1、1南康中学 20182019 学年度第一学期高三第四次大考数学（理科）试卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知函数 的定义域为集合 A，集合 ，则 AB12xy ZnxB,12为（ ）A. B. C. D. 3,3,3,1,32、 ，当复数 Z= 的模长最小时， 的虚部为( )xR(1)xizA. B. C. D. 12 21i3、已知 cos52in4则 1tan等于（ ）A. 8 B. 8 C. 8 D. 184、小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列 na，有以下结论: 51a
2、； n是一个等差数列；数列 na是一个等比数列；数列 的递推公式*,nN其中正确的是（ ）A. B. C. D. 5、已知函数 3cos2cos2fxxx,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f的图象( )A. 向左平移 6个单位长度 B. 向右平移 6个单位长度2C. 向左平移 12个单位长度 D. 向右平移 12个单位长度6、已知 ,xy满足不等式组40,2 3,xy则 zxy的最小值为（ ）0.A1.B.C3.D7、已知 ，猜想 的表达式为（ ）. 2()(),fxfxf*xN（ ） (fx）A. B. C. D.4()2xf 2()1fx1()fx2()1fx8、如果函数 的图像与
3、轴交与点 ，过点 的直线交36sinf0A的图像于 两点，则 （ ）)(xfCB, OAC32.A1.16.32.D9、如图， 与 都是等腰直角三角形，且D.平面 ，如果以平面, B平 面为水平平面，正视图的观察方向与 垂直，则三棱锥BCA的三视图的面积和为（ ）ADA4+ B4+2 C4+2 D.4+233 2 310、若 且 ,则 的最小值为( )0,cba34bcacbaA -1 B 3+1 C2 +2 D2 -211、若数列 ， 的通项公式分别为 ， ，且 ，对nabaan2018)( nbn2019)(nba任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )NA. B. C. D. 21,1,
4、23,1,212、把函数 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数 的图象关于直线)(log2xf xg对称；已知偶函数 满足 ，当 时， ；若函xyh1xh,01h数 有五个零点，则 的取值范围是（ ）kfk3A. B. C. D. 1,2log31,2log361log2,21,log6二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卷上)13、由曲线 及直线 围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得几何体体积为 .xy0,2yxx14、已知命题“ R，使 ”是假命题，则实数 a的取值范围是 1a15、长方形 中， ,将 沿 折起，使二面角 大小为 ，ABCD3,4BCA
5、DCBACD则四面体 的外接球的表面积为_16、已 知 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 是 且 ， 有 以 下 四 个 命 题 ：, cba,6,4sin5iB 的面积的最大值为 40；AB满足条件的 不可能是直角三角形；C当 时， 的周长为 15；2当 时，若 为 的内心，则 的面积为 .OABAOB7其中正确命题有_（填写出所有正确命题的序号） 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17、 （本小题满分 10 分）已知数列 的前 项和为 ，且 .nanS12na（1）求数列 的通项公式；na（2）记 ，求数列 的前 项和 .12nn
6、bnbnT18、 （本小题满分 12 分）已知 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，若向量 2,cos,cosmbna，且 /mn.（1）求角 A的值；4（2）已知 ABC的外接圆半径为 23，求 ABC周长的取值范围.19、 （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 1ABC中，已知 AB侧面 1C，2BC， 12AB， 14，点 E在棱 1上.（）求证： 平面 ；（）试确定点 E的位置，使得二面角 1AC的余弦值为 520、 （本小题满分 12 分）已知函数 4log1xfkR是偶函数.（1）求 k的值；（2）若函数 yfx的图像与直线 2yxa没有交点，求 a的取值范围；（3）若函数
7、， ，是否存在实数 m，使得 hx最小值1()24fxhmA3log,02为 0，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.521、 （本小题满分 12 分）已知 是椭圆 C： 上两点，点 的坐标为 .BA, 9322yxM0,1当 两点关于 轴对称，且 为等边三角形时，求 的长；BA,xMAB当 两点不关于 轴对称时，证明： 不可能为等边三角形.22、 （本小题满分 12 分）已知函数 ， lnfx1Fxffx（）当 时，比较 与 的大小（注： ） ；*nN132ni3 12ni naa（）设 ，若函数 在 上的最小值为 ，12eeaxfxg gx0,21ea求 的值a6南康中学 20182
8、019 学年度第一学期高三第四次大考数学（理科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A A D C B B D A D C C二、填空题13, ; 14, ; 15, ; 16,4,02516、【解析】由题 ， ，由余弦定理得：当且仅当 即 取等号，此时 的面积的最大值为 24；不正确由题 ，假设 是直角三角形，则 解得故 可能是直角三角形；不正确当 时，有正弦定理 ，结合 由余弦定理可得，的周长为 15；正确；当 时， 若 为 的内心，则设 的内接圆半径为 由 可得故 则 即 的面积为 .正确故答案为.三、解答题717、 （1）当 时， ，得 当
9、 时，有 ，所以 即 ，满足 时， ，所以 是公比为 2，首项为 1 的等比数列，故通项公式为 （2） ，18、解：（1）由 /mn，得 .(2)cos0bAaB由正弦定理，得 iincossiBC，即 2siCcoAs.在 中，由 iC，得 1.又 0,，所以 3A.（2）根据题意，得 42sin2aR.由余弦定理，得 222co3abAbc，即 2243bcbc，整理得 16，当且仅当 时，取等号，所以 bc的最大值为 4.又 2bca，所以 4bc，所以 4a.所以 ABC的周长的取值范围为 ,6.19、 （）证明：BC= ，CC 1=BB1=2，BCC 1= ，在BCC 1中，由余弦定
10、理，可求得C1B= ，C 1B2+BC2= ，即 C1BBC又 AB侧面 BCC1B1，故 ABBC 1，又 CBAB=B，所以 C1B平面 ABC；（）解：由（）知，BC、BA、BC 1两两垂直，以 B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则 B（0，0，0） ，A（0，2，0） ，C（ ，0，0） ，C 1（0，0， ） ，B 1（ ，0， ） ，8 =（0，2， ） ，设 1BE，则 = + =（0，0， ）+（ ，0， ）=（ ，0， + ）设平面 AC1E 的一个法向量为 m=（x，y，z） ，由 10mCAE，得，令 z= ，取 =（ ，1， ） ，又平面 C1EC 的一个法
11、向量为 =（0，1，0）所以 cos ， = mn= = ，解得 = 所以当 = 时，二面角 AC 1EC 的余弦值为 20、解：（1） fxf，即 44log1log1xxkk对于任意 xR恒成立. 4442log1l1lxxxk 2 2（2）由题意知方程 4log2xa即方程 4log1x无解.令 4l1xg，则函数 ygx的图象与直线 ya无交点. 4441lololxx x任取 12xR、 ，且 12，则 120x， 12x 121244loglog0xxg，9 gx在 ,上是单调减函数. 14x， 41log0xx a的取值范围是 ,0（3）由题意 22,log3xhm， 令 1,3
12、xt，2tt1,3开口向上，对称轴 m，当 m，即 ， min10,t当 132，即 62，2in,04t（舍去）当 ，即 ， min390,3t m（舍去）存在 1m得 hx最小值为 0.21解：设 A（ x0， y0） ， B（ x0，- y0） ，因为 MAB 为等边三角形，所以| y0|= |x0-1|，又点 A（ x0， y0）在椭圆上，3所以 ，消去 y0，得 3x -2x0-8=0，解得 x0=2 或 x0=- ，932|1|0yx2 34当 x0=2 时，| AB|= ；当 x0=- 时，| AB|= .34931根据题意可知，直线 AB 斜率存在.设直线 AB： y=kx+m
13、， A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， AB 中点为 N（ x0， y0） ，联立，消去 y 得（2+3 k2） x2+6kmx+3m2-9=0，kx9322由0 得 2m2-9k2-60， 所以 x1+x2=- ,y1+y2=k（ x1+x2）+2 m= , 所以36k234kN（- ， ） ，又 M（1， 0） ，3假设 MAB 为等边三角形，则有 MN AB，所以 kMNk=-1，即 k=-1，13210化简得 3k2+2+km=0， 由得 m=- ，代入得 2 -3（3 k2+2）0，k322)(k化简得 3k2+40，矛盾，所以原假设不成立， 故 MAB 不可能为等边
14、三角形.22、解：（1） ，146niFFnL571l ln132L构造函数 ， ，3ln1hxx2xhx当 时， ， 在 上单调递减30h, ，l39x故当 时， ，*21nN31ln20n即 ，即 33l1iF312（2）由题可得 ，1elnaxg则 ，11eaxax1eax由 得到 ，设 ， 10axlnlnp2lnxp当 时， ；当 时， 2epx20ex0x从而 在 上递减，在 上递增2, 当 时， ，即2min1ex2ea1lnx1e0ax（或 ，设 ，证明 亦可得到 ） 1axax1axpp1ax在 上， ， ， 递减；0,0g在 上， ， ， 递增1,a1x0xg ，2minegxa21lnea11 ，解得 1lna1ea
