1、- 1 -江苏省常州市武进区 2018 届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知集合 ， ，则 等于_【答案】【解析】综上所述，答案为2. 函数 的最小正周期为_.【答案】【解析】函数的周期故答案为3. 若 ， 共线，则实数 的值为_【答案】-6【解析】 共线，解得故答案为4. 设 ，则“ ”是 “ ”的_条件. （用“充要” 、 “充分不必要” 、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【答案】充分不必要- 2 -【解析】，解得当 时，当 时，是 的充分不必要条件。5. 在等差数列
2、 中，若 ， ，则 _【答案】【解析】在等差数列 中，由等差数列的性质可得：即又故答案为6. 已知在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则角 为_【答案】【解析】由正弦定理可得：，得解得- 3 -故答案为77. 设实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_.【答案】1【解析】，当 ， 时，故 的最小值为8. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 ，则这个球的表面积为_.【答案】【解析】设正方体的棱长为 ，则正方体的表面积为 ，正方体的表面积为，解得一个正方体的所有顶点在一个球面上正方体的体对角线等于球的直径，即 ，- 4 -则球的表面积为9. 若函
3、数 的定义域是 ，则函数 的定义域为_【答案】【解析】 的定义域是的定义域是则 的定义域为故答案为10. 在 中， ， ， .若 ， （ ） ，且，则实数 的值为_.【答案】3【解析】 ，则， AC原式故实数 的值为11. 若集合 中恰有唯一的元素，则实数 的值为_.- 5 -【答案】2【解析】集合 中恰有唯一的元素当 时，则故答案为12. 已知 ， ， ，则 的最小值为 _.【答案】【解析】原式故答案为13. 中，若 、 、 依次成等比数列，则 的取值范围为_.【答案】【解析】由已知得 ，则即- 6 -的取值范围是故答案为点睛：由两角和的正切值可以建立 与 、 的关系，题目中 、 、 依次成
4、等比数列也会有数量关系，再运用基本不等式即可求出 的取值范围。14. 已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， .若对任意 、 、 ，都有 成立，则实数 的最大值是_.【答案】【解析】当 时，又 ， 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；当 、 、 时都有 ，若 ，则 舍去若 时，则，解得故答案实数 的最大值是- 7 -二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量 ， ， 若 ，求 的值； 令 ，把函数 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 的单调递
5、增区间.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析： 由条件 可得向量数量积，得出 、 的数量关系，即可求出 ，就可以求出结果(2)根据三角函数的图象平移，按照条件给出的横坐标都缩小为原来的一半，再把所得图象沿 轴向左平移 个单位，得出三角函数的图象。解析： ， ， ， . ， 把函数 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变） ，得到 ， 再把所得图象沿 轴向左平移 个单位，得到 ， 由 得 ，- 8 -的单调增区间是 . 16. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 面 ABCD，且 AB2， AD4，AP4， F 是线段 BC 的中点. 求证：面
6、PAF 面 PDF； 若 E 是线段 AB 的中点，在线段 AP 上是否存在一点 G，使得 EG 面 PDF？若存在，求出线段 AG 的长度；若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1） PA 面 ABCD， 面 ABCD， PA DF ，在矩形内根据 F 是线段 BC 的中点和长度，根据勾股定理求得 AF DF，即得证 (2)解法一：延长 AB 交 DF 延长线于点 M，连结 PM.这样将面 PDF 延伸，当 EG PM 时存在一点 G，使得 EG 面 PDF 解法二：构造平行四边形，取 DF 中点 I，连结 EI，过点 G 作 AD 的平行线交 PD
7、 于点 H，连结GH、 HI.证得四边形 GEIH 是平行四边形，根据线面平行判定定理即可证得。解析： PA 面 ABCD， 面 ABCD， PA DF，又 在底面 ABCD 中， ， ， AF DF， ， DF 面 PAF， - 9 -面 PDF，面 PAF 面 PDF. 解：法一、假设在线段 AP 上存在点 G，使得 EG 面 PDF.连结 AB 并延长交 DF 延长线于点M，连结 PM.F 是线段 BC 的中点，底面 ABCD 是矩形， EG 面 PDM， 面 PAM，面 PAM 面 PDM=PM，EG PM， ， ，故在线段 AP 上存在点 G，使得 EG 面 PDF，此时 .法二、假
8、设在线段 AP 上存在点 G，使得 EG 面 PDF.取 DF 中点 I，连结 EI，过点 G 作 AD 的平行线交 PD 于点 H，连结 GH、 HI.E 是线段 AB 的中点， 是梯形 ABFD 的中位线， EI GH， EG 面 PDF， 面 GEIH，面 GEIH 面 PDM=IH，EG IH， - 10 -四边形 GEIH 是平行四边形， ， ，故在线段 AP 上存在点 G，使得 EG 面 PDF，此时 .点睛：本题的第（2）问是否存在点使得线面平行，可以先假设存在，然后根据线面平行的判定定理，找出一条线与已知线平行，这里运用了两种方法，一是延展面，在三角形中找线线平行，二是构造平行
9、四边形，根据线线平行，证得线面平行。17. 如图，已知直线 与曲线 在第一象限和第三象限分别交于点 和点 ，分别由点 、 向 轴作垂线，垂足分别为 、 ，记四边形 的面积为 S. 求出点 、 的坐标及实数 的取值范围； 当 取何值时， S 取得最小值，并求出 S 的最小值. - 11 -【答案】(1) 详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得直线与曲线交两点，联立直线与曲线方程解得两点坐标，由 得， 即 ， ，再由第一象限和第三象限求得 的取值范围（2）要求出 S 的最小值，将四边形沿 轴分割成两个三角形，以 为公共底，为高，表示出 ，运用不等式求出结果解析： 由 得， ，即
10、 ，解得 或 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 点 在第三象限， ，得 ，故 ， ，故实数 的取值范围为 ； ，则 ， ， ，故 关于 的函数关系式 ， - 12 -得 ，当且仅当 时等号成立， 即四边形 面积取得最小值 8 时， . 18. 已知某公司生产某产品的年固定成本为 100 万元，每生产 1 千件需另投入 27 万元，设该公司一年内生产该产品 千件 并全部销售完，每千件的销售收入为 万元，且. 写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润年销售收入 年总成本）.【答案】(1)详见解析;(
11、2) 千件.【解析】试题分析： 由年利润年销售收入 年总成本，结合 ，即可得到所求的解析式；由 的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。解析： 当 时，； 当 时， . .当 时，由 ，- 13 -得当 时， ，单调递增；当 时， ，单调递减.故 ； 当 时， ，当且仅当 时， . 综合、知，当 时， 取最大值 . 所以当年产量为 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大. 19. 已知数列 中， ，前 项和 满足 （ ） 求数列 的通项公式； 记 ，求数列 的前 项和 ； 是否存在整数对 （其中 ， ）满足 ？
12、若存在，求出所有的满足题意的整数对 ；若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2) ;(3) ， ， 【解析】试题分析： 当 时,可得 （ ） ，而当 时，（ ） ，可得到数列 是首项为 ，公比也为 的等比数列，从而可求数列的通项公式；由 知 ，代入 ，对通项公式进行裂项，即可求得数列 的前 项和 ；要求出所有的满足题意的整数对 ，根据题目意思表达出 关于 的表达式，- 14 -然后进行讨论。解析： 当 时， 与 相减，得 ，即 （ ） ， 在 中，令 可得， ，即 ； 故 （ ） ，故数列 是首项为 ，公比也为 的等比数列，其通项公式为 ；由 知， ， 则 ，即 ，即 ， 若存在整数对 ，则
13、 必须是整数，其中 只能是 的因数，可得 时， ； 时， ； 时， ； 综上所有的满足题意得整数对为 ， ， 20. 已知函数 ，函数 的导函数为 若直线 与曲线 恒相切于同一定点，求 的方程； 若 ，求证：当 时， 恒成立； 若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围- 15 -【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) .【解析】试题分析：（1）由直线 与曲线 恒相切于同一定点转化为曲线 必恒过定点，即可求出切线 的方程（2）构造 ，研究 的单调性，从而证明当 时， 恒成立（3）按照题目意思构造 ，求导后进行分类讨论，当 时、当 时和当 时三种情况，求得实数 的取值范围解析： 因为直线 与曲线
14、恒相切于同一定点，所以曲线 必恒过定点，由 ，令 ，得 ，故得曲线 恒过的定点为 . 因为 ，所以切线 的斜率 ， 故切线 的方程为 ，即 . 因为 ，所以令 ，设 ， 在 上单调递增， 当 时， ，即 在 上恒成立， 在 上单调递增，因为 ，故当 时， 即 恒成立； 令 ，则 .， ，- 16 -当 时，因为 ，所以 在 上单调递增，故 ，因为当 时， ，所以 在 上单调递增，故 .从而，当 时， 恒成立. 当 时，由可得 ，所以 在 上单调递增，故 .从而，当 时， 恒成立. 当 时， 在 上单调递增，所以当 时， 在 内取得最小值 .故必存在实数 ，使得在 上 ，即 在 上单调递减，所以当 时， ，所以 在 上单调递减，此时存在 ，使得 ，不符合题设要求. 综上所述，得 的取值范围是 . 说明：也可以按以下方式解答：当 时， 在 上单调递增，所以当 时， 在 内取得最小值 ，当 时， ，所以 ，故存在 ，使得 ，且当 时， ，下同前述的解答.点睛：本题主要考查了导数的运用：利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，转化为求函数的最值问题，注意运用导数求单调区间和最值，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于难题，因此正确的运用导数的性质是解题的关键.- 17 -
