 2=1 有公共渐近线的双曲线的方程可设为线 y 2=， （0） ，双曲线过点（2，-2） ，= ，即 y 2=2，即 ，- 7 -故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键比较基础12.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 (ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，P 是椭圆上一点， 为左准线， ，垂足为 Q.若四边形 PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率 e 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设 P（x，y） ，根据 PQl 且四边形 PQFA 为平行四边形，得|PQ|=x+ =a+c，可得x=a+c 利用点 P 的横坐标满足
9、x（a，a） ，建立关于 a、c 的不等式组，再化成关于离心率的一元二次不等式，解之即可得到椭圆的离心率 e 的取值范围【详解】设 P（x，y） ，则PQl，四边形 PQFA 为平行四边形，|PQ|=x+ =a+c，可得 x=a+c椭圆上点 P 的横坐标满足 xa，a，且 P、Q、F、A 不在一条直线上aa+c a，即 2a+c 0 且 c 0化简得 2+e 0，即 e2+2e10解之得 e 或 e椭圆的离心率 e（0，1）椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ，1）故答案为：（ ，1）- 8 -【点睛】本题给出椭圆上一点 P 在左准线上的射影点为Q，P、Q 与左焦点 F 和右顶点 A 构成平行四
10、边形，求椭圆的离心率着重考查了椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于基础题13.若方程 有实根，则实数 的取值范围是 _【答案】【解析】【分析】利用数形结合来求解，方程 的解，可看作函数 y= 与 y=x+m 的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中，做出函数 y= 与 y=x+m 的图象，判断 x 取何值时，两函数图象有交点即可【详解】 的解可看作函数 y= 与 y=x+m 的图象的交点的横坐标，函数 y= 的图象为椭圆 在 x 轴上方的部分，函数 y=x+m 的图象为斜率是 1 的直线借助图象可知，直线与椭圆有交点时，如图m 的取值范围是故答案为 .- 9 -【点睛】本题主要考查了利用直线与圆的
11、位置关系判断方程的解的情况14.已知不等式 xyax 22y 2，若对任意 x1，2，且 y2，3，该不等式恒成立，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将 a 分离出来得 a 2（ ） 2，然后根据 x1，2，y2，3求出 的范围，令 t= ，则at2t 2在1，3上恒成立，利用二次函数的性质求出 t2t 2的最大值，即可求出 a 的范围【详解】由题意可知：不等式 xyax 2+2y2对于 x1，2，y2，3恒成立，即：a 2（ ） 2，对于 x1，2，y2，3恒成立，令 t= ，根据下图可知则 1t3，at2t 2在1，3上恒成立，y=2t 2+t=2（t ） 2+ ，1t3，
12、y max=1，a1故答案为： - 10 -【点睛】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧值得同学们体会与反思属于中档题二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤15.已知中心在坐标原点的椭圆 C，F 1，F 2 分别为椭圆的左.右焦点，长轴长为 6，离心率为（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知点 P 在椭圆 C 上，且 PF1=4，求点 P 到右准线的距离【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得 a，再由离心率求得 c，结合隐含条
13、件求得 b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得 PF2，再由椭圆的第二定义可得点 P 到右准线的距离【详解】 （1）根据题意： ，解得 ，b 2=a2c 2=4，椭圆 C 的标准方程为 ；（2）由椭圆的定义得：PF 1+PF2=6，可得 PF2=2，设点 P 到右准线的距离为 d，根据第二定义，得 ，解得： - 11 -【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题16.某校从高二年级学生中随机抽取 100 名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：40，50） ，50，60） ，90，100后得到频率分布直方图（如图所示） ，（1）求分数在70，80）中
14、的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在40，50）和50，60）的学生中共抽取 5 人，该 5 人中成绩在40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的 5 人中，随机选取 2 人，求分数在40，50）和50，60）各 1 人的概率【答案】 （1）30；（2）2；（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图先求出分数在70，80）内的概率，由此能求出分数在70，80）中的人数（2）分数在40，50）的学生有 10 人，分数在50，60）的学生有 15 人，由此能求出用分层抽样的方法从分数在40，50）和50，60）的学生中共抽取 5 人，抽取的 5 人中分数在40，50）的人数（3）用分层抽样
15、的方法从分数在40，50）和50，60）的学生中共抽取 5 人，抽取的 5 人中分数在40，50）的有 2 人分数在50，60）的有 3 人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出分数在40，50）和50，60）各 1 人的概率【详解】 （1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为 1，因此分数在70，80）内的概率为：1（0.005+0.010+0.0152+0.025）10=0.3，分数在70，80）中的人数为：0.3100=30 人 - 12 -（2）分数在40，50）的学生有：0.01010100=10 人，分数在50，60）的学生有：0.01510100=1
16、5 人，用分层抽样的方法从分数在40，50）和50，60）的学生中共抽取 5 人，抽取的 5 人中分数在40，50）的人有： （3）分数在40，50）的学生有 10 人，分数在50，60）的学生有 15 人，用分层抽样的方法从分数在40，50）和50，60）的学生中共抽取 5 人，抽取的 5 人中分数在40，50）的有 2 人，设为 ，分数在50，60）的有 3 人，设为 ， ，5 人中随机抽取 2 人共有 n=10 种可能，它们是：， ， ， ， ， ， ， ， ，分别在不同区间上有 m=6 种可能 ， ， ， ， ，所以分数在40，50）和50，60）各 1 人的概率 P= = 【点睛】本
17、题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用17.已知命题 ：二次函数 在区间 是增函数；命题 ：双曲线 的离心率的范围是 .（1）分别求命题“ ” .命题“ ”均为真命题时 m 的取值范围.（2）若“p 且 q” 是假命题， “p 或 q”是真命题，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）对于 p：求出二次函数 f（x）=x 27x+6 的对称轴为 ，由题意知 ，若 p 真，求出 m 的取值范围，对于 q：由 是双曲线，可得（4m） （m1）0，得1m4，由 ，得 m3，若 q 真，取交集即可
18、求出 m 的取值范围；- 13 -（2）由题意知：p，q 一真一假，若 p 真 q 假，则 m4，+） ；若 p 假 q 真，则 ，从而可求出实数 m 的取值范围【详解】(1)对于 ：因为二次函数 的对称轴为 ，由题意知 ，若 真，则 ； 对于 ： 双曲线，（4-m）(m-1)0,得 得 ，故 ，即若 真，则 (2)由题意知： ， 一真一假， 若 真 假，则 ； 若 假 真，则 ；综合得实数 的取值范围为【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数的单调性以及双曲线的性质，属于中档题18.设函数 （1）若不等式 的解集为 (-1,3),求 a,b 的值；（2）若 求 的最小值(3)若 ,
19、求不等式 的解集.【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式与二次方程的关系可求 a，b；（2）由已知可得，a+b=1，然后根据基本不等式的应用条件进行配凑后，进行 1 的代换即可求解；（3）把已知条件代入，然后进行分类讨论进行求解【详解】 （1）由不等式 f(x)0 的解集为(-1,3)可得：方程 的两根为- 14 -且 由根与系数的关系可得： （2）若 ，则 ， ， 所以 的最小值为 （当且仅当 时式中等号成立）(3) 当 ，不等式 即即 ，不等式可化为 ，原不等式的解集为 ，原不等式可化为 当 时，原不等式的解集为 当 时，原不等式的解集为 当 时，原
20、不等式的解集为【点睛】本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系，一元二次不等式的解法及分类讨论思想的应用19.如图，在 C 城周边有两条互相垂直的公路 ，在点 O 处交汇，且它们的夹角为 90.已知 OC4 km，OC 与公路 夹角为 60.现规划在公路 上分别选择 A，B 两处作为交汇点(异于点 O)直接新建一条公路通过 C 城，设 OAx km，OBy km.(1) 求出 y 关于 x 的函数关系式并指出它的定义域；- 15 -(2) 试确定点 A，B 的位置，使AOB 的面积最小【答案】 （1）见解析；（2）【解析】面积相等法，建立 的关系式， ，根据 得 ；，分子分母的 x 的次数不等
21、，要转化为 x 的次数相等，然后用均值定理。解：（1）整理得 ，过 C 作 OB 平行线与 OA 交于 D， ，故 .定义域为 .（2） ,当且仅当 即 时取等.所以当 时， 有最小值为 .答：当 OA=4 ，OB= 时，使 的面积最小.20.已知直线 经过椭圆 的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆 的右顶点为 ，点 为椭圆 上位于 轴上方的动点，直线 与直线 分别交于 两点（1）求椭圆 的方程；- 16 -（2）求证：直线 AS 与 BS 的斜率的乘积为定值；（3）求线段 MN 的长度的最小值【答案】 （1） ；（2） ；（3）【解析】【分析】（1）利用直线 x2y+2=0 经过椭圆 C： =1
22、（ab0）的左顶点 A 和上顶点 D，求出A，D 的坐标，即可求椭圆 C 的方程；（2）设点 S 的坐标为（x 0，y 0） ，可得 = ，利用点 S 在椭圆上，即可证明 k1k2为定值；（3）设直线 AS 的方程为 y=k1（x+2） ，可得 M 的坐标，利用 ，可得直线 BS 的方程，从而可得 N 的坐标，求出 MN，利用基本不等式，即可求线段 MN 的长度的最小值【详解】 （1）由已知得，椭圆 的左顶点为 上顶点为故椭圆 的方程为 （2）设（3） （常规方法，函数思想）直线 AS 的斜率 显然存在，且 ，故可设直线 的方程为 ，从而 由 得 0设 则 得 ，从而- 17 -即 又 由 得 故 又当且仅当 ，即 时等号成立 时，线段 的长度取最小值【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题
