1、1河北省临漳县第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期第三次月考试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. ，则 的一个必要不充分条件是 2A. B. C. D. 3 1 1 ,0) 52 22+22=1A. B. C. D. 12 33 32 225. 已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的焦点2225=1 2=12到其渐近线的距离等于A. B. 3 C. 5 D. 5 426. 设双曲线 的离心率是 3，则其渐近线的方程为 2222=1(0,0)A. B. C. D. 22=0 22=0 8=0 8=07. 设 x， y 满足约束条件 ，若 取
2、得最大值的最优解不唯一，则20+1310 =+实数 a 的值为 A. 2 或 B. 3 或 C. 或 D. 或 23 213 12 138. 设 是直线 l 的方向向量， 是平面 的法向量，则直线=(3,2,1) =(1,2,1) l 与平面 (A. 垂直 B. 平行或在平面 内C. 平行 D. 在平面 内9. 数列 ， 为等差数列，前 n 项和分别为 ， ，若 ，则 =3+2277=(A. B. C. D. 4126 2314 117 11610. 已知 A， B 为抛物线 E： 上异于顶点 O 的两点， 是等边三角2=2(0) 形，其面积为 ，则 p 的值为 4832A. 2 B. C.
3、4 D. 23 4311. 在长方体 ， ，则异面直线 与 所成角的余1111 =21 1 1弦值为 A. B. C. D. 165 15 55 15512. 如图， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的1,22222=1(0,0) 1(7,0)直线 l 与双曲线分别交于点 ，若 为等边三角形，则双曲线的方程为 , 2A. 5275228=1B. 262=1C. 226=1D. 5228527=1二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 若抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线的标准方程是 _ 24=014. 三角形 ABC 中，角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，已知
4、 ，且2+22=3，则三角形 ABC 外接圆面积为_=115. 双曲线 的渐近线与圆 相切，则此双曲线2222=1(0,0) (2)2+2=1的离心率为_16. 已知向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小值=(,1)=(4,2)0 0 / 1+8_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知不等式 的解集为 A，不等式 的解集为 B2230) 1(2,0) =12求椭圆 E 的方程；(1)求以点 为中点的弦 AB 所在的直线方程(2) (2,1)20. 如图 1，已知四边形 BCDE 为直角梯形， ， ，且=90， A 为 BE 的中点将 沿 AD 折到 位置如图 ，连结=2
5、=2=2 2)PC， PB 构成一个四棱锥 求证 ；若 PA 平面 ABCD，求二面角 的大小。21. 已知首项是 1 的两个数列 ， 满足 (0,)+1+1+2+1=0令 ，求数列 的通项公式；(1)= 若 ，求数列 的前 n 项和 (2)=31 22.已知椭圆 C： 的左右两个焦点分别为 ， ，离心率为 设22+22=1(0) 1 2 12.过点 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A， B， 周长为 82 1求椭圆 C 的标准方程；(1)已知点 ，证明：当直线 l 变化时，总有 TA 与 TB 的斜率之和为定值(2) (4,0)42018-2019 学年度高二 11 月考数学试卷（理
6、）答案和解析【答案】1. C 2. D 3. B 4. C 5. A 6. A 7. A8. B 9. A 10. A 11. B 12. C13. 或 2=162=814. 15. 216. 17. 解： ，(1)2230)由题意 ，又 ，得 ，=2=12 =42=22=12椭圆 E 的标准方程为 ；216+212=1设 ， 代入椭圆 E 的方程得：(2)(1,1) (2,2)， ，2116+2112=1 2216+2212=1 得： ，212216=212212点 为 AB 的中点， (2,1)1212=12(1+2)16(1+2)=124162=32即 =32点 为中点的弦 AB 所在直
7、线的方程为 ， (2,1)1=32(2)化为一般式方程： 3+28=020. 证明：在图 1 中， ， ， 为平行四边形， ，/= /， ，当 沿 AD 折起时， ， ，即 ，=90 ，又 ， 平面 PAB，又 平面 PAB， ；= 以点 A 为坐标原点，分别以 AB， AD， AP 为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，则 0， ， 0， ， 1， ， 0， ，(0,0)(1,0)(1,0)(0,1)1， ， 1， ， 0， ，=(1, 1)=(0, 0)=(1, 0)6设平面 PBC 的法向量为 y， ，=(, )则 ，取 ，得 0， ，=+=0=0 =1 =(1, 1)设平面 PC
8、D 的法向量 b， ，=(, )则 ，取 ，得 1， ，设二面角 的大小为 ，=+=0=0 =1 =(0, 1) 则 ， 二面角 的大小为 =|= 122=12=120. 12021. 解： ， ，(1)+1+1+2+1=0=，+1+2=0，+1=2首项是 1 的两个数列 ， ， 数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， ；=21， ，(2)=31 =，=(21)31，=130+331+(21)31，3=13+332+(21)3，2=1+2(31+31)(21)3 =(1)3+122. 解： 由题意知， ，所以 (1) 4=8 =2因为 ，所以 ，则 =12 =1 =37所以椭圆 C 的
9、方程为 24+23=1证明：当直线 l 垂直与 x 轴时，显然直线 TA 与 TB 的斜率之和为 0，(2)当直线 l 不垂直与 x 轴时，设直线 l 的方程为 ， ， ，=(1)(1,1) (2,2)，整理得： ，=(1)24+23=1 (3+42)282+4212=0恒成立，=6444(3+42)(4212)=1442+1440， ，1+2= 823+42 12=42123+42由+=114+224=(11)(24)+(21)(14)(14)(24)，=2125(1+2)+8(14)(24)由 ，2125(1+2)+8=8224402+8(3+42)3+42 =0，+=0直线 TA 与 T
10、B 的斜率之和为 0，综上所述，直线 TA 与 TB 的斜率之和为定值，定值为 0 【解析】1. 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义与集合的关系是解决本题的关键，根据必要不充分条件的定义进行判断即可，属于基础题【解答】解：不等式 对应的集合为 ，2 =(2,+)设 的一个必要不充分条件对应的集合为 B，2则 ，则 满足条件，1故选： C2. 【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题曲线 表示椭圆，可得 ，解出即可得出21+21+=1 101+011+【解答】解： 曲线 表示椭圆，21+21+=1， 10
11、1+011+解得 ，且 10,0)可得 ，则 =3 =122双曲线 的离心率是 3，则其渐近线的方程为： 2222=1(0,0) 22=0故选： A利用双曲线的离心率，这求出 a， b 的关系式，然后求渐近线方程本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力7. 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对 a 进行分类讨论作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线 斜率的变化，从而求出 a 的取值=+【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分 )由 得 ，即直线的截距最大，=+z 也最大若 ，此时
12、 ，此时，目标函数只在 A=0 =处取得最大值，不满足条件，若 ，目标函数 的斜率 ，0 =+ =0要使 取得最大值的最优解不唯一，=则直线 与直线 平行，此时=+ 2=0，=2若 ，目标函数 的斜率 ，=1 1| 1| 1|=15故选 B12. 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题【解答】解：根据双曲线的定义，可得 ，|1|2|=2是等边三角形，即2 |2|=|1|=2又 ，|2|1|=2，|2|=|1|+2=4中， ， ，12 |1|=2|2|=412=120|12|2=|1|2+|2|22|1|2|120即 ，42=42+1622
13、24(12)=282解得 ，2=72则 ， ，2=1 2=6故选 C13. 解：当焦点在 x 轴上时，根据 ， 可得焦点坐标为 =0 24=0 (4,0)抛物线的标准方程为 2=16当焦点在 y 轴上时，根据 ， 可得焦点坐标为 =0 24=0 (0,2)抛物线的标准方程为 2=8故答案为： 或 2=162=8分焦点在 x 轴和 y 轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案本题主要考查抛物线的标准方程属基础题14. 【分析】利用余弦定理表示出 ，将已知等式代入求出 的值，根据 A 为三角形内角，可 求 的值，再利用正弦定理即可求出外接圆半径，利用圆的面积公式即可计算得解此题
14、考查了正弦、余弦定理，以及圆的面积公式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题12【解答】解： ，且 ，2+22=3 =1，=2+222 =32=32为三角形内角，=12设三角形 ABC 外接圆半径为 R，根据正弦定理得： ，即 ，=112=2=2=1三角形 ABC 外接圆面积 =2=故答案为 15. 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到 a、 b 关系，然后求解双曲线的离心率【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为： ，+=0圆 的圆心 ，半径为 1，(2)2+2=1 (2,
15、0)双曲线 的渐近线与圆 相切，2222=1(0,0) (2)2+2=1可得： ，22+2=1可得 ， ，2=2 =2=2故答案为 216. 【分析】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由 ，可得： 再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质/ +2=4.即可得出【解答】解： ， ，即 / 42=0 +2=4， ，0 0，当且仅当1+8=14(+2)(1+8)=14(10+16)14(10+216)=92时取等号=4=83的最小值是1+8故答案为17. 通过解不等式求出集合 A、 B，从而求出 即可； 问题转化为 ，2 为(1) (2) 1
16、方程 的两根，得到关于 a， b 的方程组，解出即可2+=0本题考查了不等式的解法，考查集合的运算，是一道基础题1318. 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 利用余弦定理即可得出.(1)根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出(2)19. 由题意设出椭圆的标准方程，并求得 c，再由离心率求得 a，结合隐含条件求(1)得 b，则椭圆方程可求；设出 A、 B 的坐标，代入椭圆方程，作差求得 AB 所在直线的斜率，代入直线方程的(2)点斜式得答案本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题20. 本题考查
17、异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的便于合理运用推导出 ABCD 为平行四边形， ， ， ， ，从而 平面 PAB，由此能证明/ 以点 A 为坐标原点，分别以 AB， AD， AP 为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的大小21. 本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题由 ， ，可得数列 是以 1 为首项，2 为公(1)+1+1+2+1=0= 差的等差数列，即可求数列 的通项公式；用错位相减法来求和(2)22. 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题由 的周长为 8，得 ，由 ，求出 c，可求得 b；即可求解椭圆方(1)1 4=8=12程分类讨论，当直线 l 不垂直与 x 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及(2)直线的斜率公式，即可求得 ，即可证明直线 TA 与 TB 的斜率之和为定+=0值
