1、- 1 -江西省高安中学 2019 届 高三年级上学期第四次考试理科数学试题第卷一、选 择题：本题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A B C D 2若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角的余弦值是（ ）A B C D 3某几何体的三视图如右图所示，数量单位为 ，它的体积是（ ）A B C D 4已知 x、y 满足 ，则 的最小值为（ ）A 4 B 6 C 12 D 165若 ，则“ ”是方程“ ”表示椭圆的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D
2、既不充分也不必要条件6函数 )0,0)(sin)( Axxf 的部分图象如图所示，为了得到 的图象，只需将函数 的图象（ ）A 向左平移 个单位长度 B 向左平移 个单位长度- 2 -C 向右平移 个单 位长度 D 向右平移 个单位长度7设 为正数，且 ，则下列关系式不可能成立是（ ）A B C D 8已知数列 中第 15 项 ，数列 满足 ，且 ，则 （ ）A B 1 C 2 D 49如图，两条距离为 的直线都与 轴平行，它们与抛物线 和4y(01)ypx圆 分别交于 和 ，且抛物线的准线与圆相切，则当249xy,A,D取得最大值时，直线 的方程为（ ）ABCD BA B C D 3x2x1
3、x10如图，在长方体 中， ， ，而对角线上存在一点 P，使得 取得最小值，则此最小值为（ ）A 2 B 3 C D 11.如图，四面体 ABCD 中，面 ABD 和面 BCD 都是等腰 Rt， ，2AB，且二面角 ABDC 的大小为 ，若四面体 ABCD 的顶2CBD65点都在球 O 上，则球 O 的表面积为（ ）A. B. C. D. 1024312已知函数 在区间 上有两个不同的零点，则实数lnxfk14e,的取值范围为( )kA B C D 1,2e41,2e421,e421,e- 3 -第卷二、填空题：本题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 的 值 为则已 知 )32
4、cos()3sin(,1)3sin( xx14设 ， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_.15.数列 的首项 ，且 ，令，则 _16已知点 是抛物线 ： 与椭圆 ： 的公共焦点， 是椭圆 的另一焦点， 是抛物线 上的动点，当 取得最小值时，点 恰好在椭圆 上，则椭圆 的离心率为_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，17-21 各 12 分，22-23 选做一题共 10 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在 中，内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 （1）求角 C 的值；（2）若 ，当边 c 取最小值时，求 的面积- 4 -18如图，在多面
5、体 中，四边形 是菱形， 平面 且 .(1)求证：平面 平面 ；(2)若 ， ， ，设 与平面 所成夹角为 ，且 ，求二面角 的余弦值.19为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语 3 个科目成绩和高中学业水平考试 3 个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；（2）甲、乙、丙三名
6、同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是 0.8，且三人约定如果达 到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为 ，求 的分布列和数学期望X- 5 -20已知椭圆 ： ，过点 作倾斜角互补的两条不同直线 ， ，设 与椭圆 交于 、 两点， 与椭圆 交于 ， 两点.（1）若 为线段 的中点，求直线 的方程；（2）记 ，求 的取值范围.21已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为(1) 求 的值；(2) 证明: .- 6 -选 做题22在平面直角坐标系 中，直线 的的参数方程为 （其中 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为
7、极轴的极坐标系中，点 的极坐标为 ，直线 经过点 曲线 的极坐标方程为 .（1）求直线 的普通方程与曲 线 的直角坐标方程；（2）过点 作直线 的垂线交曲线 于 两点( 在 轴上方)，求 的值.23已知函数 .（）解不等式： ；（）当 时，函数 的图象与 轴围成一个三角形，求实数1m的取值范围.- 7 -2019 届高三年级第四次段考数学试题答案（理科数学）一选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B C A B B C C B D
8、B A二填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16. 94三解答题：（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）由条件和正弦定理可得 ，整理得 从而由余弦定理得 又C 是三角形的内角， （2）由余弦定理得 ， ， ， （当且仅当 时等号成立） c 的最小值为 2，故 18.（1）证明：连结 四边形 是菱形， ， 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . （2）解：解法一：设 ， 四边形 是菱形， ， 、为等边三角形， ，是 的中点， ， 平面 ， ，在 中有， ， ， 以 为原
9、点，作 ，以 的方向分别为 轴， 轴的正方向，建空间直角坐标系如图所示，则 所以 ， 设平面 的法向量为 ，- 8 -由 得 设 ，解得 .设平面 的法向量为 ，由 得设 ，解得 . 设二面角的为 ，则结合图可知，二面角 的余弦值为 . 解法二：EB面 ABCD，EAB 即为 EA 与平面 ABCD 所成的角在 RtEAB 中，cosEAB= 又 AB=2,AE=EB=DF=1 连接 AC 交 BD 于 O，连接 EO、FO菱形 ABCD 中，BAD=60，BD=AB=2矩形 BEFD 中，FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,FOEO又 AC面 BEFD, FO面 BEFD,FOAC,
10、ACEO=O，AC、EO面 AEC,FO面 AEC又 EC面 AEC,FOEC 过点 F 做 FMEC 于 M，连 OM，又 FOEC, FMFO=F, FM、FO面 FMO,EC面 FMO OM面 FMO,ECMOFMO 即为二面角 A-EC-F 的平面角 AC面 BEFD, EO面 BEFD，ACEO又 O 为 AC 的中点，EC=AE= RtOEC 中，OC= , EC= ,OE= ,OM =RtOFM 中，OF= , OM = ,FM =cosFMO= 即二面角 A-EC-F 的余弦值为19.（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有种不同选择.26
11、5C（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数 服从二项分布 ，所以分布列为X9,0.2B- 9 -所以 的数序期望 .X90.218EX20.（1）设直线 的斜率为 ，方程为 ，代入 中， . .判别式.设 ， ，则. 中点为 ， ，则 .直线的 方程为 ，即 .（2）由（1）知 .设直线的 方程为 .同理可得 . . .令 ，则 ， . 在 ，分别单调递减， 或 .故 或.即 .21.（1）解： ，由题意有 ，解得（2）证明：（方法一）由（1）知 ， .设- 10 -则只需证明 ，设则 ， 在 上单调递增 ，使得 且当 时， ，当 时，当 时
12、， ， 单调递减当 时， ， 单调递增，由 ，得 ，设 ， ， 当 时， ， 在 单调递减，因此（方法二）先证当 时， ，即证设 ， 则 ，且， 在 单调递增，在 单调递增，则当 时，（也可直接分析 显然成立）再证 设 ，则 ，令 ，得- 11 -且当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.，即又 ，22.（1）由题意得点 的直角坐标为 ，将点 代入 得则直线 的普通方程为 . 由 得 ，即.故曲线 的直角坐标方程为 . （2）设直线 的参数方程为 （ 为参数） ，代入 得 设 对 应参数为 ， 对应参数为 则 ， ，且 .23.（）由题意知，原不等式等价于 或 或，解得 或 或 ，综上所述，不等式 的解集为 .（）当 时，则 ，此时 的图象与 轴围成一个三角形，满足题意：当 时，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.要使函数 的图象与 轴围成一个三角形，则 ，解得 ；- 11 -综上所述，实数 的取值范围为 .
