1、- 1 -浙江省杭州市富阳区新登中学 2018-2019 学年高二数学上学期期末模拟试题一选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1双曲线 =1 的渐近线方程为（ ）Ay= By= x Cy= x Dy= x2在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AB，BB 1的中点，则直线 BC1与 EF 所成角的余 弦值是（ ）A B C D3已知 a、b、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：若 ab，ac 则 bc；若ab，ac 则 bc；若 ab，bc 则 ac其中正确的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个4设点 P 为椭圆 上一点，F 1，F 2分
2、别为 C 的左、右焦点，且F 1PF2=60，则PF 1F2的面积为（ ）A B C D5.对于曲线 ： 上的任意一点 P，如果存在非负实数 M 和 m，使不等式29+24=1恒成立 为坐标原点， M 的最小值为 ， m 的最大值为 ，则 的| ( 0 0值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 136已知直线 l 1：ax+（a+2）y+1=0，l 2：x+ ay+2=0，则“l 1l 2”是“a=1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7已知点 F 为抛物线 y 2=8x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，
3、且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（ ）A B C6 D4+28已知圆 O 为 RtABC 的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心 O 的直线 l 交圆 O 于 P，Q 两点，- 2 -则 的取值范围是（ ）A8，1 B8，0 C16，1 D16，09已知三棱锥 DABC，记二面角 CABD 的平面角为 ，直线 DA 与平面 ABC 所成的角为，直线 DA 与 BC 所成的角为 ，则（ ）A B C D10如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB30，则点 P 的轨迹是（ ）A、直线 B、抛物线 C、椭圆 D、双曲线的一支二填空题（共
4、 6 小题,双空每空 3 分，单空每空 4 分，共 30 分）11.直线 的斜率为 ；倾斜角大小为_=3+112.已知圆 ： , 则圆 在点 处的切线的方程是 _；过点（2，2）的切线方程是 .13某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 cm 3，该几何体的表面积为 cm 214已知 m，n，s，tR +，m+n=2， ，其中 m、n 是常数，当 s+t 取最小值 时，m、n 对应的点（m，n）是双曲线 一条弦的 中点，则此弦所在的直线方程为 15在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线 的左支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p0）交于 M，N 两点若|MF|+|NF|
5、=4|OF|，则该双曲线的离心率为 16在三棱锥 TABC 中，TA，TB，TC 两两垂直，T 在底面 ABC 内的正投影为 D，下列命题：D 一定是ABC 的垂心；D 一定是ABC 的外心；ABC 是锐角三角形 其中正确的是 （写出所有正确的命题的序号）- 3 -三、解答题（共 4 题，50 分）17 （满分 12 分）已知抛物线 C：y 2=2px 的焦点坐标为 F（1，0） ，过 F的直线 l 交抛物线 C于 A，B 两点，直线 AO，BO 分别与直线 m：x=2 相交于 M，N 两点（）求抛物线 C 的方程；（）证明ABO 与MNO 的面积之比为定值18.（满分 12 分）如图所示，四
6、棱锥 SABCD 中，SA底面 ABCD，ABC=90SA=2, ，BC=1， ，ACD=60，E 为 CD 的中点（1）求证：BC平面 SAE；（2）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值- 4 -19 （满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，点 E 是 AD 的中点，点 F 在棱 PB 上，ADBC，ABAD，PA=PD=2，BC= AD=1，AB= ，PC= （1）证明：平面 CEF平面 PAD；（2）设 =k （0k1） ，且二面角 PCEF 的大小为 30，求实数 k 的值20 （满分 14 分）对于曲线 C 上一点 T，若在曲线 C 上存在异于 T 的两点，满足|TM
7、|=|TN|，且 TMTN，则称点 T 为曲线 C 的“T 点” ，TMN 是点 T 的一个“特征三角形”已知椭圆 的一个顶点为 B（0，1） ，A 1，A 2分别为椭圆 G 的左、右顶点（ I）证明：BA 1A2不是点 B 的“特征三角形” ；（ II）当 a=2 时，已知点 A2是椭圆 G 的“T 点” ，且A 2MN 是点 A2的“特征三角形” ，求出点 M，N 的一组坐标；- 5 -（ III）试判断点 B 是否为椭圆 G 的“T 点” ，若是，求出其“特征三角形”的个数；若不是，请说明理由- 6 -高二数学期末复习卷答案一选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）题号 1
8、 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B B A C B A D A C二填空题（共 6 小题,双空每空 3 分，单空每空 4 分，共 30 分）11. ； 12. ；x =2 或 y=23313 , 216 14x2y+1=015 16 三、解答题（共 4 题，50 分）17 （满分 12 分）已知抛物线 C：y 2=2px 的焦点坐标为 F（1，0） ，过 F 的直线 l 交抛物线 C于 A，B 两点，直线 AO，BO 分别与直线 m：x=2 相交于 M，N 两点（）求抛物线 C 的方程；（）证明ABO 与MNO 的面积之比为定值【解答】解：（）由焦点坐标为（1，0）可知 ，p=
9、2抛物线 C 的方程为 y2=4x（）当直线 l 垂直于 x 轴时，ABO 与MNO 相似， 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 方程为 y=k（x1） ，设 M（2，y M） ，N（2，y N） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 整理得 k 2x2（4+2k 2）x+k 2=0，AOB=MON，x 1x2=1 - 7 -综上 18.（满分 12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA底面 ABCD，ABC=90，BC=1， ，ACD=60，E 为 CD 的中点（1）求证：BC平面 SAE；（2）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值【解答】证明：（1）
10、因为 ，BC=1，ABC=90，所以 AC=2，BCA=60，在ACD 中， ，AC=2，ACD=6 0，由余弦定理可得：AD 2=AC2+CD22ACCDcosACD解得：CD=4所以 AC2+AD2=CD2，所以ACD 是直角三角形，又 E 为 CD 的中点，所以又ACD=60，所以ACE 为等边三角形，所以CAE=60=BCA，所以 BCAE，又 AE平面 SAE，BC平面 SAE，所以 BC平面 SAE（2）由（1）可知BAE=90，以点 A 为原点，以 AB，AE，AS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 S（0，0，2） ， ， ， 所以 ， ， - 8
11、-设 为平面 SBC 的法向量，则 ，即设 x=1，则 y=0， ，即平面 SBC 的一个法向量为 ，所以所以直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值为 19 （满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，点 E 是 AD 的中点，点 F 在棱 PB 上，ADBC，ABAD， PA=PD=2，BC= AD=1，AB= ，PC= （1）证明：平面 CEF平面 PAD；（2）设 =k （0k1） ，且二面角 PCEF 的大小为 30，求实数 k 的值【解答】 （1）证明：由 PA=PD=2，点 E 是 AD 的中点，PAAD，- 9 -ABCE 是矩形，ECAD，平面 PAD平面 ABCD=
12、AD，PE平面 PAD，ECPA平面 ABCDEC平面 ABCDPAECBC= AD=1，ADBC，ABAD，ECAD，AD平面 PAD，平面 CEF平面 PAD（2）由（1）可得 PAAD，ECAD，PAEC，以 E 为坐标原点，向量 ， ， 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方形建立如图所示的空间 直角坐标系 AxyzE（0，0，0） ，P（0，0， ） ，C（0， ，0） ，B（1， ，0） ，设 F（x，y，z） ，则 =（x，y，z ） ， =（1， ， ） ， ， ，可得：x=k，y= ，z= ，即 F（k， ， ） ，设平面 CEF 的法向量为 （p，q，r） ，=（k， ， ）
13、 ，=（k， ， ） ，即 ，令 r= ，则 q=0，p= ，即 （ ，0， ） ，PCE 的法向量为 = （1， 0，0） ，二面角 PCEF 的大小为 30，- 10 -即 cos30=| |=| |= ，解得：k= ，故得实数 k 的值为 20 （满分 14 分）对于曲线 C 上一点 T，若在曲线 C 上存在异于 T 的两点，满足|TM|=|TN|，且 TMTN，则称点 T 为曲线 C 的“T 点” ，TMN 是点 T 的一个“特征三角形”已知椭圆 的一个顶点为 B（0，1） ，A 1，A 2分别为椭圆 G 的左、右顶点（ I）证明：BA 1A2不是点 B 的“特征三角形” ；（ II）
14、当 a=2 时，已知点 A2是椭圆 G 的“T 点” ，且A 2MN 是点 A2的“特征三角形” ，求出点 M，N 的一组坐标；（ III）试判断点 B 是否为椭圆 G 的“T 点” ，若是，求出其“特征三角形”的个数；若不是，请说明理由【解答】 （本小题满分 14 分）解：（ I） 证明：，因为 a1，所以 ，即 A1B 与 A2B 不垂直所以BA 1A2不是点 B 的“特征三角形” （4 分）（ II）当 a=2 时，椭圆 因为点 A2是椭圆 G 的“T 点” ，且A 2MN 是点 A2的一个“特征三角形” ，不妨设 M（m，n） ，N（m，n） （2m2） - 11 -由题意得： 解得
15、或 （舍）所以 （或 ） （8 分）（III）点 B 是椭圆 G 的“T 点” 不妨设点 B 的“特征三角形”为BPQ设直线 BP 的方程为 y=kx+1（k0） ，则直线 BQ 的方程为 ，由 得（1+a 2k2）x 2+2a2kx=0因为 B（0，1） ，所以 所以 = 同理可得 因为|BP|=|BQ|，所以 ，即（k1）k 2+（1a 2）k+1=0 （1）所以 k=1 或 k2+（1a 2）k+1=0（2） 由（2）式可得=（1a 2） 24=（a 2+1） （a 23） 当 时， （2）式有两个相等的正根 1，所以（1）式有三个相等的正根为 k=1；当 时， （2）式有两个不等于 1 的正根，所以（1）式有三个不相等的正根；当 时， （2）式无实根，所以（1）式只有一个正根为 k=1综上：当 时，满足条件的“特征三角形”有 1 个当 时，满足条件的“ 特征三角形”有 3 个 （ 14 分）
