1、1图形的相似与位似一.选择题1. （2018广西梧州3 分）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）A3：2 B4：3 C6：5 D8：5【分析】过点 D作 DFCA 交 BE于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DFCE 得到 = = ，则 CE= DF，由 DFAE 得到 = = = ，则 AE=4DF，然后计算 的值【解答】解：过点 D作 DFCA 交 BE于 F，如图，DFCE， = ，而 BD：DC=2：3， = ，则 CE= DF，DFAE， = ，AG：GD=4：1， = ，则 AE=4DF， = = 故选：D【点评】本题考查了平行线分线
2、段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例22.（2018四川省攀枝花3 分）如图，点 A的坐标为（0，1） ，点 B是 x轴正半轴上的一动点，以 AB为边作 RtABC，使BAC=90，ACB=30，设点 B的横坐标为 x，点 C的纵坐标为 y，能表示 y与 x的函数关系的图象大致是（ ）A BC D解：如图所示：过点 C作 CDy 轴于点 DBAC=90，DAC+OAB=90DCA+DAC=90，DCA=OAB又CDA=AOB=90，CDAAOB， = = =tan30，则 = ，故 y= x+1（x0）
3、，则选项 C符合题意故选 C3 （2018重庆市 B卷） （4.00 分）制作一块 3m2m长方形广告牌的成本是 120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）A360 元 B720 元 C1080 元 D2160 元3【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【解答】解：3m2m=6m 2，长方形广告牌的成本是 1206=20元/m 2，将此广告牌的四边都扩大为原来的 3倍，则面积扩大为原来的 9倍，扩大后长方形广告牌的面积=96=54m 2，扩大后长方形广
4、告牌的成本是 5420=1080m2，故选：C【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键4 （2018辽宁省盘锦市）如图，已知在 ABCD中，E 为 AD的中点，CE 的延长 线交 BA的延长线于点 F，则下列选项中的结论错误的是（ ）AFA：FB=1：2 BAE：BC=1：2CBE：CF=1：2 DS ABE ：S FBC =1：4【解答】解：四边形 ABCD是平行四边形，CDAB，CD=AB，DECAEF， = E 为 AD的中点，CD=AF，FE=EC，FA：FB=1：2，A 说法正确，不符合题意；FE=EC，FA=AB，AE：BC=1：2，
5、B 说法正确，不符合题意；FBC 不一定是直角，BE：CF 不一定等于 1：2，C 说法错误，符合题意；AEBC，AE= BC，S ABE ：S FBC =1：4，D 说法正确，不符合题意；故选 C5. （2018乐山3 分）如图，DEFGBC，若 DB=4FB，则 EG与 GC的关系是（ ）4AEG=4GC BEG=3GC CEG= GC DEG=2GC解：DEFGBC，DB=4FB， 故选 B6. （2018莱芜3 分）如图，在矩形 ABCD中，ADC 的平分线与 AB交于 E，点 F在 DE的延长线上，BFE=90，连接 AF、CF，CF 与 AB交于 G有以下结论：AE=BCAF=CF
6、BF 2=FGFCEGAE=BGAB其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】只要证明ADE 为直角三角形即可只要证明AEFCBF（SAS）即可；假设 BF2=FGFC，则FBGFCB，推出FBG=FCB=45，由ACF=45，推出ACB=90，显然不可能，故错误，由ADFGBF，可得 = = ，由 EGCD，推出 = = ，推出 = ，由AD=AE，EGAE=BGAB，故正确，【解答】解：DE 平分ADC，ADC 为直角，ADE= 90=45，ADE 为直角三角形AD=AE，又四边形 ABCD矩形，AD=BC，AE=BCBFE=90，BFE=AED=45，BFE 为等腰直角三角形，
7、则有 EF=BF5又AEF=DFB+ABF=135，CBF=ABC+ABF=135，AEF=CBF在AEF 和CBF 中，AE=BC，AEF=CBF，EF=BF，AEFCBF（SAS）AF=CF假设 BF2=FGFC，则FBGFCB，FBG=FCB=45，ACF=45，ACB=90，显然不可能，故错误，BGF=180CGB，DAF=90+EAF=90+（90AGF）=180AGF，AGF=BGC，DAF=BGF，ADF=FBG=45，ADFGBF， = = ，EGCD， = = ， = ，AD=AE，EGAE=BGAB，故正确，故选：C【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直
8、角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7.（2018吉林长春3 分）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸） ，则竹竿的长为（ ）6A五丈 B四丈五尺 C一丈 D五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【解答】解：设竹竿的长度为 x尺，竹竿的影长=一丈五尺=15 尺，标杆长=一尺五寸=1.5
9、 尺，影长五寸=0.5 尺， ，解得 x=45（尺） 故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键二.填空题1. （2018广西贺州3 分）如图，正方形 ABCD的边长为 12，点 E在边 AB上，BE=8，过点 E作 EFBC，分别交 BD.CD于 G、F 两点若点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，则 PQ的长为 【解答】解：作 QMEF 于点 M，作 PNEF 于点 N，作 QHPN 交 PN的延长线于点 H，如右图所示，正方形 ABCD的边长为 12，BE=8，EFBC，点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，DF=4，CF=8，EF=1
10、2，MQ=4，PN=2，MF=6，QMEF，PNEF，BE=8，DF=4，EGBFGD， ，即 ，解得，FG=4，FN=2，MN=62=4，7QH=4，PH=PN+QM，PH=6，PQ= = ，故答案为：2 2. （2018广西梧州3 分）如图，点 C为 RtACB 与 RtDCE 的公共点，ACB=DCE=90，连接 AD.BE，过点 C作 CFAD 于点 F，延长 FC交 BE于点 G若AC=BC=25，CE=15，DC=20，则 的值为 【分析】过 E作 EHGF 于 H，过 B作 BPGF 于 P，依据EHGBPG，可得 = ，再根据DCFCEH，ACFCBP，即可得到 EH= CF，
11、BP=CF，进而得出 = 【解答】解：如图，过 E作 EHGF 于 H，过 B作 BPGF 于 P，则EHG=BPG=90，又EGH=BGP，EHGBPG， = ，CFAD，DFC=AFC=90，DFC=CHF，AFC=CPB，又ACB=DCE=90，CDF=ECH，FAC=PCB，DCFCEH，ACFCBP，8 = = ， = =1，EH= CF，BP=CF， = ， = ，故答案为： 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推算3.（2018云南省3 分）如图，已知 ABCD，若 = ，则 = 【分析】利用相似三
12、角形的性质即可解决问题；【解答】解：ABCD，AOBCOD， = = ，故答案为 【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4 （2018辽宁省沈阳市） （3.00 分）如图，ABC 是等边三角形，AB= ，点 D是边 BC9上一点，点 H是线段 AD上一点，连接 BH、CH当BHD=60，AHC=90时，DH= 【分析】作 AEBH 于 E，BFAH 于 F，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，BAC=60，再证明ABH=CAH，则可根据“AAS”证明ABECAH，所以BE=AH，AE=CH，在 RtAHE 中利用含 30度
13、的直角三角形三边的关系得到HE= AH，AE= AH，则 CH= AH，于是在 RtAHC 中利用勾股定理可计算出 AH=2，从而得到 BE=2，HE=1，AE=CH= ，BH=1，接下来在 RtBFH 中计算出 HF= ，BF= ，然后证明CHDBFD，利用相似比得到 =2，从而利用比例性质可得到 DH的长【解答】解：作 AEBH 于 E，BFAH 于 F，如图，ABC 是等边三角形，AB=AC，BAC=60，BHD=ABH+BAH=60，BAH+CAH=60，ABH=CAH，在ABE 和CAH 中，ABECAH，BE=AH，AE=CH，在 RtAHE 中，AHE=BHD=60，sinAHE
14、= ，HE= AH，AE=AHsin60= AH，CH= AH，在 RtAHC 中，AH 2+（ AH） 2=AC2=（ ） 2，解得 AH=2，10BE=2，HE=1，AE=CH= ，BH=BEHE=21=1，在 RtBFH 中，HF= BH= ，BF= ，BFCH，CHDBFD， = = =2，DH= HF= = 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质5 （2018辽宁省抚顺市）
15、（3.00 分）如图，AOB 三个顶点的坐标分别为 A（8，0） ，O（0，0） ，B（8，6） ，点 M为 OB的中点以点 O为位似中心，把AOB 缩小为原来的 ，得到AOB，点 M为 OB的中点，则 MM的长为 或 【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；【解答】解：如图，在 RtAOB 中，OB= =10，11当AOB在第三象限时，MM= 当AOB在第二象限时，MM= ，故答案为 或 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型6.（2018江苏常州2 分）如图，在ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是 AC
16、上一点，过点 P沿直线剪下一个与ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4种不同的剪法，那么 AP长的取值范围是 3AP4 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到 AP的长的取值范围【解答】解：如图所示，过 P作 PDAB 交 BC于 D或 PEBC 交 AB于 E，则PCDACB或APEACB，此时 0AP4；如图所示，过 P作APF=B 交 AB于 F，则APFABC，此时 0AP4；如图所示，过 P作CPG=CBA 交 BC于 G，则CPGCBA，此时，CPGCBA，12当点 G与点 B重合时，CB 2=CPCA，即 22=CP4，CP=1，AP=3，此时，3AP4；
17、综上所述，AP 长的取值范围是 3AP4故答案为：3AP4【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等三.解答题1.（2018广西梧州10 分）如图，AB 是M 的直径，BC 是M 的切线，切点为 B，C 是BC上（除 B点外）的任意一点，连接 CM交M 于点 G，过点 C作 DCBC 交 BG的延长线于点 D，连接 AG并延长交 BC于点 E（1）求证：ABEBCD；（2）若 MB=BE=1，求 CD的长度【分析】 （1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB.GH和 C
18、D的数量关系，求得 CD【解答】 （1）证明：BC 为M 切线ABC=90DCBCBCD=90ABC=BCDAB 是M 的直径AGB=90即：BGAECBD=A13ABEBCD（2）解：过点 G作 GHBC 于 HMB=BE=1AB=2AE=由（1）根据面积法ABBE=BGAEBG=由勾股定理：AG= ，GE=GHABGH=又GHAB同理： +，得CD=14【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似解答时，注意根据条件构造相似三角形2. （2018湖北十堰8 分）如图，ABC 中，AB=AC，以 AB为直径的O 交 BC于点 D，交 AC于点 E，过点 D作 FGAC
19、 于点 F，交 AB的延长线于点 G（1）求证：FG 是O 的切线；（2）若 tanC=2，求 的值【分析】 （1）欲证明 FG是O 的切线，只要证明 ODFG；（2）由GDBGAD，设 BG=a可得 = = = ，推出 DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】 （1）证明：连接 AD.ODAB 是直径，ADB=90，即 ADBC，AC=AB，CD=BD，OA=OB，ODAC，DFAC，ODDF，FG 是O 的切线（2）解：tanC= =2，BD=CD ，15BD：AD=1：2，GDB+ODB=90，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，G=G，GDBGA
20、D，设 BG=a = = = ，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：4【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型3. （2018乐山10 分）如图，P 是O 外的一点，PA.PB 是O 的两条切线，A.B 是切点，PO交 AB于点 F，延长 BO交O 于点 C，交 PA的延长交于点 Q，连结 AC（1）求证：ACPO；（2）设 D为 PB的中点，QD 交 AB于点 E，若O 的半径为 3，CQ=2，求 的值（1）证明：PA.PB 是O 的两条
21、切线，A.B 是切点，PA=PB，且 PO平分BPA，POABBC 是直径，CAB=90，ACAB，ACPO；（2）解：连结 OA.DF，如图，PA.PB 是O 的两条切线，A.B 是切点，OAQ=PBQ=90在 RtOAQ 中，OA=OC=3，OQ=5由 QA2+OA2=OQ2，得 QA=4在 RtPBQ 中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由 QB2+PB2=PQ2，得 82+PB2=（PB+4） 2，解得PB=6，PA=PB=616OPAB，BF=AF= AB又D 为 PB的中点，DFAP，DF= PA=3，DFEQEA， = = ，设AE=4t，FE=3t，则 AF=AE+FE=7t
22、，BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t， = = 4. （2018莱芜9 分）已知ABC 中，AB=AC，BAC=90，D.E 分别是 AB.AC的中点，将ADE 绕点 A按顺时针方向旋转一个角度 （090）得到ADE，连接BD、CE，如图 1（1）求证：BD=CE；（2）如图 2，当 =60时，设 AB与 DE交于点 F，求 的值【分析】 （1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明 AD=AE，然后再利用 SAS证明BDACEA，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可；（2）连接 DD，先证明ADD为等边三角形，然后再证明ABD为直角三角形，接下来，再证明BFDAFE，最后，依据相
23、似三角形的性质求解即可【解答】解：（1）证明：AB=AC，D.E 分别是 AB.AC的中点，AD=BD=AE=EC由旋转的性质可知：DAD=EAE=，AD=AD，AE=AEAD=AE，BDACEA，BD=CE（2）连接 DD17DAD=60，AD=AD，ADD是等边三角形ADD=ADD=60，DD=DA=DBDBD=DDB=30，BDA=90DAE=90，BAE=30，BAE=ABD，又BFD=AFE，BFDAFE， 在 RtABD中，tanBAD= = ， = 【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，发现BFDAFE是解题的关键5. （2018陕西
24、7 分） 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点B，使得 AB与河岸垂直，并在 B点竖起标杆 BC，再在 AB的延长线上选择点 D竖起标杆DE，使得点 E与点 C.A共线已知： CB AD， ED AD，测得 BC1 m， DE1.5 m，BD8.5 m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB18【答案】河宽为 17米【解析】 【分析】由题意先证明ABC ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得 AB的长.【详解】CBAD，EDAD，CBAEDA90，CABEAD，ABCADE， ，又AD=AB+BD，BD=8.5，BC1，DE1.5， ，AB17，即河宽为 17米【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.
