1、- 1 -江苏省扬州中学 2018-2019 学年高一数学 10 月月考试卷（含解析）一、填空题（每小题 5 分，共 70 分）1.若全集 ，集合 ，则 =_【答案】 【解析】试题分析：因为 ，则 考点：集合的运算2.集合 的子集个数为_【答案】4【解析】【分析】由题意用列举法写出集合，然后推出子集的个数【详解】集合 ，集合的子集个数为：【点睛】本题主要考查了子集的个数问题，属于基础题。3.函数 定义域为_【答案】【解析】【分析】由 ，解得 的范围即可得出答案【详解】由 解得函数 定义域为【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求法，找出其限制条件，列出不等式即可求出结果，属于基础题。4.若函数
2、在 上递减，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】- 2 -【分析】根据二次函数图像和性质，可得 ，从而得出结论【详解】由题意可得：解得故实数 的取值范围是【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，讨论对称轴与区间的关系即可得到结果，属于基础题。5.若 ，则 _【答案】4【解析】【分析】直接利用分段函数求解函数值即可【详解】由已知得 ，故【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，求复合函数的值，属于基础题。6.已知函数 ，若 ，则 _【答案】【解析】【分析】根据题意首先构造奇函数，然后利用奇函数的性质求解函数值即可【详解】因为 ，则 ，故函数为奇函数，则【点睛】本题主要考查了函数的值的求法，属
3、于基础题。解题时要认真审题，注意函数的奇偶性的运用。7.下列各组函数中，表示相同函数的是_ 与 与 与 与- 3 -【答案】【解析】【分析】对四个结论逐个进行分析即可得出答案【详解】函数 的定义域为 ，值域为 ，而函数 的定义域为 ，值域为 ，故不是相同函数函数 的定义域为 ，值域为 ，函数 的定义域为 ，值域为 ，故不是相同函数两个函数的定义域为 ，值域为 ，对应法则也相同，故是相同函数函数 的定义域为 ，值域为 ，而函数 的定义域为 ，值域为 ，故不是相同函数综上所述，故答案为【点睛】本题主要考查了函数的定义的应用，熟练掌握相同函数必须满足函数的三要素都相同，即定义域，对应法则，值域都相同
4、，考查了分析问题解决问题的能力。8.已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意两个不等的实数 ，总有，则满足 的实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】结合函数的单调性与奇偶性求出不等式的解集【详解】由题意中对任意两个不等的实数 ，总有 ，故函数在区间上是单调增函数，又函数为偶函数，则在 上单调递减，故 即，解得 ，故实数 的取值范围是【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，在解题时运用函数的性质，尤其是偶函数，其单调性在对称轴两边不同，在解不等式时引入绝对值，这样就不用分类讨论了。9.已知函数 是二次函数，且满足 ，则 = _【答案】- 4 -【解析】【分析】设出二次函数的解析式，进一
5、步利用对应关系求出系数，从而求出结果【详解】设二次函数已知二次函数 满足即：可得： ，解得则【点睛】本题考查的知识点有：二次函数解析式的求法，待定系数法的应用，考查了计算能力，属于基础题。10.函数 的最小值为_【答案】1【解析】【分析】去掉绝对值后将函数写成分段函数的形式，然后求出最小值【详解】不难发现当 时函数有最小值【点睛】本题考查了函数的最值问题，在含有绝对值的题目时要先去掉绝对值然后进行根据函数的单调性求出最小值，本题较为基础。11.已知函数 的图象与 轴恰有 2 个不同的交点，则实数 的取值范围是 _【答案】 或【解析】【分析】结合函数图像讨论在不同情况下的取值范围【详解】如图：-
6、 5 -函数和 轴有 3 个不同的交点，为满足题意与 轴恰有 2 个不同的交点，(1)当抛物线与直线各有一个交点时 的取值范围是 ，(2)当抛物线有两个交点而直线没有交点时 的取值范围是 ，故综上实数 的取值范围是 或【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，结合函数图像分别求出满足题意的参量取值范围，考查了数形结合的思想。12.已知函数 ，若 ，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】构造新函数，讨论新函数的奇偶性和单调性，然后求出结果【详解】由 ，令 ，则 ，所以函数 为奇函数，当 时， ，在区间内单调递增，- 6 -故 可化为 ，即，则 ，解得 ，故实数 的取值范围为【点睛】本题考
7、查了函数性质运用，观察题目条件中的函数表达式和问题，在解题时先构造新函数，探究新函数的奇偶性和单调性，然后运用性质解不等式的结果，本题有一定难度。13.已知 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】由已知条件求出 的表达式，探究出 的值，找出规律求出结果【详解】因为 ，则 ，所以【点睛】本题考查了函数的解析式的特征，在解答此类题目时可以先观察问题中前后两个函数值之间的数量关系，然后探究一般形式的结果，得出规律后求出结果。14.已知函数 ， ，若对任意 ，总存在 ，使得，则实数 的取值范围是_【答案】 或【解析】【分析】由题意求出 的最小值大于或等于 的最小值即可【详解】由函数 可得函数 的最小值
8、为 ，则对任意 ，总存在，使得 ，故要满足当 时， ，即当 时， ，解得 或 ，无解，舍去当 时， ，解得综上实数 的取值范围是 或- 7 -【点睛】本题考查了函数的最值问题，在题目中满足任意与存在性时一定要弄明白求函数的最大（小）值，这样就将问题进行转化，然后求解不等式问题，考查了转化的思想，还是要掌握此类题目的解答方法。二、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分)15.已知集合 ， ，求实数 的值.【答案】【解析】【分析】由 ，则可得 ，计算出结果，进行验证【详解】由题意得 ，解得 或 ，当 时， ，满足要求； 当 时， ，不满足要求，综上得：【点睛】本题考查了集合的交集，由已知条件，
9、代入求出参量的值，注意代回的检验尤为重要。16.设函数 ，（1）当 时，求函数 的定义域；（2）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围【答案】 ；【解析】【分析】(1)将 ，然后解一元二次不等式，求出定义域(2)含有参量的定义域为 ，则分类讨论 和 的两种情况【详解】当 时，由题意得 ，即 ，即 定义域为 。 由题意得 对一切 都成立,当 时， ，满足要求； - 8 -当 时，则有 ，解得 ， 综上得：实数 的取值范围是【点睛】本题考查了含有参量的定义域求法，在解答题目时需要注意分类讨论，当参量作为最高次项的系数时讨论为零时和不等于零时两种情况，然后求出结果。17.已知集合 ， ，（1）若
10、，求实数 的值（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】 ； 或【解析】【分析】(1)由 ，则得 ，求出实数 的值(2)由 ，则 ，然后分类讨论求出结果【详解】由意得 ，所以 因为 ，所以 ，所以 或 或 或当 时， ，解得 ；当 时，解得 ；当 时， 无解；当 时，解得 ；综上得： 或【点睛】本题考查了集合的并集和交集的转化，将题目中的语句转化为子集问题然后求出结果，在求解过程中不要漏掉空集情况的讨论。18.某季节性服装当季节来临时，价格呈上升趋势，设服装开始时定价为 10 元，下面每周涨价 2 元，5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售；10 周后当季节即将过去时，平均每周降价2 元，直到
11、16 周末，该服装已不再销售。（1）写出价格 与周次 之间的函数关系式；（2）若每件服装的进价 与周次 之间的关系为 且 ，试问该服装第几周每件销售利润 最大? （注：每件销售利润售价进价）【答案】(1)见解析；(2) 第 5 周每件销售利润 L 最大【解析】- 9 -试题分析：（） （）1.当实际问题中的变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成时，应构建分段函数模型求解2构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏3求分段函数的最大(小)值时，应先在每段上求其最大(小)值，然后再取其中的最大(小)值即可试题解析：（） 6 分（）二次函数最值 3 种情况分别求
12、当 t=5 时， =9.125 元 8 分当 ，t=6 或 10 时， =8.5 元 10 分当 ，t=11 时， =-12.875 元 12 分第五周每件销售利润最大，最大值为 9.125 元 13 分考点：分段函数模型的实际应用19.已知函数 ，（1）判断 的奇偶性，并给出理由；（2）当 时，判断 在 上的单调性并用定义证明；若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) 无奇偶性；(2) 在区间 上是递减； 【解析】【分析】(1)分类讨论 时和 时的奇偶性(2) 代入 ，然后运用定义法证明函数的单调性不等式 恒成立则转化为，先求出最小值，然后求出结果【详解】(1)当 时，
13、 ，定义域为 ，关于原点对称此时 为偶函数； 当 时， ，定义域为 ，关于原点对称此时 ， ，故 ， 无奇偶性. - 10 -(2) ，任取 ，则 ， ， ， ，所以 在区间 上是递减. 由题意得 ，由（2）知 在区间 上是递减，同理可得 在区间 上递增，所以 ， 所以 ，即 ，令 ，则 ，解得 ，故即 ，即 。【点睛】本题考查了函数的综合知识：函数的奇偶性、单调性及不等式的求解，在解答综合性题目时分别运用相关知识求解，最后一问中恒成立问题中将其转化为最值问题，然后求出结果。20.已知二次函数 及一次函数 ，并且 ，（1）证明：函数 、 的图象有两个不同交点（2）若 ，求 的取值范围；记上面的两个交点在 轴上的射影为 两点，求 长度的取值范围.【答案】见证明； ；【解析】【分析】(1)代入 ，得 ，令 ，判定 的取值范围(2)由(1)得 ，结合 ，得 ，代入化简求出范围先表示出 ，运用两根之和与两根之积进行化简，求出关于 的函数问题，求- 11 -出结果【详解】由 得 ，设 ，即则若 则 ，与已知矛盾所以 ，所以命题得证 ， 又 ，由 得到 ，即 设 的两根 【点睛】本题考查了函数图像的交点问题以及参量的范围问题，在求解过程中注意参量之间的转化，将三元问题转化为二元问题，借助函数思想来求出结果，本题有一定难度，需要掌握解题方法。
