1、12018-2019 学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】则故选2.已知 ，则 “ ”是“ ”的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时， 成立， 充分性成立，而当 时， 成立， 不成立，必要性a2 a22a a=1 a22a a2不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.a2 a22a【方法点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件
2、 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p q.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，pq,qp还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.已知向量 ， ，则下列向量与 平行的是 a=(2,-1) b=(-1,3) 2a+bA. B. C. D. (2,23) (1,-3) (1,-2) (0,2)【答案】A【解析】【分析】2根据向量的线性运算，计算 根据向量平行的基本定理即可判定.2a+b=（3,1）,【详解】因为 ， ，所以 由 可知 与向量a=(2,-1) b=(-1,
3、3) 2a+b=（3,1）, （3,1）= 32(2,23) 2a+b平行，故选 A.(2,23)【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量共线的基本定理，属于中档题.4.下列说法正确的是（ ）A. “若 ，则 ”的否命题是 “若 ，则 ”a1 a21 a1 a21B. “若 ，则 ”的逆命题为真命题am24x0D. “若 ，则 ”是真命题sin12 6【答案】D【解析】选项 A，否命题为“若 ，则 ”，故 A 不正确a1 a21选项 B，逆命题为“若 ，则 ”，为假命题，故 B 不正确a20=1 b=(67) 160c=ln31 A. B. C. D. (4,+) 4,+) 4,6 (0,+
4、)【答案】C【解析】【分析】根据分段函数在 R 上为减函数可知每一段上函数都是减函数，且当 时， 即可求x=1 9a2a解.【详解】因为函数 为 R 上的减函数，所以 ,f(x)=x2-a2x+8,x1ax,x1 y=x2-a2x+8,x1,是减函数，且当 时， ，故只需满足 ，解得 ，故选 C.y=ax,x1 x=1 9a2a 1a4a09a2a 4a6【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，二次函数的单调性，反比例函数的单调性，属于中档题.510.若 ，则 sin+cossin-5cos=3 cos2=(A. B. C. D. -2425 -6365 2425 725【答案】B【解析】【分
5、析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 的值，再利用二倍角的余弦公式，求得tan的值cos2【详解】若 ，则 ，sin+cossin-5cos=tan+1tan-5=3 tan=8，cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=-6365故选 B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题11.定义在 R 上的函数 满足 ， ，且当 时，则f(x) f(-x)=-f(x) f(x)=-1f(x+2) x(-1,0)，则 f(x)=2 x+15 f(log220)=(A. B. C. 1 D. -145 -45【答案】A【解析】【分
6、析】根据 可知函数的周期为 ，故 ，又函数为f(x)=-1f(x+2) T=4 f(log220)= f(log2204)=f(log254)奇函数，故 ，根据 即可求解.f(log254)=f(log254)=f(log245) log245(1,0)【详解】因为 ，所以 ，所以函数周期 ,f(x)=-1f(x+2) f(x+4)=f(x) T=4故 ，又函数为奇函数，f(log220)= f(log2204)=f(log254)故 ，根据f(log254)=f(log254)=f(log245) log245(1,0)可知， ，所以 ，故选 A.f(log245)=2log245+15=4
7、5+15=1 f(log220)=-1【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性及对数的运算，属于中档题.612.已知 c 为常数和 是定义在 上的函数，对任f(x)=12x2+bx+c(b, g(x)=14x+1x M=x|1x4意的 ，存在 使得 ， ，且 ，则 在集合 M 上的xM x0M f(x)f(x0) g(x)g(x0) f(x0)=g(x0) f(x)最大值为 A. B. 5 C. 6 D. 872【答案】B【解析】【分析】根据 的最小值相等可得 ，由题意得 在 处有最小值，进而得到f(x),g(x) c=1-b2 f(x) x=2，故得 ，于是可得函数 的解析式，再求出函数
8、在区间 上f(2)=8-b4=0 b=8,c=-5 f(x) f(x) 1,4的最大值即可【详解】因为 （当且仅当 时等号成立） ，g(x)=14x+1x214=1 x=2所以 ，f(2)=2+b2+c=g(2)=1所以 ，c=-1-b2所以 ，f(x)=12x2+bx+c=12x2+bx-1-b2所以 ，f(x)=x-bx2=x3-bx2因为 在 处有最小值，f(x) x=2所以 ，解得 ，f(2)=8-b4=0 b=8所以 ，c=-5所以 ， ，f(x)=12x2+8x-5 f(x)=x3-8x2=(x-2)(x2+2x+4)x2所以 在 单调递减，在 上单调递增，f(x) 1,2 2,4
9、而 ，f(1)=12+8-5=72,f(4)=8+2-5=5所以函数 的最大值为 f(x) 5故选 B【点睛】解答本题的关键是读懂题意，然后结合不等式、函数等知识求解，其中转化思想方法的运用是解题的关键，考查阅读理解和应用能力7二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知函数 的定义域为_f(x)= log0.5(x-1)【答案】 (1,2【解析】【分析】根据函数解析式可知， 且 ，求解即可.log0.5(x1)0 x10【详解】要是函数有意义，则需 ，解得 ，故函数定义域为 .log0.5(x1)0x10 10,a1) mx-ny-1=0， ，则 的最小值为_m0 n01m+
10、2n【答案】 3+22【解析】【分析】根据指数函数的性质知， 恒过 ，故有 ，代入f(x)=ax-1-2(a0,a1) A(1,1) m+n=1可得： ，利用均值不等式求最值即可 .1m+2n 1m+2n=1+ nm+2n=1+nm+2+2mn【详解】因为 恒过 ，且点 A 在直线 上，f(x)=ax-1-2(a0,a1) A(1,1) mx-ny-1=0所以 ，m+n=1因为 ，m0 n0则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 1m+2n=1+ nm+2mn+23+22 nm=2mn m= 21,n=22故填 .3+22【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，均值不等式，属于中档题.三、解答题（
11、本大题共 7 小题，共 70 分）17.已知函数 的最小正周期为 f(x)=sin(2x6)+2cos2x1(0) （ ）求 的值及函数 的单调递增区间1 f(x)（ ）求 在区间 上的最大值和最小值2 f(x) 0,7129【答案】 （ ） ，单调递增区间 ， ；（ ）最大值为 ，最小值为1 =1 3+k,6+k (kZ) 2 132【解析】试题分析： （1）利用降幂公式降幂后，再由两角差的正弦公式和两角和的正弦公式化函数为一个三角函数形式，然后利用周期公式可得 ，结合正弦函数的单调性可得增区间；（2）由（1）可得函数在区间 上的单调性，从而可得最大值和最小值.0,712试题解析：（ ）1
12、f(x)=sin(2x-6)+2cos2x-1=sin2xcos6-cos2xsin6+cos2x=32sin2x+12cos2x=sin(2x+6) ，T=22= =1在 中，-2+2k2x+62+2k即 为单调递增区间x|-3+kx6+k（ ）由（ ）得 ，2 1 f(x)=sin(2x+6) ，0x712 ，62x+643当 时，即 时， ，2x+6=2 x=6 f(x)max=1当 时，即 时， 2x+6=43 x=712 f(x)min=- 3218.在 中，角 的对边分别为 ，满足 ABC A,B,C a,b,c (2bc)cosA=acosC（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的
13、周长最大值A a=3 ABC【答案】 （1） （2） 的周长取得最大值为 9A=3 ABC10【解析】试题分析：（1）由已知 及余弦定理，化简可得 则角 易(2bc)cosA=acosC b2+c2a2=bc, A求；（2）由（1）得 ，再由正弦定理得 ，所以 ；A=3 bsinB= csinC= asinA=332=23 b=23sinB， 的周长 ，根据 可c=23sinC ABC l=3+23sinB+23sin(B+3)=3+6sin(B+6) B(0,23)求 的周长最大值ABC试题解析：（1）由 及余弦定理，得(2bc)cosA=acosC(2bc)b2+c2a22bc =ab2+
14、a2c22ba整理，得 b2+c2a2=bc,cosA=b2+c2a22bc =12 ，A(0,) A=3（2）解：由（1）得 ，由正弦定理得 ，A=3 bsinB= csinC= asinA=332=23所以 ；b=23sinB c=23sinC的周长ABC l=3+23sinB+23sin(B+3)=3+23sinB+23(sinBcos3+cosBsin3)=3+33sinB+3cosB=3+6sin(B+6) ，当 时， 的周长取得最大值为 9B(0,23) B=3 ABC考点：解三角形19.2017 年 10 月 18 日至 10 月 24 日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的
15、“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取 100 名员工进行问卷调查，调查问卷共有 20 个问题，每个问题 5 分，调查结束后，发现这 100 名员工的成绩都在 内，按成绩分成 5 组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第75,100 75,80) 80,85) 85,90)4 组 ，第 5 组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在90,95) 95,100第 3，4，5 组，现在用分层抽样的方法在第 3，4，5 组共选取 6 人对“十九大”精神作深入学习11求这 100 人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表；(1)求第 3，4
16、，5 组分别选取的作深入学习的人数；(2)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这 6 人随机选取 2 人再(3)全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率【答案】 （1）87.25；（2）3，2， ；（3）145【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这 100 人的平均得分（2）第 3 组的人数为 30，第4 组的人数为 20，第 5 组的人数为 10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这 6 人随机选取 2 人，利用列举法能写出甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率.【
17、详解】 这 100 人的平均得分为：(1).x=5(75+802 0.01+80+852 0.07+85+902 0.06+90+952 0.04+95+1002 0.02)=87.25第 3 组的人数为 ，(2) 0.065100=30第 4 组的人数为 ，0.045100=20第 5 组的人数为 ，故共有 60 人，0.025100=10用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2， 1.记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，(3)则所有选取的结果为甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己 、丙、丁、丙、戊、丙、己、丁、戊、丁、己 、戊、己共 15 种情况，其中甲
18、、乙、丙这 3 人至多有一人被选取有 12 种情况，12故甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率为 P=1215=45.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题.20.已知椭圆 C： 的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角x2a2+y2b2=1(ab0)形的面积为 3求椭圆 C 的方程；(1)设 ， 是椭圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 和 ，(2) F1 F2 F1 F2求这个平行四边形的面积最大值【答案】 （1） ；（2） 。x24+y23=1【解析】试题分析：（）由条件列式 解得 即得椭圆 的方程.a2=b2+c
19、2,bc=1,b=c, a= 2,b=1, C（）联立 整理得 ，可得x=ty+1,x2+2y2=2, (t2+2)y2+2ty-1=0|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=8t2+8t2+2=22t2+1t2+2，所 以 SOAB=SOF2A+SOF2B=12|OF|y1-y2|可得 再求最值即可 .S=4SOAB=42 t2+1t2+2试题解析：（）依题意 解得 即椭圆 的方程为 a2=b2+c2,bc=1,b=c, a= 2,b=1, C x22+y2=1（）设过椭圆右焦点 的直线： 与椭圆交于 ， 两点，F2 x=ty+1 A B则 整理得 ，x=ty+1,x2+2y2=2,
20、 (t2+2)y2+2ty-1=0 ， ，y1+y2=-2tt2+2 y1y2= -1t2+2 ，|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=8t2+8t2+2 =22t2+1t2+213，SOAB=SOF2A+SOF2B=12|OF|y1-y2|=2 t2+1t2+2椭圆 的内接平行四边形面积为 ，C S=4SOAB=42 t2+1t2+2令 ，则 ，m= 1+t21 S=f(m)=42mm2+1=42m+1m注意到 在 上单调递减，所以 ，当且仅当 ，即 时等S=f(m) 1,+) Smax=f(1)=42 m=1 t=0号成立，故这个平行四边形的面积最大值为 4221.已知函数 ，
21、.f(x)=lnx2x2+3 g(x)=f(x)+4x+alnx(a0)（1）求函数 的单调区间；f(x)（2）若关于 的方程 有实数根，求实数的取值范围.x g(x)=a【答案】 （1）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）当f(x) (0,12) (12,+)时，方程 有实数根.a(,0)1,+) g(x)=a【解析】试题分析：（1）函数求导 ，从而得单调区间；f(x)=(1+2x)(1-2x)x（2）方程 有实数根，即函数 存在零点，分类讨论函数 的1x+alnx-a=0 h(x)=1x+alnx-a h(x)单调性，从而得有零点时参数的范围.试题解析：（1）依题意，得 ，
22、.f(x)=1x-4x=1-4x2x =(1+2x)(1-2x)x x(0,+)令 ，即 .f(x)0 1-2x0解得 ；012故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .f(x) (0,12) (12,+)（2）由题得， .g(x)=f(x)+4x+alnx=1x+alnx依题意，方程 有实数根，1x+alnx-a=014即函数 存在零点.h(x)=1x+alnx-a又 .h(x)=-1x2+ax=ax-1x2令 ，得 .h(x)=0 x=1a当 时， .a0h(e1-1a)= 1e1-1a+a(1-1a)-a = 1e1-1a-10 h(x) h(x) x所以 为函数 的极小值，也是最小
23、值.h(1a)=a+aln1a-a=-alna h(x)当 ，即 时，函数 没有零点；h(1a)0 00所以函数 存在零点.h(x)综上所述，当 时，方程 有实数根.a(-,0)1,+) g(x)=a点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.22.已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点 , 轴的正半轴为极轴C x=2cosy=sin x15建立极坐
24、标系,直线的极坐标方程为 。2sin(+4)=3(1)求曲线 的普通方程及直线的直角坐标方程；C(2)求曲线 上的点到直线的距离的最大值。C【答案】(1) ， .x24+y2=1 x+y3=0(2) .10+322【解析】【分析】（1）消去参数方程中的参数 可得曲线 的普通方程；将极坐标方程 化为 C 2sin(+4)=3，可得直角坐标方程 （2）设曲线 上的点为 ，由点到直线的(sin+cos)=3 C (2cos,sin)距离可得所求，然后根据三角函数的有关知识讨论距离的最大值即可【详解】 （1）消去方程 ( 为参数)中的参数 可得 ，x=2cosy=sin x24+y2=1曲线 的普通方
25、程为 ；Cx24+y2=1由 ,得 ,2sin(+4)=3 (sin+cos)=3将 代入上式得 ，sin=y,cos=x x+y=3直线的普通方程为 x+y-3=0（2）设曲线 上的一点为 ,C (2cos,sin)则该点到直线的距离 (其中 )，d=|2cos+sin-3|2 =| 5sin(+)-3|2 tan=2当 时, sin(+)=-1 dmax=| 5+3|2 =10+322曲线 上的点到直线的距离的最大值为 C10+322【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程间的转化，以及参数方程的应用，考查转化能力和综合运用知识解决问题的能力，是高考中的常考题型，属于中
26、档题23.已知函数 .f(x)=|2x1|+|x+1|（1）解不等式 ；f(x)3（2）记函数 的值域为 ，若 ，试证明： .g(x)=f(x)+|x+1| M tM t22t3【答案】(1) ；(2)证明见解析.x|1x116【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式 的解集为 .f(x)3 x|-1x1(2)结合绝对值三角不等式的性质可得 ，结合二次函数的性质可得 ，M=3,+) t-30，则 .t+10 t2-2t3试题解析：（1）依题意，得 则不等式 ，即为f(x)=-3x,x-1,2-x,-1x12,3x,x12, f(x)3或 或 解得 .故原不等式的解集为 .（2）由题得， ，当且仅当 ，即 时取等号， ， ， ， ， ， ， .
