1、1分式与分式方程一.选择题1. （2018湖北荆州3 分）解分式方程 3= 时，去分母可得（ ）A13（x2）=4 B13（x2）=4 C13（2x）=4 D13（2x）=4【解答】解：去分母得：13（x2）=4，故选：B2.（2018云南省昆明4 分）甲、乙两船从相距 300km 的 A.B 两地同时出发相向而行，甲船从 A 地顺流航行 180km 时与从 B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为 6km/h，若甲、乙 两 船在静水中的速度均为 xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）A = B =C = D =【分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案【解答】解
2、：设甲、乙两船在静水中的速度均为 xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：= 故选：A【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键3.（2018云南省4 分）已知 x+ =6，则 x2+ =（ ）A38 B36 C34 D32【分析】把 x+ =6 两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求【解答】解：把 x+ =6 两边平方得：（x+ ） 2=x2+ +2=36，则 x2+ =34，故选：C【点评】此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键24.（2018浙江省台州4 分）计算 ，结果正确的是（ ）A1 B
3、x C D【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式=1故选：A【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型5 （2018重庆市 B 卷） （4.00 分）若数 a 使关于 x 的不等式组 ，有且仅有三个整数解，且使关于 y 的分式方程 + =1 有整数解，则满足条件的所有 a 的值之和是（ ）A10 B12 C16 D18【分析】根据不等式的解集，可得 a 的范围，根据方程的解，可得 a 的值，根据有理数的加法，可得答案【解答】解： ，解得 x3，解得 x ，不等式组的解集是3x 仅有三个整数解，1 08a3，+ =13ya12=y2y=y
4、2，3a6，又 y= 有整数解，a=8 或4，所有满足条件的整数 a 的值之和是84=12，故选：B【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出 a 的值是解题关键6(2018辽宁省葫芦岛市) 若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ）A0 B1 C1 D1【解答】解：分式 的值为零， ，解得 x=1故选 B7 （2018辽宁省阜新市）甲、乙两地相距 600km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 4h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 3 倍，设特快列车的平均行驶速度为 xkm/h，根据题意可列方程为（ ）A=4 B=4C=4 D=42【解答】解：设特快列车的平均行
5、驶速度为 xkm/h，由题意得 故选 C8. （2018莱芜3 分）若 x，y 的值均扩大为原来的 3 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A B C D【分析】据分式的基本性质，x，y 的值均扩大为原来的 3 倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是【解答】解：根据分式的基本性质，可知若 x，y 的值均扩大为原来的 3 倍，A. ，错误；B. ，错误；4C. ，错误；D. ，正确；故选：D【点评】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为 0 的数，分式的值不变此题比较简单，但计算时一定要细心二.填空题1.（2018云南省昆明3 分）若 m+ =3，则 m2+ = 7 【分析】
6、把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求【解答】解：把 m+ =3 两边平方得：（m+ ） 2=m2+ +2=9，则 m2+ =7，故答案为：7【点评】此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键2.（2018四川省攀枝花3 分）如果 a+b=2，那么代数式（a ） 的值是 解：当 a+b=2 时，原式= = =a+b=2故答案为：23.（2018浙江省台州5 分）如果分式 有意义，那么实数 x 的取值范围是 x2 【分析】根据分式有意义的条件可得 x20，再解即可【解答】解：由题意得：x20，解得：x2，故答案为：x25【点评】此题主要考查了
7、分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零4 （2018辽宁省沈阳市） （3.00 分）化简： = 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果【解答】解：原式= = = ，故答案为：【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键5. （2018乐山3 分）化简 + 的结果是 解： += =1故答案为：16. （2018湖北咸宁3 分）如果分式 有意义，那么实数 x 的取值范围是_【答案】x2【解析】分析：根据分式有意义，分母不等于 0 列式计算即可得解详解：由题意得，x20，解得 x2.故答案为：x2.点睛：此题考查了分式有意义的条件：分式
8、有意义的条件是分母不等于 0，分式无意义的条件是分母等于 0.7 （2018江苏常州2 分）化简： = 1 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可【解答】解：原式= =1，故答案为： 1【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 8.（2018江苏镇江2 分）若分式 有意义，则实数 x 的取值范围是 x3 【解答】解：由题意，得 x30，解得 x3，故答案为：x3三.解答题1. （2018广西贺州6 分）解分式方程： +1=6【解答】解：去分母得：4+x 21=x 22x+1，解得：x=1，经检验 x=1 是增根，分式方程无解2. （2018广西梧州8 分）解不等式组
9、 ，并求出它的整数解，再化简代数式 （ ） ，从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值【分析】先解不等式组求得 x 的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得【解答】解：解不等式 3x6x，得：x3，解不等式 ，得：x0，则不等式组的解集为 0x3，所以不等式组的整数解为 1.2.3，原式= = = ，x3.1，x=2，则原式=1【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是解题关键3. （2018广西梧州10 分）我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求
10、量日渐增多某商店计划最多投入 8 万元购进 A.B 两种型号的电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一样（1）求 A.B 两种型号电动自行车的进货单价；（2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润 y 元写出y 与 m 之间的函数关系式；（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？【分析】 （1）设 A.B 两种型号电动自
11、行车的进货单价分别为 x 元（x+500）元，构建分式方7程即可解决问题；（2）根据总利润=A 型两人+B 型的利润，列出函数关系式即可；（3）利用一次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）设 A.B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500）元由题意： = ，解得 x=2500，经检验：x=2500 是分式方程的解答：A.B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元（2）y=300m+500（30m）=200m+15000（20m30） ，（3）y=300m+500（30m）=200m+15000，2000，20m30，m=20 时，y 有最大值，最大
12、值为 11000 元【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型4. （2018湖北江汉5 分）化简： 【分析】先将分子、分母因式分解，再约分即可得【解答】解：原式= = 5. （2018湖北荆州5 分）先化简，后求值（1 ） ，其中 a= +1解：原式=（ ）= = ，当 a= +1 时，原式= = 6. （2018湖北十堰6 分）化简： 【分析】原式利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值【解答】解：原式= = = = 8【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解
13、本题的关键7.（2018云南省昆明7 分）先化简，再求值：（ +1） ，其中 a=tan60|1|【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：当 a=tan60|1|时，a= 1原式= =【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式运算法则， 本题属于基础题型8.（2018云南省曲靖）先化简，再求值（ ） ，其中 a，b满足 a+b =0【解答】解：原式= = ，由 a+b =0，得到 a+b= ，则原式=29.（2018云南省曲靖）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 4 个，甲做120 个所用的时间与乙做 100 个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？【
14、解答】解：设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（x4）个零件，根据题意得： = ，解得：x=24，经检验，x=24 是分式方程的解，x4=20答：甲每小时做 24 个零件，乙每小时做 20 个零件10.（2018云南省6 分）某社区积极响应正在开展的“创文活动” ，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的 2 倍，并且甲工程队完成 300 平方米的绿化面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？9【分析】设乙工程队每小时能完成 x 平方米的绿化面积，则甲工
15、程队每小时能完成 2x 平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量工作效率结合甲工程队完成 300 平方米的绿化面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设乙工程队每小时能完成 x 平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成 2x平方米的绿化面积，根据题意得： =3，解得：x=50，经检验，x=50 是分式方程的解答：乙工程队每小时能完成 50 平方米的绿化面积【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键11 （2018重庆市 B 卷） （2） （a1 ）（2）原式括号中两项通分并利
16、用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果（2）原式= = = 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键12 （2018辽宁省盘锦市）先化简，再求值：（1 ） ，其中a=2+ 【解答】解：原式=（ ）= = ，当 a=2+ 时，原式 = = +113(2018辽宁省葫芦岛市) 先化简，再求值：（ ） ，其中a=31 +2sin30【解答】解：当 a=31 +2sin30时，a= +1=原式= 10=（ ）= =714 （2018辽宁省盘锦市）东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球 ，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用 900 元购进第二
17、批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5倍，但每套进价多了 5 元（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【解答】解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是 x 元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得： =1.5 ，解得：x=25 ，经检验，x=25 是原分式方程的解答：第一批悠悠球每套的进价是 25 元（2）设每套悠悠球的售价为 y 元，根据题意得：50025（1+1.5）y500900（500+900）25%，解得：y35答：每套悠悠球的售价至少是 35 元15 （2018
18、辽宁省阜新市）先化简，再求值： （1+ ） ，其中 a=2（2）原式= = =当 a=2 时，原式= =16 （2018辽宁省抚顺市） （10.00 分）先化简，再求值：（1x+ ） ，其中 x=tan45+（ ） 1 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值、负整数指数幂得出 x 的值，最后代入计算可得11【解答】解：原式=（ + ）= = ，当 x=tan45+（ ） 1 =1+2=3 时，原式= = 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的方法17 （2018辽宁省抚顺市） （12.00 分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对
19、城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造 360 米的道路比乙队改造同样长的道路少用 3 天（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用 7 万元，乙队工作一天需付费用 5 万元，如需改造的道路全长 1200 米，改造总费用不超过 145 万元，至少安排甲队工作多少天？【分析】 （1）设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 x 米，根据工作时间=工作总量工作效率结合甲队改造 360 米的道路比乙队改造同样长的道路少用 3 天，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后
20、即可得出结论；（2）设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作 天，根据总费用=甲队每天所需费用工作时间+乙队每天所需费用工作时间结合总费用不超过 145 万元，即可得出关于 m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 x 米，根据题意得： =3，解得：x=40，经检验，x=40 是原分式方程的解，且符合题意， x= 40=60答：乙工程队每天能改造道路的长度为 40 米，甲工程队每天能改造道路的长度为 60 米12（2）设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作 天，根据题意得：7m+5 145，解得
21、：m10答：至少安排甲队工作 10 天【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式18. （2018呼和浩特10 分）计算（1）计算：2 2 +（3 ） 3sin45；（2）解方程： +1= 解：（1）原式= +（9 ） 3= + + =3 ；（2）两边都乘以 x2，得：x3+x2=3，解得：x=1，检验：x=1 时，x2=10，所以分式方程的解为 x=119. （2018广安6 分）先化简，再求值： （a1 ） ，并从1，0，1，2 四个数中，选一个合适的数代入求值【分析】先根据
22、分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的 a 的值代入计算可得【解答】解：原式= （ ）= = = ，a1 且 a0 且 a2，a=1，13则原式= =1【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件20. （2018广安8 分）某车行去年 A 型车的销售总额为 6 万元，今年每辆车的售价比去年减少 400 元若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%（1）求今年 A 型车每辆车的售价（2）该车行计划新进一批 A 型车和 B 型车共 45 辆，已知 A.B 型车的进货价格分别是 1100元，1400 元，今年 B 型车的销售
23、价格是 2000 元，要求 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？【分析】 （1）设今年 A 型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据数量=总价单价，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设今年新进 A 型车 a 辆，销售利润为 y 元，则新进 B 型车（45a）辆，根据销售利润=单辆利润销售数量，即可得出 y 关于 a 的函数关系式，由 B 型车的进货数量不超过 A型车数量的两倍，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答
24、】解：（1）设今年 A 型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据题意得： = ，解得：x=1600，经检验，x=1600 是原分式方程的解，今年 A 型车每辆车售价为 1600 元（2）设今年新进 A 型车 a 辆，销售利润为 y 元，则新进 B 型车（45a）辆，根据题意得：y=（16001100）a+（20001400） （45a）=100a+27000B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，45a2a，解得：a151000，y 随 a 的增大而减小，当 a=15 时，y 取最大值，最大值=10015+27000=25500，此时 45a=30答：购进 15 辆
25、 A 型车、30 辆 B 型车时销售利润最大，最大利润是 25500 元【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质求出最大利润1421. （2018莱芜6 分）先化简，再求值：（ + ） ，其中 a= +1【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：当 a= +1 时，原式= = =2【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型22. （2018陕西6 分） 化简：【答案】 【解析】 【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算
26、即可得.【详解】= .【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的顺序是解题的关键.23 （2018辽宁大连9 分）甲、乙两名学生练习打字，甲打 135 个字所用时间与乙打180 个字所用时间相同已知甲平均每分钟比乙少打 20 个字，求甲平均每分钟打字的个数解：设甲平均每分钟打 x 个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据题意得： =，解得：x=60，经检验，x=60 是原分式方程的解答：甲平均每分钟打 60 个字1524 （2018江苏镇江5 分）（1）解方程： = +1【解答】解：（1）两边都乘以（x1） （x+2） ，得：x（x1）=2（x+2）+（x1） （x+2） ，解得：x= ，当 x= 时， （x1） （x+2）0，分式方程的解为 x= 25 （2018吉林长春6 分）先化简，再求值： + ，其中 x= 1【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解： + = = = =x+1，当 x= 1 时，原式 = 1+1= 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法
