1、1海南省儋州一中 2018-2019 学年高二数学上学期第二次月考试题考试时间 120 分钟； 满分：150 分； 第卷一.选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若复数 z 满足 ，则 =（ ）(2)1izA B C D5i2i125i2.“ ”是 “方 程 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 ”的 （ ）0mn2nyxyA 充 分 而 不 必 要 条 件 B 必 要 而 不 充 分 条 件C 充 分 必 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件3函数 f(x) x3 x22 x 取极小值时， x 的值
2、是( )13 12A2 B2，1 C1 D34若抛物线 的焦点与椭圆 的左焦点重合,则 p 的值为 ( )py1592yA2 B2 C4 D45.设平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 E， P 为空间任意一点，如图所示，若 x ，则 x( ) PA PB PC PD PE A2 B3C4 D56已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 到焦点的距离等于(,3)Pm5，则 m 的值（ ）A B C D22698267已知两点 、 ，且 是 与 的等差中项，则动点 的轨迹1(,0)F2(,)12F1P2FP方程是( ） A B C D269xy26xy243xy21
3、34xy8.函数 在区间 上单调递减,则 的取值范围是（ ）2()fa(aA. B. C. D.,2,)2),29现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为 且用料最省，则水桶底面圆的半27径为（ ）A B C D32323610.在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2， BC2， DD13，则 AC 与 BD1所成角的余弦值是( )A0 B. C D.37070 37070 707011.已知抛物线 2()ypx的焦点为 F，点 12()()Pxyy， 3()Pxy在抛物线上，且 13， 则有（ ） 2FP 2213F 13 P12.椭圆 与圆 （ 为椭圆半焦距）有四个不同交点，2b
4、yax)0(a22)(cbyx则离心率的取值范围是 （ ）A B C D53e1e15e530e第卷二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知复数 z满足 ，其中 是虚数单位，则复数 z的虚部为_12ii14.已知向量 ， ，若 6，且 ，则 x y_.),4(xa),(yb|ab15.若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _ey0150xyab16.已知函数 在 上不是单调函数，则实数 的取值范围为xxf27)(3,_3三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17.（本题 10 分）已知函数 f(x) x33 ax
5、22 bx 在点 x1 处的极小值为1，试确定a， b 的值，并求 f(x)的单调区间18. （本题 12 分）已知椭圆 C 与椭圆 x237 y237 的焦点 F1， F2相同，且椭圆 C 过点34,5(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 P C，且 F1PF2 ，求 F1PF2的面积 319（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC平面 AA1C1C， AB3， BC5. (1)求证： AA1平面 ABC；(2)求二面角 A1-BC1-B1的余弦值420. （本小题满分 12 分）已知抛物线 C： y22 p
6、x 过点 P(1,1)过点 作直线 l 与抛(0，12)物线 C 交于不同的两点 M， N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP， ON 交于点 A， B，其中O 为原点(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证： A 为线段 BM 的中点21. (本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA CD， PA1， PD ， E 为 PD 上一点， PE2 ED2(1)求证： PA平面 ABCD；(2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面AEC？若存在，指出 F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由22. （本小题满
7、分 12 分）设 ln x， g(x) ffxf(1)求 g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系；1x(3)求 a 的取值范围，使得 g(a) g(x)0 成立1a52020 届高二年级月考（二）数学试题答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）二.填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13. -1 14. 1 或3 15. -1 16. ( -4, -3) (2,3) 三、解答题（共 70 分）17.解析：由已知 f( x)3 x26 ax2 b， f(1)36 a2 b0，又 f(1)13 a2 b1，由解得 a ， b ，
8、 f(x) x3 x2 x，13 12由此得 f( x)3 x22 x1(3 x1)( x1)，令 f( x)0，得 x1， 令 f( x)0，即 f(x)在 x1 处取得极小值，故 a ， b ，且 f(x) x3 x2 x，13 12它的单调增区间是(， )和(1，)， 它的单调减区间是( ，1)13 1318 解：(1)因为椭圆 y21 的焦点坐标为(6,0)，(6,0)x237所以设椭圆 C 的标准方程为 1( a236)x2a2 y2a2 36将点 的坐标代入整理得 a4109 a29000，解得 a2100 或 a29(舍去)，34,5所以椭圆 C 的标准方程为 1x2100 y2
9、64(2)因为 P 为椭圆 C 上任一点，所以| PF1| PF2|2 a20由(1)知 c6，在 PF1F2中，| F1F2|2 c12，所以由余弦定理得：|F1F2|2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos ， 3即 122| PF1|2| PF2|2| PF1|PF2|因为| PF1|2| PF2|2(| PF1| PF2|)22| PF1|PF2|，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案B B C C C D C B B A C A6所以 122(| PF1| PF2|)23| PF1|PF2| 所以 12220 23| PF1|PF2|所以|
10、 PF1|PF2| 202 1223 3283 2563S PF1F2 |PF1|PF2|sin 12 3 12 2563 32 6433所以 F1PF2的面积为 643319.解：(1)证明：因为 AA1C1C 为正方形，所以 AA1 AC.因为平面 ABC平面 AA1C1C，且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC，所以 AA1平面 ABC.(2)由(1)知 AA1 AC， AA1 AB.由题知 AB3， BC5， AC4，所以 AB AC.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，则B(0,3,0)， A1(0,0,4)， B1(0,3,4)， C1(4,0,4)设平面 A1BC1
11、的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!令 z3，则 x0， y4，所以 n(0,4,3)同理可得，平面 B1BC1的一个法向量为 m(3,4,0)所以 cos n， m .nm|n|m| 1625由题知二面角 A1BC1B1为锐角，所以二面角 A1BC1B1的余弦值为 .162520.解 (1)由抛物线 C： y22 px 过点 P(1,1)，得 p .12所以抛物线 C 的方程为 y2 x.抛物线 C 的焦点坐标为 ，准线方程为 x .(14， 0) 14(2)证明：由题意，设直线 l 的方程为 y kx (k0)， l 与抛物线 C 的交点为12M(x1， y1
12、)， N(x2， y2)由Error! 得 4k2x2(4 k4) x10，则 x1 x2 ， x1x2 .1 kk2 14k2因为点 P 的坐标为(1,1)，所以直线 OP 的方程为 y x，点 A 的坐标为( x1， x1)7直线 ON 的方程为 y x，点 B 的坐标为 .y2x2 (x1， y2x1x2)因为 y1 2 x1y2x1x2 y1x2 y2x1 2x1x2x2(kx1 12)x2 (kx2 12)x1 2x1x2x2(2k 2)x1x2 12(x2 x1)x2 0，(2k 2)14k2 1 k2k2x2所以 y1 2 x1，y2x1x2故 A 为线段 BM 的中点21.解：
13、(1)证明： PA AD1， PD ，2 PA2 AD2 PD2，即 PA AD又 PA CD， AD CD D， PA平面 ABCD(2)以 A 为原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,1,0)， P(0,0,1)，E ， (1,1,0)， .设平面 AEC(0，23， 13) AC AE (0， 23， 13)的法向量为 n( x， y， z)，则Error!即Error! 令 y1，则 n(1,1，2)假设侧棱 PC 上存在一点 F，且 (0 1)，CF CP 使得 BF平面 AEC，
14、则 n0.BF 又 (0,1,0)( ， ， )( ，1 ， )，BF BC CF n 1 2 0， ，BF 12存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点822.解析 (1)由题设知 g(x)ln x ，1x g( x) ，令 g( x)0，得 x1.x 1x2当 x(0,1)时， g( x)0，故(1，)是 g(x)的单调递增区间，因此， x1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g( )ln x x，1x设 h(x) g(x) g( )2ln x x ，则1x 1xh( x) . x 1 2x2当 x1 时， h(1)0，即 g(x) g( )1x当 x(0,1)(1，)时， h( x)h(1)0，即 g(x)g( )，1x当 x1 时， h(x)0 成立 g(a)1 ，1a 1a即 lna1，从而得 0ae，即 a 的取值范围为(0，e)
