1、- 1 -上石桥高中 2019 届高三 12 月份月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A x|x22 x3， B x|2x1，则 A B（ ）A0，3 B （0，3 C1，+） D1，1）2 （5 分）已知复数 z1对应复平面上的点（1，1） ，复数 z2满足 z1z22，则|z2+2i|（ ）A B2 C D103 （5 分）若 tan（ ） ，则 cos2（ ）A B C D4 （5 分）执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 a 的值为（ ）A10 B lg99 C2 D
2、 lg1015 （5 分）设 x， y 满足约束条件 ，若目标函数 z x2 y 的最小值大于5，则m 的取值范围为（ ）A B C3，2） D （，2）6 （5 分）福建省第十六届运动会将于 2018 年在宁德召开组委会预备在会议期间将A， B， C， D， E， F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作若要求 A， B 必- 2 -须在同一组，且每组至少 2 人，则不同的分配方法有（ ）A15 种 B18 种 C20 种 D22 种7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A B C D8 （5 分）已知 alog 0.62， blog 20.6， c0.6
3、2，则（ ）A a b c B b c a C c b a D c a b9 （5 分）设抛物线 y22 px（ p0）的焦点为 F，过 F 点且倾斜角为 的直线 l 与抛物线相交于 A， B 两点，若以 AB 为直径的圆过点 ，则该抛物线的方程为（ ）A y22 x B y24 x C y28 x D y216 x10 （5 分）我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？
4、”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）A58 B59 C60 D6111 （5 分）函数 f（ x） asin x+bcos x（ a， bR，0） ，满足 ，且对任意 xR，都有 ，则以下结论正确的是（ ）A f（ x） max| a| B f（ x） f（ x） C D3- 3 -12 （5 分）设函数 f（ x） aex1 1 exln（ x+1）存在零点 x0，且 x01，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1+ eln2） B （ eln2，+）C （， eln2） D （1+ eln2，+）二、填空题：本大题
5、共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 60，| |2，| +2 |2 ，则| | 14 （5 分）若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点 P 落在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率 e 15 （5 分）若正三棱台 ABC ABC的上、下底面边长分别为 和 ，高为 1，则该正三棱台的外接球的表面积为 16 （5 分）设函数 f（ x）| x22 x1|，若 a b1， f（ a） f（ b） ，则对任意的实数c， （ a c） 2+（ b+c） 2的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17
6、 （12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an0， （）求数列 an的通项公式；（）若 ，求数列 bn的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，矩形 ABCD 中， AB6， ，点 F 是 AC 上的动点现将矩形 ABCD沿着对角线 AC 折成二面角 D AC B，使得 （）求证：当 时， DF BC；（）试求 CF 的长，使得二面角 A DF B 的大小为 19 （12 分）如图，岛 A、 C 相距 海里上午 9 点整有一客轮在岛 C 的北偏西 40且距岛 C10 海里的 D 处，沿直线方向匀速开往岛 A，在岛 A 停留 10 分钟后前往 B 市上午9：30 测得客轮位于岛
7、C 的北偏西 70且距岛 C 海里的 E 处，此时小张从岛 C 乘坐- 4 -速度为 V 海里/小时的小艇沿直线方向前往 A 岛换乘客轮去 B 市（）若 V（0，30，问小张能否乘上这班客轮？（）现测得 ， 已知速度为 V 海里/小时（ V（0，30）的小艇每小时的总费用为（ ）元，若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市，则至少需要多少费用？20 （12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1， F2过且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M， N当 k0 时，四边形 MNF1F2恰在以 MF1为直径，面积为 的圆上（）求椭圆 C 的方程；（）若 ，求直线 l 的方程21 （12 分）
8、已知函数 f（ x） ax2+lnx（ aR）有最大值 ， g（ x） x22 x+f（ x） ，且g（ x）是 g（ x）的导数（）求 a 的值；（）证明：当 x1 x2， g（ x1）+ g（ x2）+30 时， 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为 4sin， M 为曲线 C1上异于极点的动点，点 P 在射线 OM上，且 成等比数列- 5 -（）求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（）
9、已知 A（0，3） ， B 是曲线 C2上的一点且横坐标为 2，直线 AB 与 C1交于 D， E 两点，试求| AD| AE|的值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（ x） x2+a（ aR） ， g（ x）| x+1|+|x2|（）若 a4，求不等式 f（ x） g（ x）的解集；（）若 x0，3时， f（ x） g（ x）的解集为空集，求 a 的取值范围- 6 -上石桥高中 2019 届高三 12 月份月考(理数）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A x|x22 x3， B x|
10、2x1，则 A B（ ）A0，3 B （0，3 C1，+） D1，1）【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解： A x|x22 x3 x|x22 x30 x|1 x3，B x|2x1 x|x0，则 A B x|0 x3，故选： B【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键2 （5 分）已知复数 z1对应复平面上的点（1，1） ，复数 z2满足 z1z22，则|z2+2i|（ ）A B2 C D10【分析】由已知可得 z1，代入 z1z22，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z2，再由复数模的计算公式求| z2+2i|【解答】解：由题意
11、可得， z11+ i，则由 z1z22，得 1+ i，| z2+2i|1+3 i| 故选： C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）若 tan（ ） ，则 cos2（ ）A B C D【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求 tan，利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解【解答】解：tan（ ） ，解得：tan2，- 7 -cos2 故选： B【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题4 （5 分）执行如图所示的程序
12、框图，运行相应的程序，则输出的 a 的值为（ ）A10 B lg99 C2 D lg101【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，根据对数的运算法则计算即可得解【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a lg（1+1）+ lg（1+ ）+ lg（1+ ）+lg（1+ ）的值，a lg（1+1）+ lg（1+ ）+ lg（1+ ）+ lg（1+ ） lg2+lg +lg +lg lg2+lg3 lg2+lg4 lg3+lg101 lg100 lg101故选： D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序
13、框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题- 8 -5 （5 分）设 x， y 满足约束条件 ，若目标函数 z x2 y 的最小值大于5，则m 的取值范围为（ ）A B C3，2） D （，2）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，代入求解即可【解答】解： x， y 满足约束条件 的可行域如图：目标函数 z x2 y 的最小值大于5，可知目标函数经过可行域 A 时，截距最大，目标函数取得最小值，解得 B（1，3） ，由 可得 A（1， m） ，所以 m3并且：12 m5，解得 m2，所以 m 的取值范围为：3，2） 故选： C【点评】本题考查线性规划的简单应用，是
14、中档题，易错题6 （5 分）福建省第十六届运动会将于 2018 年在宁德召开组委会预备在会议期间将A， B， C， D， E， F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作若要求 A， B 必须在同一组，且每组至少 2 人，则不同的分配方法有（ ）A15 种 B18 种 C20 种 D22 种【分析】根据题意，按分成 2 个组的人数分 3 种情况讨论：、 A， B 在一组， C， D， E， F都分在另一组，、 C， D， E， F 中取出 1 人，与 A、 B 一组，剩下 3 人一组，、 C， D， E， F 中取出 2 人，与 A、 B 一组，剩下 2 人一组，分别求出每一种情况的分
15、配- 9 -方法数目，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论：、 A， B 在一组， C， D， E， F 都分在另一组，将两组全排列，对应两个校区即可，有A222 种分配方法；、 C， D， E， F 中取出 1 人，与 A、 B 一组，剩下 3 人一组，再将两组全排列，对应两个校区，有 C41A228 种分配方法；、 C， D， E， F 中取出 2 人，与 A、 B 一组，剩下 2 人一组，再将两组全排列，对应两个校区，有 C42A2212 种分配方法；故一共有 2+8+1222 种分配方法；故选： D【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是依据题意，对其他
16、4 人分组，进行分类讨论7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A B C D【分析】由三视图得该几何体是一个半圆锥 P ABOD 和一个三棱锥 P BCD 的组合体，其中半圆的底面半径 r1，高 PO ，母线长 l2，三棱锥 P BCD 中，高PO ， BD BC， PB BC， BC BD2 PB PD2， DC PC2 ，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由三视图得该几何体是一个半圆锥 P ABOD 和一个三棱锥 P BCD 的组合体，其中半圆的底面半径 r1，高 PO ，母线长 l2，- 10 -三棱锥 P BCD 中，高 PO ， BD BC， PB BC，
17、BC BD2 PB PD2， DC PC2 ，如图， PC CD 2 ，该几何体的表面积：S S 半圆锥表面积 +S BDC+S PBC+S PCD + + + + 故选： A【点评】本题是基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题三视图视图过程中，要注意虚线的出现，意味着有被遮掩的棱8 （5 分）已知 alog 0.62， blog 20.6， c0.6 2，则（ ）A a b c B b c a C c b a D c a b【分析】 alog 0.62 1，又 ab1可得 blog 20.6（1，0） ，而c0，即可得出大
18、小关系【解答】解： alog 0.62 1，又 ab 1 blog 20.6（1，0） ，c0.6 20，则 c b a故选： C【点评】本题考查了对数运算性质、换底公式、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，- 11 -属于基础题9 （5 分）设抛物线 y22 px（ p0）的焦点为 F，过 F 点且倾斜角为 的直线 l 与抛物线相交于 A， B 两点，若以 AB 为直径的圆过点 ，则该抛物线的方程为（ ）A y22 x B y24 x C y28 x D y216 x【分析】求出直线 l 的方程，利用抛物线的性质，求出 AB 中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解 p 即可得
19、到抛物线方程【解答】解：抛物线 y22 px（ p0）的焦点为 F，过 F 点且倾斜角为 的直线 l 与抛物线相交于 A， B 两点，以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，以 AB 为直径的圆过点，可知 AB 的中点的纵坐标为：2，直线 l 的方程为： y x ，则 ，可得 y22 py p20，则 AB 中的纵坐标为： 2，解得 p2，该抛物线的方程为： y24 x故选： B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题10 （5 分）我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归问：三女何日相会
20、？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）A58 B59 C60 D61【分析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20，其中小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为 8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是 1，由此能求出从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数【解答】解：大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，
21、小女儿每三天回一次娘- 12 -家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为 8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是 1，从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有：33+25+20（8+6+5）+160故选： C【点评】本题考查有女儿回家的天数的求法，考查分类讨论、集合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11 （5 分）函数 f（ x） asin x+bcos x（ a， bR，0） ，满足 ，且对任意 xR，都有 ，则以下
22、结论正确的是（ ）A f（ x） max| a| B f（ x） f（ x） C D3【分析】根据题意知函数 f（ x）关于点（ ，0）对称，且 x 是 f（ x）的对称轴，结合三角函数的图象与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可【解答】解：函数 f（ x）满足 ， f（ x）关于点（ ，0）对称，且对任意 xR，都有 ， x 是 f（ x）的对称轴，令 x0，得 f（0） asin0+bcos0 b f（ ）0， b0， f（ x） asin x， A 正确； f（ x）是定义域 R 上的奇函数， B 错误；可得 a0， b0， a b， C 错误；由题意，6 k+3， kZ， D 错误；
23、综上，正确的结论是 A故选： A- 13 -【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是难题12 （5 分）设函数 f（ x） aex1 1 exln（ x+1）存在零点 x0，且 x01，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1+ eln2） B （ eln2，+）C （， eln2） D （1+ eln2，+）【分析】令 f（ x）0，可得 a e1 x+eln（ x+1） ，设 g（ x） e1 x+eln（ x+1） ， x1，求得导数，构造 y ex x1，求得导数，判断单调性，即可得到 g（ x）的单调性，可得g（ x）的范围，即可得到所求 a 的范围【解答】解：函数
24、f（ x） aex1 1 exln（ x+1） ，令 f（ x）0，可得 a e1 x+eln（ x+1） ，设 g（ x） e1 x+eln（ x+1） ， x1，则 g（ x） e1 x+ e ，由 y ex x1 的导数为 y ex1，当 x1 时， ex1 e10，则函数 y ex x1 递增，可得 y ex x10，则 g（ x）在（1，+）递增，可得 g（ x） g（1）1+ eln2，则 a1+ eln2，故选： D【点评】本题考查函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
25、5 分13 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 60，| |2，| +2 |2 ，则| | 2 【分析】根据题意，设| | t，由数量积的计算公式可得 t，又由| +2 |2 ，可得（ +2 ） 2 2+4 +4 24+4 t+4t228，变形解可得 t 的值，有向量模的几何意义即可得答案【解答】解：根据题意，设| | t，若向量 ， 的夹角为 60，则 2 tcos60 t，- 14 -又由| +2 |2 ，则有（ +2 ） 2 2+4 +4 24+4 t+4t228，即 t2+t60，解可得 t2 或 t3（舍） ；故 t2，即| |2；故答案为：2【点评】本题考查向量数量积的计算公式，关键
26、是掌握向量数量积的计算公式14 （5 分）若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点 P 落在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率 e 2 【分析】设双曲线的左焦点为 F（ c，0） ，求出渐近线方程，设 F 关于 y x 的对称点为（ m， m） ，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程可得2m c，代入可得 a， b 的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 C： 1 的左焦点为 F（ c，0） ，渐近线方程为 y x，设 F 关于 y x 的对称点为（ m， m） ，由题意可得 ， （*）且 （0 m） （ m c） ，可得 m c，代入
27、（*）可得 b23 a2，c2 a2+b24 a2，则离心率 e 2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题15 （5 分）若正三棱台 ABC ABC的上、下底面边长分别为 和 ，高为 1，则该正三棱台的外接球的表面积为 20 - 15 -【分析】取 A1B1C1的重心 E1，取 ABC 的重心 E，则 EE11 是正三棱台 ABC ABC的高，AE2， A1E11，则球心 O 在 E1E 的延长线上，半径 R OA OA1，即 ， OE1，半径 R ，由此能求出该正三棱台的外接球的表面积【解答】解：正三棱台 ABC ABC的上
28、、下底面边长分别为 和 ，高为 1，取 A1B1C1的重心 E1，取 ABC 的重心 E，则 EE11 是正三棱台 ABC ABC的高，AE 2， A1E1 1，则球心 O 在 E1E 的延长线上，半径 R OA OA1，即 ，解得 OE1， R ，该正三棱台的外接球的表面积 S4 R24520故答案为：20【点评】本题考查正三棱台的外接球的表面积的求法，考查正三棱台及其外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题16 （5 分）设函数 f（ x）| x22 x1|，若 a b1， f（ a） f（ b） ，则对任意的实数c， （ a c） 2
29、+（ b+c） 2的最小值为 8 【分析】根据题意，分析函数的解析式，作出其简图，分析可得（ a c） 2+（ b+c）22 c2+2（ b a） c+（ a2+b2） ，将其看成是以 c 为自变量的二次函数，结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（ x）- 16 -| x22 x1| ，其图象如图：（ a c） 2+（ b+c） 2（ a22 ac+c2）+（ c2+2bc+b2）2 c2+2（ b a） c+（ a2+b2） ，c 为任意的实数，令 t2 c2+2（ b a） c+（ a2+b2） ，看成是以 c 为自变量的二次函数，其最小值为 t（ ）2（ ） 22
30、（ a b） （ ）+（ a2+b2） ，分析可得：4 a+b2 +2，则有 t 的最小值为 8；故答案为：8v【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数的最值，关键是求出 a+b 的范围三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an0， （）求数列 an的通项公式；（）若 ，求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】解法一：（）利用数列的递推关系式通过 an Sn Sn1 求数列 an的通项公式；（）利用错位相减法求解数列的和即可解法二：（）同解法一；（）求出 ，设，求出- 17 -A， B，然
31、后利用拆项法求解数列的和即可【解答】解法一：（） ， （1 分）当 n1 时， ，得 a11（2 分）当 n2 时， ， ，（3 分） ，即（ an+an1 ） （ an an1 ）2（ an+an1 ） ， an0， an an1 2（4 分）数列 an是等差数列，且首项为 a11，公差为 2，（5 分） an1+2（ n1）2 n1（6 分）（）由（）可知， ，（7 分），（8 分）得 （9 分） ，（10 分）化简得 （12 分）解法二：（）同解法一（）由（）可知， ，设 ， 解得 ， ，（9 分） Tn b1+b2+bn （12 分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考
32、查转化思想以及计算能力- 18 -18 （12 分）如图，矩形 ABCD 中， AB6， ，点 F 是 AC 上的动点现将矩形 ABCD沿着对角线 AC 折成二面角 D AC B，使得 （）求证：当 时， DF BC；（）试求 CF 的长，使得二面角 A DF B 的大小为 【分析】 （）连结 DF， BF通过计算 DF2+AF29+3 DA2，推出 DF AC，得到 DF AC，证明 BF DF，然后证明 DF平面 ABC推出 DF BC（）说明 OE， OC， OD两两垂直，以 O 为原点， 的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 O xyz，求出平面 ADF 的一个法向量平面 BDF
33、 的法向量通过向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可【解答】满分（12 分） （）证明：连结 DF， BF在矩形 ABCD 中， ， ， DAC60（1 分）在 ADF 中， ， DF2 DA2+AF22 DAAFcos DAC9， （2 分） DF2+AF29+3 DA2， DF AC，即 DF AC（3 分）又在 ABF 中， BF2 AB2+AF22 ABAFcos CAB21，（4 分）- 19 -在 DFB 中， ， BF DF，（5 分）又 AC FB F， DF平面 ABC DF BC（6 分）（）解：在矩形 ABCD 中，过 D 作 DE AC 于 O，并延长交 AB 于
34、E沿着对角线 AC 翻折后，由（）可知， OE， OC， OD两两垂直，以 O 为原点， 的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 O xyz，则 O（0，0，0） ，E（1，0，0） ， ，（7 分） kAB1 平面 ADF， 为平面 ADF 的一个法向量 （8 分）设平面 BDF 的法向量为 （ x， y， z） ， F（0， t，0） ， ，由 得取 y3，则 ， （10 分） ，即 ， 当 时，二面角 A DF B 的大小是 （12 分）【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转
35、化思想等19 （12 分）如图，岛 A、 C 相距 海里上午 9 点整有一客轮在岛 C 的北偏西 40且距岛 C10 海里的 D 处，沿直线方向匀速开往岛 A，在岛 A 停留 10 分钟后前往 B 市上午9：30 测得客轮位于岛 C 的北偏西 70且距岛 C 海里的 E 处，此时小张从岛 C 乘坐速度为 V 海里/小时的小艇沿直线方向前往 A 岛换乘客轮去 B 市（）若 V（0，30，问小张能否乘上这班客轮？（）现测得 ， 已知速度为 V 海里/小时（ V（0，30）的小艇每小时的总费用为（ ）元，若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市，则至少- 20 -需要多少费用？【分析】 （）在 CDE
36、中，由余弦定理得 DE，客轮的航行速度 V110220（海里/小时）在 ACE 中，由余弦定理得， AE10，求出客轮从 E 处到岛 A 所用的时间，小张到岛 A所用的时间推出结果（）求出 BC，就是小张由岛 C 直接乘小艇去城市 B 的总费用，利用基本不等式求出最值即可【解答】满分（12 分） 解：（）如图，根据题意得： CD10， ， ， DCE7040 030 0在 CDE 中，由余弦定理得， 10，（2 分）所以客轮的航行速度 V110220（海里/小时） （3 分）因为 CD DE，所以 DEC DCE30，所以 AEC18030 0150 0在 ACE 中，由余弦定理得， AC2
37、AE2+CE22 AECEcos AEC，整理得： AE2+30AE4000，解得 AE10 或 AE40（不合舍去） （5 分）所以客轮从 E 处到岛 A 所用的时间 小时，小张到岛 A 所用的时间至少为 小时由于 ，所以若小张 9 点半出发，则无法乘上这班客轮（6 分）- 21 -（）在 ABC 中， ， ，所以 ACB 为锐角， ， （7 分）所以 sinBsin180 0（ BAC+ ACB）sin（ BAC+ ACB）sin BACcos ACB+cos BACsin ACB （8 分）由正弦定理得， ，所以 ，（9 分）所以小张由岛 C 直接乘小艇去城市 B 的总费用为（ V（0，
38、30） ，（10分）当且仅当 ，即 V10 时， （元）（11 分）所以若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市，其费用至少需 元 （12 分） 【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识20 （12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1， F2过且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M， N当 k0 时，四边形 MNF1F2恰在以 MF1为直径，面积为 的圆上（）求椭圆 C 的方程；（）若 ，求直线 l 的方程【分析】 （）当 k0 时，直线 l x 轴，推出点 M 的坐标为 ，设 ，则 c
39、k ，求出 a， b 然后求解椭圆 C 的方程（）将 与椭圆方程联立得（3+4 k2） x2+12kx30，设 M（ x1， y1） ，N（ x2， y2） ，利用韦达定理以及弦长公式，通过 ，求出 k，即可求解直线 l 的方程- 22 -【解答】满分（12 分） 解：（）当 k0 时，直线 l x 轴，又四边形 MNF1F2恰在以 MF1为直径，面积为 的圆上，四边形 MNF1F2为矩形，且 （1 分）点 M 的坐标为 （2 分）又 ， （3 分）设 ，则 c k在 Rt MF1F2中， ，| F1F2|2 k， ， k1 ，（5 分）椭圆 C 的方程为 （6 分）（）将 与椭圆方程联立得（
40、3+4 k2） x2+12kx30，设 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，得 ， （7 分）故 （9分）又 ，- 23 -（10 分） ，即 ，解得 ，直线 l 的方程为 （12 分）【点评】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力21 （12 分）已知函数 f（ x） ax2+lnx（ aR）有最大值 ， g（ x） x22 x+f（ x） ，且g（ x）是 g（ x）的导数（）求 a 的值；（）证明：当 x1 x2， g（ x1）+ g（ x2）+30 时，
41、【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为 g（ x1）+ g（2 x1）3，设G（ x） g（ x）+ g（2 x） x22 x2+ lnx+ln（2 x） （其中 0 x1） ，求出导数，证明即可【解答】解：（） f（ x）的定义域为（0，+） ， （1 分）当 a0 时， f（ x）0， f（ x）在（0，）上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；（2 分）当 a0 时，令 f（ x）0，得 ，当 时， f（ x）0，函数 f（ x）单调递增；当 时， f（ x）0，函数 f（ x）单调递减，（3 分）
42、， ，（4 分） （5 分）- 24 -（）由（）可知， ， ， g（ x）0， g（ x）在（0，+）上单调递增 （6 分）又 x1 x2， g（ x1）+ g（ x2）3 且 ，0 x11 x2（7 分） ，当 x1 时， g（ x）0， g（ x）单调递增，要证 ，即 g（ x1+x2） g（2） ，只要证 x1+x22，即 x22 x1（8 分） x11，2 x11，所以只要证 g（2 x1） g（ x2）3 g（ x1） g（ x1）+ g（2 x1）3（*） ，（9 分）设 G（ x） g（ x）+ g（2 x） x22 x2+ lnx+ln（2 x） （其中 0 x1） ， ，
43、G（ x）在（0，1）上为增函数，（11 分） G（ x） G（1）3，故（*）式成立，从而 （12 分）【点评】本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为 4sin， M 为曲线 C1上异于极点的动点，点 P 在射线 OM上，且
44、 成等比数列（）求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（）已知 A（0，3） ， B 是曲线 C2上的一点且横坐标为 2，直线 AB 与 C1交于 D， E 两点，试求| AD| AE|的值【分析】 （1）设 P（，） ， M（ 1，） ，由 成等比数列，得 120， M（ 1，）满足 14sin，由此能求出点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程- 25 -（）得 B（2，5） ， kAB1，直线 AB 倾斜角为 ，从而直线 AB 的参数方程为 ，代入圆的直角坐标方程 x2+（ y2） 24，得 ，由此能求出| AD| AE|的值【解答】解：（1）设 P（，） ， M（ 1，） ，则由 成等比数列，可得| OP|OM|20，（1 分）即 120， （2 分）又 M（ 1，）满足 14sin，即 ，（3 分）sin5，（4 分）化为直角坐标方程为 y5点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程为 y5（5 分）（）依题意可得 B（2，5） ，故 kAB1，即直线 AB 倾斜角为 ，（6 分）直线 AB 的参数方程为 （7 分）代入圆的直角坐标方程 x2+（ y2） 24，得 ，（8 分）故 ， t1t230，（9 分） （10 分）【点评】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等选修 4-5：不等式选讲23已知
