1、1操作探究一、选择题1 （2018湖北荆门3 分）如图，等腰 RtABC 中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点，P 为 AC 边上的动点，OQOP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长为（ ）A B C1 D2【分析】连接 OC，作 PEAB 于 E，MHAB 于 H，QFAB 于 F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC= ，A=B=45，OCAB，OC=OA=OB=1，OCB=45，再证明 RtAOPCOQ 得到AP=CQ，接着利用APE 和BFQ 都为等腰直角三角形得到 PE= AP= CQ，QF= BQ
2、，所以PE+QF= BC=1，然后证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到 MH= ，即可判定点 M 到 AB 的距离为 ，从而得到点 M 的运动路线为ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点 M 所经过的路线长【解答】解：连接 OC，作 PEAB 于 E，MHAB 于 H，QFAB 于 F，如图，ACB 为到等腰直角三角形，AC=BC= AB= ，A=B=45，O 为 AB 的中点，OCAB，OC 平分ACB，OC=OA=OB=1，OCB=45，POQ=90，COA=90，AOP=COQ，在 RtAOP 和COQ 中，RtAOPCOQ，AP=CQ，易得APE 和BFQ 都为等腰直角
3、三角形，PE= AP= CQ，QF= BQ，2PE+QF= （CQ+BQ）= BC= =1，M 点为 PQ 的中点，MH 为梯形 PEFQ 的中位线，MH= （PE+QF）= ，即点 M 到 AB 的距离为 ，而 CO=1，点 M 的运动路线为ABC 的中位线，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长= AB=1故选：C【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹也考查了等腰直角三角形的性质2 （2018浙江临安3 分）如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座
4、“小别墅” ，则图中阴影部分的面积是（ ）A2 B4 C8 D10【考点】阴影部分的面积【分析】本题考查空间想象能力【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=44=16，3图中阴影部分的面积是 164=4故选：B【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系3（2018浙江舟山3 分）将一张正方形纸片按如图步骤，沿虚线对折两次，然后沿中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）A. B. C. D. 【考点】剪纸问题 【解析】 【解答】解：沿虚线剪开以后，剩下的图形先向右上方
5、展开，缺失的部分是一个等腰直角三角形，用直角边与正方形的边是分别平行的，再沿着对角线展开，得到图形 A。故答案为 A。【分析】根据对称的性质，用倒推法去展开这个折纸。【点评】本题主要考查了等腰直角三角形、直角三角形的判定和考生的空间想象能力.二.填空题(要求同上一.)1 （2018湖南省常德3 分）如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 G 处，点 C落在点 H 处，已知DGH=30，连接 BG，则AGB= 75 4【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，EGH=ABC=90，从而可证明EBG=EGB ，然后再根据EGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH，由
6、平行线的性质可知AGB=GBC，从而易证AGB=BGH，据此可得答案【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，EGH=ABC=90，EBG=EGBEGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH又ADBC，AGB=GBCAGB=BGHDGH=30，AGH=150，AGB= AGH=75，故答案为：75【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等2. （2018浙江舟山4 分）如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A，D，量得 AD=
7、10cm，点 D 在量角器上的读数为 60，则该直尺的宽度为_ cm。【考点】垂径定理，切线的性质 【分析】因为直尺另一边 EF 与圆 O 相切于点 C，连接 OC，可知求直尺的宽度就是求 CG=OC-OG，而OC=OA；OG 和 OA 都在 RtAOG 中，即根据解直角三角形的思路去做：由垂定理可知5AG=DG= AD=5cm，AOG= AOD=60，从而可求答案.【解答】解：如图，连结 OD，OC，OC 与 AD 交于点 G,设直尺另一边为 EF，因为点 D 在量角器上的读数为 60，所以AOD=120，因为直尺一边 EF 与量角器相切于点 C，所以 OCEF，因为 EF/AD，所以 OC
8、AD，由垂径定理得 AG=DG= AD=5 cm，AOG= AOD=60，在 RtAOG 中，AG=5 cm，AOG=60，则 OG= cm,OC=OA= cm则 CG=OC-OG= cm.【点评】本题的关键是利用垂径定理和切线的性质.三.解答题(要求同上一)1. （2018四川凉州8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O1的坐标为（4，0） ，以点 O1为圆心，8 为半径的圆与 x 轴交于 A，B 两点，过 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60的角，且交 y 轴于 C 点，以点 O2（13，5）为圆心的圆与 x 轴相切于点 D（1）求直线 l 的解析式；（2）将O 2以每秒 1 个单
9、位的速度沿 x 轴向左平移，当O 2第一次与O 1外切时，求O 2平移的时间6【分析】 （1）求直线的解析式，可以先求出 A、C 两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式（2）设O 2平移 t 秒后到O 3处与O 1第一次外切于点 P，O 3与 x 轴相切于 D1点，连接O1O3，O 3D1在直角O 1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出 O1D1，进而求出 D1D 的长，得到平移的时间【解答】解：（1）由题意得 OA=|4|+|8|=12，A 点坐标为（12，0） 在 RtAOC 中，OAC=60，OC=OAtanOAC=12tan60=12 C 点的坐标为（0，12 ） 设直线 l
10、 的解析式为 y=kx+b，由 l 过 A、C 两点，得 ，解得直线 l 的解析式为：y= x12 （2）如图，设O 2平移 t 秒后到O 3处与O 1第一次外切于点 P，O 3与 x 轴相切于 D1点，连接O1O3，O 3D1则 O1O3=O1P+PO3=8+5=13O 3D1x 轴，O 3D1=5，在 RtO 1O3D1中， O 1D=O1O+OD=4+13=17，D 1D=O1DO 1D1=1712=5， （秒） O 2平移的时间为 5 秒7【点评】本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的2. （2018四川凉州10 分）如图，已知抛物
11、线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（0，2）两点，顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90后，点 B 落到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足NBB 1的面积是NDD 1面积的 2 倍，求点 N 的坐标【分析】 （1）利用待定系数法，将点 A，B 的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0） ，B（0，2） ，OA=1，OB=2，可得旋转后 C 点的坐标为（3，1） ，当
12、 x=3 时，由 y=x23x+2 得 y=2，可知抛物线 y=x23x+2 过点（3，2）将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C平移后的抛物线解析式为：y=x23x+1；（3）首先求得 B1，D 1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想【解答】解：（1）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（0，2） ， ，解得 ，所求抛物线的解析式为 y=x23x+2；8（2）A（1，0） ，B（0，2） ，OA=1，OB=2，可得旋转后 C 点的坐标为（3，1） ，当 x=3 时，由 y=x23x+2 得 y=2，可知抛物线 y=x23x+2 过点（3，2） ，将
13、原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C平移后的抛物线解析式为：y=x 23x+1；（3）点 N 在 y=x23x+1 上，可设 N 点坐标为（x 0，x 023x 0+1） ，将 y=x23x+1 配方得 y=（x ） 2 ，其对称轴为直线 x= 0x 0 时，如图， ，x 0=1，此时 x023x 0+1=1，N 点的坐标为（1，1） 当 时，如图，同理可得 ，x 0=3，此时 x023x 0+1=1，点 N 的坐标为（3，1） 当 x0 时，由图可知，N 点不存在，舍去综上，点 N 的坐标为（1，1）或（3，1） 9【点评】此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联
14、系密切，需要学生认真审题此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用3. （2018山西12 分）( 本 题 12 分) 综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图 1，在矩形 ABCD 中 ，AD=2AB，E 是 AB 延长线上一点， 且 BE=AB， 连接 DE， 交 BC 于 点 M， 以 DE 为一边在 DE 的左下方作正方形 DEFG， 连 接 AM试判断线段 A M 与 DE 的位置关系探究展示：勤奋小组发现，A M 垂 直 平 分 DE， 并 展 示 了 如 下 的证明 方 法 ：证 明 ： B E A , AE 2 ABAD
15、 2 AB, AD AE四 边 形 ABCD 是矩形， AD / / BC. M（依据）BE AB ,1 EM DM .即 AM 是 ADE 的 DE 边 上 的 中 线 ，又 AD AE, AM DE. （ 依 据 2）10AM 垂 直 平 分 DE反思交流：(1) 上 述 证 明 过 程 中 的 “依 据 1”“依 据 2”分 别 是指 什 么 ？ 试判 断图中 的点 A 是 否 在 线 段 GF 的垂直平分上，请直接回答，不必证明；(2)创 新 小 组 受 到 勤 奋 小 组 的 启 发 ， 继 续 进 行 探 究 ， 如 图 2， 连 接 CE， 以 CE 为 一 边 在 CE 的左
16、下方 作 正 方 形 CEFG，发现点 G 在 线 段 BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如 图 3， 连 接 CE， 以 CE 为 一 边 在 CE 的 右 上 方 作 正 方 形 CEFG， 可 以 发 现点 C， 点 B 都 在 线 段 AE 的 垂 直 平 分 线 上 ， 除 此 之 外 ， 请 观 察 矩 形 ABCD 和 正 方形 CEFG 的 顶 点 与 边 ， 你 还 能 发 现 哪 个 顶 点 在 哪 条 边 的 垂 直 平 分 线 上 ， 请 写出一个 你 发 现 的 结 论 ，并加 以 证 明.【 考 点 】平行线分线段成比例，三线合一，正方形、矩形性质
17、，全等【 解 析 】 (1) 答 ： 依 据 1： 两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截 ， 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 （ 或 平 行 线 分线段 成 比 例 ）.依 据 2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形 的 “三 线 合 一” ）.11 答 ： 点 A 在线段 GF 的 垂直 平 分 线 上 . (2) 证 明 ： 过点 G 作 GH BC 于 点 H，四边 形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上，CBE ABC GHC 90. 1+2=90.四 边 形 CEFG 为正方形，CG CE, GCE 90.1 3 90
18、. 2=3. GHC CBE. HC BE.四 边 形 ABCD 是矩形， AD BC.AD 2 AB, BE AB, BC 2BE 2HC. HC BH.GH 垂 直 平 分 BC.点 G 在 BC 的垂直平分线上（3 ） 答 ： 点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上（或 点 F 在 AD 边的垂直平分线上）.证法一：过 点 F 作 FM BC 于 点 M， 过 点 E 作 EN FM 于 点 N.BMN ENM ENF 90.四 边 形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的 延 长 线上 ， CBE ABC 90.四 边 形 BENM 为 矩 形. BM EN , BEN 9
19、0. 1 2 90.四 边 形 CEFG 为正方形， EF EC, CEF 90. 2 3 90.1=3. CBE ENF 90, ENF EBC. NE BE. BM BE.四 边 形 ABCD 是矩形， AD BC.AD 2 AB, AB BE. BC 2BM . BM MC.12FM 垂 直 平 分 BC， 点 F 在 BC 边的垂直平分线上.证 法 二：过 F 作 FN BE 交 BE 的延长线于点 N， 连 接 FB，F C.四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， 点 E 在 AB 的 延 长 线 上 ， CBE= ABC= N=90. 1+ 3=90.四 边 形 CEFG 为 正 方
20、 形 ， EC=EF， CEF=90. 1+ 2=90. 2= 3. ENF CBE.NF=BE,NE=BC.四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD=BC.AD=2AB，B E=AB. 设 BE=a， 则 BC=EN=2a,NF=a.13BF=CF. 点 F 在 BC 边的垂直平分线上.4 （2018山东菏泽10 分）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动如图 1，将：矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 剪开，得到ABC 和ACD并且量得 AB=2cm，AC=4cm操作发现：（1）将图 1 中的ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使=BA
21、C，得到如图 2 所示的ACD，过点 C 作 AC的平行线，与 DC的延长线交于点 E，则四边形ACEC的形状是 菱形 （2）创新小组将图 1 中的ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 B、A、D 三点在同一条直线上，得到如图 3 所示的ACD，连接 CC，取 CC的中点 F，连接 AF 并延长至点 G，使 FG=AF，连接 CG、CG，得到四边形 ACGC，发现它是正方形，请你证明这个结论实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将ABC 沿着 BD 方向平移，使点 B 与点 A 重合，此时 A 点平移至 A点，AC 与 BC相交于点 H，如图 4 所示
22、，连接CC，试求 tanCCH 的值【考点】LO：四边形综合题【分析】 （1）先判断出ACD=BAC，进而判断出BAC=ACD，进而判断出CAC=ACD，即可的结论；（2）先判断出CAC=90，再判断出 AGCC，CF=CF，进而判断出四边形 ACGC是平行四边形，即可得出结论；（3）先判断出ACB=30，进而求出 BH，AH，即可求出 CH，CH，即可得出结论【解答】解：（1）在如图 1 中，AC 是矩形 ABCD 的对角线，B=D=90，ABCD，ACD=BAC，在如图 2 中，由旋转知，AC=AC，ACD=ACD，14BAC=ACD，CAC=BAC，CAC=ACD，ACCE，ACCE，四
23、边形 ACEC是平行四边形，AC=AC，ACEC是菱形，故答案为：菱形；（2）在图 1 中，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，CAD=ACB，B=90，BAC+ACB=90在图 3 中，由旋转知，DAC=DAC，ACB=DAC，BAC+DAC=90，点 D，A，B 在同一条直线上，CAC=90，由旋转知，AC=AC，点 F 是 CC的中点，AGCC，CF=CF，AF=FG，四边形 ACGC是平行四边形，AGCC，ACGC是菱形，CAC=90，菱形 ACGC是正方形；（3）在 RtABC 中，AB=2，AC=4，BC=AC=4，BD=BC=2 ，sinACB= = ，ACB=30，由（2）结合
24、平移知，CHC=90，15在 RtBCH 中，ACB=30，BH=BCsin30= ，CH=BCBH=4 ，在 RtABH 中，AH= AB=1，CH=ACAH=41=3，在 RtCHC中，tanCCH= = 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出CAC=90是解本题的关键5 （2018株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线都垂直， ，垂足分别为点 A、点 B 和点 C， （高速路右侧边缘） ， 上的点 M 位于点 A的北偏东 30方向上，且 BM 千米， 上的点 N 位于点
25、 M 的北偏东 方向上，且，MN= 千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点.（1）求 之间的距离（2）若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N需要多少小时？（结果用分数表示）【答案】 （1）2；（2） 小时. 【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案；（2）利用 tan30= ，得出 AB 的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得出 AN 的长，即可得出答案详解：（1）过点 M 作 MDNC 于点 D，16cos= ，MN=2 千米，cos= ，解得：DM=2（km） ，答：l 2和 l3之间
26、的距离为 2km；（2）点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM= 千米，tan30= ，解得：AB=3（km） ，可得：AC=3+2=5（km） ，MN=2 km，DM=2km，DN= =4 （km） ，则 NC=DN+BM=5 （km） ，AN= =10（km） ，城际火车平均时速为 150 千米/小时，市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要 小时点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键6（2018河南10 分）（1）问题发现如图 1，在 OAB 和 OCD 中， OA=OB,OC=OD, AOB= COD=40，连接 AC， BD 交于点
27、M，填空： 的值为_； AMB 的度数为_。（2）类比探究如图 2，在 OAB 和 OCD 中， AOB= COD=90， OAB= OCD=30，连接 AC 交 BD17的延长线于点 M，请判断 的值及 AMB 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将 OCD 绕点 O 在平面内旋转， AC， BD 所在直线交于点 M，若OD=1， OB= ，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长。187（2018广东广州14 分）如图，在四边形 ABCD 中，B=60，D=30，AB=BC（1）求A+C 的度数。 （2）连接 BD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明
28、理由。 （3）若 AB=1，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 ，求点 E 运动路径的长度。 【答案】 （1）解：在四边形 ABCD 中，B=60，D=30，A+C=360-B-C=360-60-30=270。（2）解：如图，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAQ，连接 DQ，19BD=BQ，DBQ=60，BDQ 是等边三角形，BD=DQ，BAD+C=270，BAD+BAQ=270，DAQ=360-270=90，DAQ 是直角三角形AD 2+AQ2=DQ2 ， 即 AD2+CD2=BD2（3）解：如图，将BCE 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAF，连接 EF，BE=BF
29、，EBF=60，BEF 是等边三角形，EF=BE，BFE=60，AE 2=BE2+CE2AE 2=EF2+AF2AFE=9020BFA=BFE+AFE=60+90=150，BEC=150，则动点 E 在四边形 ABCD 内部运动，满足BEC=150，以 BC 为边向外作等边OBC，则点 E 是以 O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，运动轨迹为 BC，OB=AB=1，则 BC= = 【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算，旋转的性质 【解析】 【分析】 （1）根据四边形内角和为 360 度，结合已知条件即可求出答案.（2）将BCD 绕点 B 逆时针旋转
30、60，得到BAQ，连接 DQ（如图） ，由旋转性质和等边三角形判定得BDQ 是等边三角形，由旋转性质根据角的计算可得DAQ 是直角三角形，根据勾股定理得 AD2+AQ2=DQ2 ， 即 AD2+CD2=BD2.（3）将BCE 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAF，连接 EF(如图)，由等边三角形判定得BEF 是等边三角形，结合已知条件和等边三角形性质可得 AE2=EF2+AF2 ， 即AFE=90，从而得出BFA=BEC=150，从而得出点 E 是在以 O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，运动轨迹为 BC，根据弧长公式即可得出答案.8（2018江苏扬州12 分）问题呈现如图 1，在边长为
31、1 的正方形网格中，连接格点 D，N 和 E，C，DN 和 EC 相交于点 P，求tanCPN 的值方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 M，N，可得 MNEC，则DNM=CPN，连接 DM，那么CPN 就变换到 RtDMN 中问题解决（1）直接写出图 1 中 tanCPN 的值为 2 ；（2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AN 与 CM 相交于点 P，求 cosCPN 的值；思维拓展（3）如图 3，ABBC，AB=4BC，点 M 在 AB 上，且 A
32、M=BC，延长 CB 到 N，使 BN=2BC，连接AN 交 CM 的延长线于点 P，用上述方法构造网格求CPN 的度数21【分析】 （1）连接格点 M，N，可得 MNEC，则DNM=CPN，连接 DM，那么CPN 就变换到 RtDMN 中（2）如图 2 中，取格点 D，连接 CD，DM那么CPN 就变换到等腰 RtDMC 中（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；【解答】解：（1）如图 1 中，ECMN，CPN=DNM，tanCPN=tanDNM，DMN=90，tanCPN=tanDNM= = =2，故答案为 2（2）如图 2 中，取格点 D，连接 CD，DMCDAN，CPN=DCM
33、，DCM 是等腰直角三角形，DCM=D=45，22cosCPN=cosDCM= （3）如图 3 中，如图取格点 M，连接 AN、MNPCMN，CPN=ANM，AM=MN，AMN=90，ANM=MAN=45，CPN=45【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题9 （2018江苏盐城10 分） （1） 【发现】如图，已知等边 ，将直角三角形的 角顶点 任意放在 边上（点 不与点 、 重合） ，使两边分别交线段 、 于点 、 .若 ， ， ，则 _；求证： ._ （2） 【
34、思考】若将图中的三角板的顶点 在 边上移动，保持三角板与 、 23的两个交点 、 都存在，连接 ，如图所示.问点 是否存在某一位置，使 平分 且 平分 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. （3） 【探索】如图，在等腰 中， ，点 为 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 处（其中 ） ，使两条边分别交边 、 于点 、 （点 、 均不与 的顶点重合） ，连接 .设 ，则 与 的周长之比为_（用含 的表达式表示）.【答案】 （1）解：4；证明：EDF=60，B=160CDF+BDE=120，BED+BDE=120，BED=CDF，又B=C， （2）解：解：存在。如图，作 DMBE，
35、DGEF，DNCF，垂足分别为 M，G，N， 平分 且 平分 ，DM=DG=DN，又B=C=60，BMD=CND=90，BDMCDN，BD=CD，即点 D 是 BC 的中点，24 。（3）1-cos 【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】 （1）ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=6，B=C=60，AE=4，BE=2，则 BE=BD，BDE 是等边三角形，BDE=60，又EDF=60，CDF=180-EDF-B=60，则CDF =C=60，CDF 是等边三角形，CF=CD=BC-BD=6-2=4。
36、（ 3 ）连结 AO，作 OGBE，ODEF，OHCF，垂足分别为 G，D，H，则BGO=CHO=90，AB=AC，O 是 BC 的中点B=C，OB=OC，OBGOCH，OG=OH，GB=CH，BOG=COH=90，则GOH=180-（BOG+COH）=2，EOF=B=，则GOH=2EOF=2，由（2）题可猜想应用 EF=ED+DF=EG+FH（可通过半角旋转证明） ，则 =AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，设 AB=m，则 OB=mcos，GB=mcos 2,【分析】 （1）先求出 BE 的长度后发现 BE=BD 的，又B=60，可知BDE 是等边三角形，可得BD
37、E=60，另外EDF=60，可证得CDF 是等边三角形，从而 CF=CD=BC-BD；证明 ，这个模型可称为“一线三等角相似模型” ，根据“AA”判定相似；（2） 【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等” ，可过 D 作 DMBE，DGEF，DNCF，则 DM=DG=DN，从而通过证明BDMCDN 可25得 BD=CD；（3） 【探索】由已知不难求得 =2(m+mcos)，则需要用 m 和 的三角函数表示出 ， =AE+EF+AF；题中直接已知 O 是 BC 的中点，应用（2）题的方法和结论，作 OGBE，ODEF，OHCF，可得 EG=ED，FH=DF，则
38、=AE+EF+AF= AG+AH=2AG，而AG=AB-OB，从而可求得。10（2018江西12 分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线 经过点 (-1,0),则 = ，顶点坐标为 =2+3 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .抽象感悟我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛=2+( 0) M(0,)物线关于 点 对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线” ，点 为“衍生M M中心”.(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交=22+5 (0,m) 点，求的取值范围.问题解决(3)
39、 已知抛物线 =2+2( 0)若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点， =22+2( 0)且恰好是它们的顶点，求 的值及衍生中心的坐标；， 若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 (0,+12) 1 1的衍生抛(0,+22)物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；2 2 (0,+2) ( 为 正整数).求 的长(用含 的式子表示).+1 26xy图O【解析】 求解体验 (1)把(-1,0)代入 得 =2+3 =4 =243= (+2)2+1顶点坐标是(-2,1)(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1)成中心对称的抛物线表达式是：=(2)2+1即
40、 (如右图) =24+5抽象感悟(2) =22+5=(+1)2+6 顶点是（-1,6） (-1,6)关于 的对称点是(0,m) (1,2m6)xy1OxyO27 =(1)2+2m6 两抛物线有交点 有解(+1)2+6=(1)2+2m6 有解2=5 5 0 (如右图) 5问题解决(3) = =2+2(+1)2 顶点（-1， ）代入 得：=22+2+2+2= =22+2=(1)2+2 顶点（1， ）2代入 得：=2+2+2=2由 得 2+4=023=0 , 0 0 =3 =3 两顶点坐标分别是（-1,0） ， （1,12）由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是（0,6） 如图，设 , , 与 轴分别相于 , ,1 2 +1 1 2 . +1则 , , ， 分别关于 , , 中与 1 与 2 与 与 +1 1 2 +1心对称. , 分别是 , 的中1 2 2 3 +1 12 23 +1位线， ， 12=21 2 23=22 3 +1=2 +1xy963O28 , (0,+2) +1(0 , +(+1)2) +1=2 +1 = 2+(+1)2(+2) =4+2xyBnkBn+1B1AAn+1AnkA1O
