1、- 1 -江苏省徐州市 2019 届高三数学第一学期期中模拟试卷一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)1.已知集合 ， ，则 _【答案】【解析】【分析】由题意化简集合 ， ，根据集合交集运算求解即可.【详解】因为 ， ，所以 ，故 0,7，故填 .【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的交集运算，属于中档题.2.设复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 为_【答案】2【解析】由题意可得： ，则： .3.一组数据共 个，分为 组，第 组到第 组的频数分别为 ，第 组的频率为 ，则第组的频数为_【答案】8【解析】【分析】根据第 5 组的频
2、率可求出第 5 组的频数，根据第 1 组到第 5 组的频数，可求出第 6 组的频数.【详解】因为数据共 40 个，第 组的频率为 ，所以第 5 组的频数为 ，所以第 6组的频数为 .【点睛】本题主要考查了频率，频数的概念，属于中档题.4.如图所示的流程图，若输入 的值为 ，则输出的结 果 _- 2 -【答案】1【解析】【分析】根据框图可知，当循环三次后 时，可跳出循环， ，输出结果.【详解】第一次， ，第二次， ，第三次， ，跳出循环， ，输出 1.【点睛】本题主要考查了框图，框图的循环结构，属于中档题.5.函数 ， 的值域为_【答案】【解析】【分析】因为函数 是增函数，根据函数增减性的性质可
3、求出最大值，从而写出值域.【详解】因为函数 在 R 上是增函数，所以当 时， ，又 ，所以，故函数的值域为 .【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数求函数的值域，属于中档题.6.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_【答案】【解析】- 3 -由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有 （种） ，其中他们在同一个食堂用餐的情况有 2 种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为 .点睛：此题主要考查有关计数原理、古典概型概率的计算等有关方面的知识和运算技能，属于中低档题型，也是高频考点.在计算古典概型中任意一随机
4、事件发的概率时，关键是要找出该试验的基本事件总数和导致事件发的基本事件数，在不同情况下基本事件数的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计数原理. 7.已知 满足 ，则 的最大值为_【答案】1【解析】【分析】由已知条件作出不等式组对应的平面区域，则 k 的几何意义为点 到定点 的斜率，利用数形结合即可得出结论.【详解】画出可行域如图:因为 k 的几何意义为点 到定点 的斜率，则由图象可知 AB 的斜率最大，其中，此时 ，故填 1.【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，直线的斜率，数形结合的思想，属于中档题.8.设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为该双曲线上一点，若 与轴垂直，
5、,则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】- 4 -【分析】由条件可推导出 ，由此可求出双曲线离心率.【详解】因为 ,所以 ， ，即 ，即 ,故填【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，双曲线的定义，属于中档题.9.已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】试题分析：一个圆锥的母线长为 ，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为 ，即圆锥的底面的周长为 ，设圆锥的底面半径是 ，则得到 ，这个圆锥的底面半径为 ，所以圆锥的高为 ，所以圆锥的体积为 .考点：圆锥的体积及侧面展开图的应用.【方法点晴】本题主要综合考查了有关扇形和圆锥的相关计算，基本的解题思想：解决此类
6、问题时要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长党羽侧面展开图的扇形弧长，正确的对这两个关系的记忆和灵活应用是解题的关键，同时着重考查了学生的空间想象能力和推理、运算能力，属于中档试题.10.在ABC 中， 所对边的长分别为 a，b，c已知 a c2b，sinB sinC，则 _【答案】【解析】试题分析：因为 sinB sinC，由正弦定理得： ，由余弦定理得：考点：正余弦定理- 5 -11.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 被圆 截得的弦长是定值（与实数 m 无关） ，则实数 k 的值为_【答案】【解析】【分析】根据圆心距，半弦长，半
7、径为直角三角形可知，直线的弦长为定值时， 为定值，即可求出 k.【详解】由圆的方程可得 ，所以圆心为 ，圆心到直线的距离 ， 由题意 ，不论 m 取何值时，此式为定值，所以 时， 为定值 1，即 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的相交，点到直线的距离，圆的平面几何性质，属于中档题.12.已知 ， ， ，则 的最小值为 【答案】【解析】试题分析：设 则而，所以最小值为考点：基本不等式13.已知函数 函数 ，若函数 恰有 个不同的零点，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】- 6 -分析：函数 恰有 4 个零点，等价于 的图象与 有四个交点，只需 ， 与 ， ，与 轴都有两个交点，画出图象，利用数
8、形结合思想求解即可.详解：由题意，当 时，即方程 有四个解，又由函数 与函数 大致形状可知，直线 与函数 的左右两支曲线与 都有两个交点，当 时，函数 的最大值为 ，则 ，同时在 上 的最小值，当 时，在 上 ，要使 恰有四个零点，则满足，即 ，解得 ，故答案为 .点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根
9、的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质14.对于实数 ，定义： ，已知数列 满足 ， ，设 表示数列 的前 和，若 ，则 的值为_.【答案】118【解析】- 7 -【分析】对 a 分类讨论，利用递推关系可得周期性，进而得出所求结果.【详解】当 时，因为 ， ， 可得： ，同理可得： 故可知 ，数列 是周期为 5 的周期数列，所以 ，解得 或 ，不合题意舍去.当 时，因为 ， ， 可得：，同理可得： 故可知 ，数列是周期为 5 的周期数列，所以 ，解得或 （舍去）所以 ， , ,所以 ，故填 118.【点睛】本题主要考查了数列递推关系，数列的周期性，分类讨论方法，属于
10、难题.二、解答题(本大题共 6 个小题，共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知 .（1）若 ，求角 的值；（2）求 的最小值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先由向量垂直坐标表示得 ，即 ，再根据角范围，确定 （2）先根据向量的模的定义得 ，再根据同角三角函数关系及配角公式得 ，最后根据角的范围 ，根- 8 -据余弦函数确定最值试题解析：（1）因为 ，且所以 ，即 ，又 ，所以 ，（2）因为 ，所以因为 ，所以 ，故当 时， 取到最小值 .考点：向量垂直及模，三角函数性质16.如图，在直三棱柱 中， ，点 为棱 的中点求证：(1
11、) 平面 ；(2)平面 平面 【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1） 与平面 内的 平行，所以 平面 .（2）通过证明 ， 可得 平面 结合 平面 ， 可得平面 平面 试题解析：（1）在三棱柱 中， ，- 9 -又 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）在直三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，所以 因为 ，所以 又因为点 为棱 的中点，所以 又 ， 平面 ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 点睛：本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;
12、三、利用两直线都垂直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等。17.如图，是一个半径为 2 千米，圆心角为 的扇形游览区的平面示意图点 C 是半径 上一点，点 D 是圆弧 上一点，且 现在线段 、线段 及圆弧 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每千米为 元，线段 及圆弧 处每千米均为 元设 弧度，广告位出租的总收入为 y 元（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；- 10 -（2）试问 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值【答案】 （1） ， (2) 在 处取得最大值，即.【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得 OC 的值，
13、再求弧长 DB，求出函数 y 的解析式，写出 x 的取值范围（2）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应的 x 的值.【详解】 （1）因为 ，所以 ，在 中， ， ， km，由正弦定理得 ， 得 km， km 又圆弧 长为 km所以， （2）记 ， .则 ，令 得 ，当 变化时， 的变化如下表：0递增 极大值 递减- 11 -所以 在 处取得极大值，此极大值即为最大值，即 .故当 时，广告位出租的收入最大，最大值为 元.【点睛】本题主要考查了三角函数模型的应用题，结合正弦定理求解析式，再利用导数研究单调性求最值，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的下顶点
14、为 ，点 是椭圆上异于点 的动点，直线 分别与 轴交于点 ，且点 是线段 的中点当点 运动到点 处时，点 的坐标为 （1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线 交 轴于点 ，当点 均在 轴右侧，且 时，求直线 的方程【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先求直线 的方程，即得 B 坐标，有 ；再将 N 坐标代入椭圆方程解得a（2）设直线 的斜率为 ，解得 P 点坐标，根据中点坐标公式得 Q，利用直线方程与椭圆方程联立方程组解得 M,N，根据横坐标之间比例关系求 k,即得直线 的方程试题解析：解：（1）由 ，得直线 的方程为 令 ，得点 的坐标为 - 12 -所以椭圆的方程为 将点 的坐标
15、 代入，得 ，解得 所以椭圆 的标准方程为 （2）方法一：设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 在 中，令 ，得 ，而点 是线段 的中点，所以 所以直线 的斜率 联立 ，消去 ，得 ，解得 用 代 ，得 又 ，所以 ，得 故 ，又 ，解得 所以直线 的方程为 方法二：设点 的坐标分别为 由 ，得直线 的方程为 ，令 ，得 同理，得 而点 是线段 的中点，所以 ，故 - 13 -又 ，所以 ，得 ，从而 ，解得 将 代入到椭圆 C 的方程中，得 又 ，所以 ，即 ，解得 （舍）或 又 ，所以点 的坐标为 故直线 的方程为 19.已知函数 ， ， （ ） （1）求函数 的极值；（2）已知 ，函数
16、， ，判断并证明 的单调性；（3）设 ，试比较 与 ，并加以证明【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）对函数 求导，从而确定函数的单调性及极值（2）先判断 在 上是增函数，再求导证明（3）由（2）知 ，在 上是增函数，从而令令求得.【详解】 （1） ，令 ，得 当 时， ， 是减函数；- 14 -当 时， ， 是增函数当 时， 有极小值 ， 无极大值 （2）= = ，由（1）知 在 上是增函数，当 时， ，即 ， ，即 在 上是增函数 （3） ，由（2）知， 在 上是增函数，则 ， 令 得， 【点睛】本题主要考查了导数在求函数单调性、极值、证明中的应用，属于中
17、档题.20.设数列 的各项均为不等的正整数，其前 项和为 ，我们称满足条件“对任意的，均有 ”的数列 为“好”数列（1）试分别判断数列 ， 是否为“好”数列，其中 ， ， ，并给出证明；（2）已知数列 为“好”数列 若 ，求数列 的通项公式； 若 ，且对任意给定正整数 （ ） ，有 成等比数列，求证： - 15 -【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由 ，运用等差数列的求和公式，通过 检验即可判断（2）对任意的 ，均有 ，令 ，则，即 ，消去 ，可得 从而证明为等差数列，进而求其通项公式 若 ，则 ，由 成等比数列，运用等比中项性质，结合等差数列的通项公式，化简整理，求得
18、 的表达式，分析整理由不等式性质，即可得证.【详解】 （1）若 ，则 ，所以 ，而 ，所以 对任意的 均成立，即数列 是“好”数列； 若 ，取 ，则 ， ，此时 ，即数列 不是“好”数列 （2）因为数列 为“好”数列，取 ，则 ，即恒成立当 ，有 ，两式相减，得 （ ） ，即 （ ） ，所以 （ ） ，所以 ，- 16 -即 ，即 （ ） ，当 时，有 ，即 ，所以 对任意 ， 恒成立，所以数列 是等差数列 设数列 的公差为 ， 若 ，则 ，即 ， 因为数列 的各项均为不等的正整数，所以 ，所以 ， ，所以 若 ，则 ，由 成等比数列，得 ，所以 ，即化简得， ，即 因为 是任意给定正整数，要
19、使 ，必须 ，不妨设 ，由于 是任意给定正整数，所以 【点睛】本题主要考查了新定义的理解和运用，等差和等比数列的通项公式和求和公式，以及化简整理的运算能力，属于难题.21.如图，四边形 是圆的内接四边形， ， 、 的延长线交于点 求证：平分 - 17 -【答案】见解析【解析】【分析】根据圆的内接四边形性质知 ，又 可得 ，根据传递性知即可得出结论.【详解】因为四边形 是圆的内接四边形，所以 因为 ，所以 又 ， 所以 ，即 平分 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，等腰三角形底角相等，对顶角相等，属于中档题.22.已知矩阵 ，向量 求向量 ，使得 【答案】【解析】【分析】利用矩阵的运算
20、法则及矩阵相等的定义即可求出.【详解】 ， 设 ，由 得 ，即 ， 解得 ，所以【点睛】本题主要考查了矩阵的运算法则，属于中档题.- 18 -23.在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程是 （ 是参数） 若以 O 为极点， 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 求直线 l 被曲线 截得的线段长【答案】【解析】【分析】消掉参数 得出直角坐标方程 ，利用弦心距，半径，半弦长构成直角三角形求解.【详解】由 得 两式平方后相加得 所以曲线 是以 为圆心，半径等于 3 的圆直线 l 的直角坐标方程为 ， 圆心 到 l 的距离是 ，所以直线 l 被曲线
21、截得的线段长为 【点睛】本题主要考查了参数方程，圆的方程，点到直线的距离，属于中档题.24.已知正数 满足 ，求 的最小值【答案】27【解析】【分析】由 得 ，待求式可化为 ，根据柯西不等式即可求解.【详解】由于 ，所以当且仅当 ，即 时，等号成立. - 19 -所以 的最小值为 27.【点睛】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题.25.某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已知 A、B 两学习小组各有 5 位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若 A 组1 人选听生活趣味数学 ，其余 4 人选听校园舞蹈赏析 ；B 组 2 人选听生活趣味数学 ，其余
22、3 人选听校园舞蹈赏析.（1）若从此 10 人中任意选出 3 人，求选出的 3 人中恰有 2 人选听校园舞蹈赏析的概率；（2）若从 A、B 两组中各任选 2 人，设 为选出的 4 人中选听生活趣味数学的人数，求的分布列和数学期望 .【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出（2）X 可能的取值为 ，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望.【详解】设“选出的 3 人中恰 2 人选听校园舞蹈赏析 ”为事件 ，则 ，答：选出的 3 人中恰 2 人选听校园舞蹈赏析的概率为 . 可能的取值为 ， ，故 .所以 的分布列
23、为：X 0 1 2 3- 20 -所以 的数学期望.【点睛】本题主要考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.26.如图，在平行四边形 中， ， ， ，四边形 为矩形，平面平面 ， ，点 在线段 上运动，且 （1）当 时，求异面直线 与 所成角的大小；（2）设平面 与平面 所成二面角的大小为 （ ） ，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）证明 平面 ，建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，故可得 ，求出 与 所成角的大小为 （2）设，利用向量表示出两个平面法向量的夹角余弦 ，根据，求出范围 .【详解】 （1）在ABC 中， ， ，则 ，所以 ，即 因为四边形 为矩形，所以 ，- 21 -因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，当 时， ，所以 所以 ， ，所以 ，所以 ，即异面直线 与 所成角的大小为 （2）平面 的一个法向量 ，设 ，由 ，得 即 ，所以 ， 设平面 的法向量 ，因为 即取 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量 ， - 22 -因为 ，所以 因为 ，所以 【点睛】本题主要考查了利用空间向量计算异面直线所成的角以及利用平面的法向量求二面角的余弦，属于中档题.
